Большинство задач теории оптимального проектирования конструкций, в частности задачи, обсуждавшиеся в предыдущих параграфах, рассматривались в рамках детерминированного подхода, т. е. предполагались полностью известными вид прикладываемых к телу нагрузок, свойства материалов, из которых изготовлена конструкция, граничные условия. Для решения этих задач применимы методы вариационного исчисления и методы оптимизации систем с распределенными параметрами. Принципиально отличными по постановке и методам исследования оказываются задачи проектирования оптимальных конструкций при неполной информации. Обсуждая здесь различные подходы к задачам оптимизации с неполной информацией и их специфику, для определенности будем иметь в виду задачу отыскания форм упругих тел, обладающих минимальным весом и удовлетворяющих заданным ограничениям на прочность и жесткость. Формулировка и решение оптимизационных задач на основе детерминированного подхода приводит к оптимальным формам, которые, как правило, обладают тем свойством, что даже при незначительных изменениях внешних условий (например, при изменении положения точки приложения силы) конструкция данной формы уже не будет удовлетворять прочностным и геометрическим ограничениям. А так как в ряде случаев либо не имеется полной информации относительно прикладываемых нагрузок, либо известно, что на конструкцию последовательно могут действовать различные силы, то наряду с детерминированными постановками представляет интерес рассмотрение более общих задач оптимизации конструкций, в которых оптимизация проводится в расчете на целые классы сил.
Posts Tagged ‘задачи’
Проектирование при неполной информации.
Пятница, июля 30, 2010Использование вариационных принципов для исключения дифференциальных связей
Среда, июля 21, 2010Вариационные принципы имеют большое значение в механике деформируемого твердого тела. Во-первых, они позволяют конпактно и в более общей форме сформулировать краевые задачи механики. Уравнения равновесия деформируемой среды и часть краевых условий (естественных) вытекают из вариационных принципов в качестве условий экстремума. Во-вторых, вариационные постановки задач о нагружении и деформировании конструкций позволяют для решения применять эффективные прямые методы вариационного исчисления. Все это справедливо не только для краевых задач механики деформируемого твердого тела, но и для многих других проблем математической физики.
Применительно к задачам оптимального проектирования вариационные принципы позволяют исключить из рассмотрения дифференциальные связи и устраняют необходимость введения сопряженных уравнений. Тем самым понижается порядок общей краевой задачи оптимизации и упрощается вывод условий оптимальности. Кроме того, вариационные принципы и вытекающие из них вариационные неравенства оказываются полезными при аналитических исследованиях оптимизационных задач и обосновании оптимальных решений.
2.4.1. Предположим, что упругое тело занимает область Q, ограниченную поверхностями Г = Ги + Га. На части поверхности Ги тело закреплено, а на остальной части Га к нему приложены внешние воздействия q. Рассматривается задача минимизации податливости
J = -L^ qudTG->minra (2.31)
за счет отыскания формы Га. Для замкнутой постановки задачи требуется сформулировать определяющие уравнения (уравнения равновесия) и указать дополнительные ограничения, а при решении задачи оптимизации ввести в рассмотрение сопряженную переменную, подчинив ее дополнительной системе уравнений. Таким способом в общем случае осуществляется учет дифференциальных связей. Однако вид функционала (2.31) и использование вариационного принципа теории упругости (принцип минимума потенциальной энергии) позволяют переформулировать задачу оптимизации таким образом, что устраняется необходимость введения сопряженной переменной. Покажем это. Согласно вариационному принципу действительное распределение вектора смещений и(х) упругой среды реализует минимум функционала [2.1, 2.8, 2.11, 2.15]
П (и, Га) = \ \ Оцец dQ — ^ uq dTG minu (2.32)
при условии (u)ru = 0. В (2.32) предполагается, что напряжения Gij и деформации б|7- выражены через перемещения при помощи кинематических условий и закона Гука. Для действительного распределения смещений и(х), т. е. для минимали функционала (2.32), имеем /= —П. Учитывая это равенство и вариационный принцип (2.32), можно выразить податливость / через функционал П:
/ = - minu П, (2.33)
следовательно, рассматриваемая задача минимизации податливости может быть сведена к последовательному выполнению операций минимума и максимума для функционала
= minra/ = niinra (— minwn) = — maxra minJI. (2.34)
Внутренний минимум по и в (2.34) вычисляется при дополнительном условии (и)ти = 0, а внешний максимум по Г0 может разыскиваться при некоторых дополнительных условиях, накладываемых на возможные вариации Га, таких, например, как изопери-метрическое условие постоянства объема области Q, занимаемой упругой средой.
Взаимные проблемы проектирования
Суббота, июля 10, 2010В теории оптимального проектирования часто рассматриваются так называемые взаимные задачи, решения которых отличаются лишь масштабными множителями. В ряде случаев непосредственное решение задачи можно заменить указанием взаимной задачи, если последняя уже изучена, и способа «перерастяжения» решений. Поэтому выделение взаимных задач оказывается полезным в исследованиях по оптимальному проектированию wl позволяет сократить число решаемых задач.
Свойство взаимности использовалось во многих работах при решении конкретных задач оптимального проектирования. Строгое исследование этого вопроса было проведено в [2.16] применительно к задачам с однородными функционалами.
Рассмотрим экстремальную задачу с однородными функционалами. Пусть Л — линейное пространство, а множество К — конус в нем. Это означает, что если элемент h ЕЕ К, то Xh ЕЕ К\ X = — const >0.
Пусть J1 и J2 — однородные функционалы со степенями однородности аир, заданные на Л, т. е. J± (Xh) = XaJ1 (h) и J2(Xh) = №J2 (А)дляЯ>0. Предположим, что эти функционалы положительны при А ЕЕ К, и рассмотрим задачу на экстремум
min /х (h), h^K, . (2.49) J2 (h) >с2>0,
где с2 — заданная константа.
Очевидно, что поставленная задача имеет смысл, если аир имеют одинаковый знак. В противном случае решение не существует. Для определенности будем считать аир положительными числами.
Покажем, что если h* — решение задачи (2.49), то J2(h*) = = с2У иными словами, минимум достигается на границе.
Действительно, предположив J2(h*)>c2, выберем множитель Я = (с2 I J2 (h*))1^ < 1. Элемент Xh* является допустимым для исходной задачи, так как /2 (Xh*) = X® /2(^*) = с2- При этом Л (Xh*) < Jx (h*), вследствие X < 1, а > 0, что противоречит оптимальности h*.
функционалами (ci — заданная константа): max J2(h), hEEK, Л (h) < сг > 0.
(2.50)
Для этой задачи экстремум также достигается на границе J1(h**)= сг. Через А** обозначено решение задачи (2.50). Докажем следующее утверждение.
1. Если h* — решение задачи (2.49), то элемент А** = yh* г у ?= / /х(А*))1/а является решением задачи (2.50).
Для доказательства возьмем произвольный элемент hEE К, такой, что Jx (h) <^ q, и покажем, что J2 (А) ^ /2 (А**). Выберем множитель х = (с2 / J^Q1))^1^- Элемент xh является допустимым для задачи (2.49), поскольку xh ЕЕ К и J2{xh) = q. Вследствие оптимальности А* имеем /х {xh) > Л№*)» или (с2 / «^2 (А))а/Р. /х(А) > Ji(h*).
Двойственные задачи оптимизации
Воскресенье, июля 4, 2010Преобразования двойственности и изучение двойственных задач приобретают значение в теории оптимального проектирования. Рассмотрение двойственных задач позволяет предложить методы построения оценок величины глобального экстремума и оценить предельные возможности оптимизации. В ряде случаев удается определить проекты, для которых значения функционала качества близки, а иногда и равны величине глобального экстремума. Следуя работе [2.10], дальнейшие рассмотрения проведем применительно к задаче оптимизации тонких пластин, совершающих свободные колебания. Заметим, что в [2.10] методы теории двойственной оптимизации применяются также к задачам оптимизации для трехмерной упругой среды (задаче минимизации массы материала при ограничениях на напряжения и задаче минимизации энергии упругой деформации при ограничениях на массу материала).
Пусть срединная поверхность пластинки занимает область Q с контуром Г в плоскости я, у. Для определения основной частоты со и собственной функции свободных колебаний имеем следующие соотношения:
h dQ = hm mes Q, hm\n
0 <^ ^min "\ hm
По определению двойственной к исходной называется задача [2.12] отыскания /ц, w%, таких, что
J w*) = inf sup J (h, w). (2.67)
wtEV ЛеЯ
Очевидно, что справедливо неравенство
sup inf / (h, w) <; inf sup J (h, w), (2.68)
Лея гиеУ w^V heH
которое может быть использовано для построения оценки сверху величины супремума в задаче (2.66). Обозначим
J0 = sup / (h, Wo), (2.69) лея
где Wo — некоторая произвольная функция из множества V. Из соотношений (2.67)—(2.69) вытекает, что величиной /0 функционал качества оценивается сверху:
sup inf / (h, w) < inf sup / (h, w) < sup / (h, w0) = Jo-
Лея №?У w^v Лея Лея
Нахождение J0 основывается на построении функции h0, такой, что / (h0, wo) = Jq.
В [2.10] доказано, что промежуточный режим hmin << h < hmax в задаче (2.69) невозможен. Укажем следствие, вытекающее из данного утверждения. Введем управляющую функцию
% = (Umax — h) I (femax — hmin). Тогда
J (Ax + В) ф (wo) dQ
Jo = sup / (x, wo), J = ° ? , (2.70)
хем J (C% + D) ф (w0) dQ
-4 = femin — uaxi -6 = hm3iy, С = femin ^max»
D = ^max-
Необходимые условия оптимальности для простейших задач с линейными уравнениями, определяющими поведение конструкции
Среда, июня 30, 2010Опишем вариационный подход, используемый при получении условий оптимальности и сведении оптимизационной задачи к замкнутой краевой задаче для дифференциальных уравнений.
Пусть вектор-функция и = {иг (х), . . ., ит (х)} удовлетворяет в области Q системе дифференциальных уравнений
L (К) и = q (3.1)
и краевым условиям на границе Г области Q
{N{h)u)v =0, (3.2)
где h = {hx (х), . . ., hn(x)} — вектор переменных проектирования; х = {хц . . ., хе} — вектор независимых переменных; L (К), N (h) — дифференциальные операторы, коэффициенты которых не зависят от h; q (х) — заданные вектор-функции внешних воздействий. Системы уравнений вида (3.1) с граничными условиями (3.2) применяются при проектировании линейно-упругих тонкостенных конструкций. Независимость q от и и h имеет место при рассмотрении «мертвых» сил и внешних воздействий, не зависящих от геометрических и структурных характеристик конструкции. Заметим, что результаты данного параграфа могут применяться и в случае нагрузок, зависящих линейно от деформаций и перемещений конструкций, представляемых вектором и. Для этого достаточно формального включения выражений, отражающих линейную зависимость q от и, в левую часть уравнения (3.1).
Обозначим через / (и, h, q) и Jt (и, h q) (i = 1, 2, . . ., г) интегральные функционалы:
/ = w, /г, q) dQ, Ji = \li{x, и, h, q) dQ,
(3.3)
где /, ft — заданные функции аргументов x, и, h, q, и рассмотрим задачу минимизации функционала J:
= min/, / (и, h, g), (3.4)
при интегральных ограничениях, наложенных на переменные проектирования и функции состояния:
А (щ h, q) - с4 < 0, i = 1, . . ., г. (3.5) Здесь Ci — заданные константы.
Получим условия оптимальности в задаче (3.1) — (3.5). С этой целью выпишем выражения для первых вариаций интегралов (3.3) и уравнения в вариациях, соответствующие (3.1), (3.2):
8J = J ("и"8и + Ж bh) dQ' 6/i = \{жЬи + ЖЬк) dQ,
(3.6)
L (h) 8u + M {u, h) 8 h = 0, (3.7)
(Л) бы + T (u, h) 8 h = 0, (3.8)
где df I ди = {df I дщ, . . ., 5/ / дггт}; / ди = {dft I дих, . . .
dfi I дит}. Вариации б /, 8Ji зависят как от вариации функции состояния, так и от вариации переменной проектирования. Последние связаны линейными относительно 8и и 8h соотношениями
(3.7) , (3.8). Уравнения в вариациях (3.7) и граничное условие
(3.8) получаются путем подстановки в (3.1), (3.2) вместо и и h величин и + 8и, h + 8h и выделения членов линейных относительно 8и и 8h. Через М {и, h), Т (и, h) обозначены операторы, применяемые к вектору 8h.
Условия экстремума для задач с неаддитивными функционалами
Четверг, июня 24, 2010Наряду с отысканием экстремума некоторых интегралов (при дополнительных ограничениях) в теории оптимального проектирования рассматриваются более общие вопросы минимизации или максимизации неаддитивных функционалов, являющихся заданными функциями от нескольких интегралов J±1 . . ., /г. К задачам с неаддитивными функционалами приходим, например, при оптимизации собственных частот колебаний упругих систем и при максимизации критических нагрузок, для которых упругий элемент конструкции теряет устойчивость. К задачам с неаддитивными функционалами приходим также при рассмотрении локальных характеристик конструкции и использовании способа замены их интегралами, описанного в параграфе 2.3. Ограничения на фазовые функции и управляющие переменные в ряде случаев также представляются в виде нелинейных функционалов.
Приведем необходимые условия оптимальности для задач с неаддитивными функционалами, когда минимизируемый (максимизируемый) критерий качества и ограничения представлены в виде функций от интегральных характеристик:
J = f (Л, .. ., /г), (3.19)
ft (Л, .... /г)<0, * = 1, 2.....А, (3.20)
где
Ji=lfi(x,u,h,q)&Q. (3.21)
Здесь и = {иг (я), . . ит (ж)}, A = {Ах (я), . . fen(*)}» я = {л?!, . . ., хе}. При получении необходимых условий минимума (максимума) функционала / при ограничениях (3.20) и дифференциальных связях (3.1), (3.2), наложенных на функции состояния и и переменные проектирования А, используем формулы параграфа 3.1 и разложение функции
к
0* = f + 2 hfi (3.22)
i=i
в ряд по 8Jt с удержанием членов первого порядка малости.
i:^=uj^ [?б„+^бфа. ,3.23)
г=1 1 Q I г=1 >
Через кг в (3.22) обозначены множители Лагранжа. При помощи вспомогательных переменных (Х| (i = 1, 2, . . ., &), как и в предыдущем параграфе, преобразуем ограничения типа неравенств (3.20) в ограничения типа равенств
ft (Ji, Jr) + |4 = 0. (3.24)
Не приводя здесь подробных выкладок, полностью аналогичных тем, которые делались в предыдущем параграфе, укажем лишь окончательные формулы. Выражение для вариации функционала / с учетом дифференциальных связей (3.1), (3.2), граничных условий, накладываемых на сопряженную переменную:
(N*(h)v)r = 0, (3.25)
а также условий (3.24) и формулы (3.23) может быть представлено в виде
a i=i 1
т к
+ Г М* (и, h)v + i? 8h] dQ + 2 ? Х^бщ,
i=i 1 i=i
(3.26)
где dfildu = {dfjdui, д^/дит},
(dfjdh) 8h = (dh/dhi) 6hi + ... + (dft/dhj bhn.
Потребуем, чтобы множители перед 8и и бр, обратились в нуль. Получим уравнение (векторное) для сопряженной переменной и условие, наложенное на величины |хг-,
1=1 1
рА = 0; i = 1, 2, . . ., Л. (3.28)
Для «неактивных» ограничений \it Ф 0, а соответствующие множители Лагранжа А,,, как это видно из (3.28), равны нулю. Если i-e ограничение активно, то kt Ф 0, р, = 0. Таким образом, если функция состояния и переменная проектирования удовлетворяют краевым задачам (3.1), (3.2) и (3.25), (3.27), а величины р^, ki подчинены условиям (3.24), (3.28), то вариация б/ связана с 6fe соотношением
т
б/ = $ [м* (A, u)v + ?"Ж"] б/гdQ' <3'2'9)
a i=i 1
Формула (3.29) может эффективно применяться при решении задачи оптимизации для построения «улучшающих» вариаций; при проведении анализа чувствительности. Из этого же соотношения между б/ и 8h вытекает необходимое условие оптимальности
M*(u,h)v+1?i^^ = 0. (3.30)
1=1 1
Заметим, что коэффициенты в необходимых условиях экстре-мума^ так же как и в уравнениях для сопряженных переменных, вычисляются при значениях функционалов Ju . . .,/ry соответствующих экстремали оптимизационной задачи, поэтому (3.27)* (3.30) есть интегродифференциальные уравнения. Вывод условий экстремума для вариационных задач с неаддитивными функционалами приведен в [3.5, 3.14].
Обобщение условий экстремума на случай наличия производных в ограничениях
Среда, июня 16, 2010В параграфах 3.1 и 3.2 считалось, что подынтегральные выражения в (3.3) зависят только от хг иг /г, q и не зависят от производных функции состояния и переменной проектирования. Однако зависимость функционалов от производных функций и п h часто имеет место в задачах оптимального проектирования конструкций. Поэтому случай, когда / = / (хг и, uxr hr hxr q)% ft = = fi{xrutuxr h,hXyq)%представляет практический интерес. В этом случае в подыинтегральном выражении (3.6) для вариации б/ добавляются слагаемые {dfldux)bux = {dflduix^)buiXl + . . .... + (df I dunxj &umv (df I dhx)6hx = (df I dhlxx) 8hiXi + . . . ... + (df I dhnXe)8hnXe и аналогичные слагаемые (dft I dux)bux, (dftt /dhx) &hx добавляются в выражениях для &Jt. Для определенности будем считать, что граничные условия (3.2) и принимаемые дополнительные условия на поведение функции h на границе области Q обеспечивают обращение в нуль внеинтегральных членов в формулах для б/, б/ь получающихся при интегрировании по частям указанных дополнительных слагаемых. Имеем
«А-$[(-Й-«-4-?)« + (-&-??Нм
Q х
(3.31)
и аналогичные выражения для 67. Используя обозначения (3.12) и проводя стандартные преобразования, аналогичные тем, которые делались в параграфе 3.1, получим следующее выражение для вариации б/:
*4{[-&-?-?+*'<«.*>"K
Q х
г
+[l* wv+1- - -k t-] 4dQ+2 X (3-32)
г=1
д dfx _ VI д дГ
дх дил. / ) дх. ди,-х i,j=i ; J
Обращение в нуль внеинтегральных членов, получающихся при преобразовании (3.9), достигается за счет наложения на вектор-функцию v системы краевых условий N* (h) v = О и имеющихся связей (3.8) между граничными значениями вариаций функций состояния и управляющей переменной. На основании формулы (3.32) приходим к выводу, что краевая задача для сопряженной переменной и выражение, связывающее вариацию функционала с вариацией переменной проектирования, имеют в рассматриваемом случае вид
X
N*(h)v = 0, (3.34) 6J = ^[M*(u,h)v + ^--4r ?-] bh dQ. (3.35)
Q X
При этом величины Xiy p,; подчинены соотношениям (3.16). Необходимое условие оптимальности, служащее для определения ht получается, если приравнять нулю выражение, записанное в (3.35) в квадратных скобках:
M*(u,h)v + ?-^*- = 0. (3.36)
Аналогично можно учесть вхождение в выражения для / и ft вторых производных функции и. Не приводя здесь соответствующих выкладок, укажем лишь, что в этом случае условие оптимальности сохраняет вид (3.36), а в уравнении и граничных условиях для сопряженной переменной появляются дополнительные члены
?* пл v + iL.__L ill ,1 Г д2 d2fX = q /3 37ч
^ ' ди дх ди„ 2 / i дхдх, ди„ди„ ' \ ' )
х j 1 х- xt
Перейдем теперь к задачам с неаддитивными функционалами, считая, что подыинтегральные выражения для / и J j зависят от w, их h, hx и q. Оставляя в силе сделанные предположения относительно поведения функции состояния и переменной проектирования на границе области Q, будем использовать формулы (3.31) и соотношение (3.9). Для получения условий экстремума следует провести выкладки, аналогичные тем, которые делались в параграфе 3.2„ с тем лишь отличием, что вместо формул (3.6) для б/, 8J{ применяются выражения (3.31). В результате будем иметь следующее необходимое условие оптимальности:
т
Mi(u,h)V+?^(^-^)=0 ' (3.38) и уравнение
1=1 1 х
краевой задачи о сопряженной переменной с граничным условием (3.34). Через /^обозначена величина, введенная формулой (3.22).
Аналогично можно получить необходимые условия оптимальности для случая, когда ft зависят от высших производных функции состояния. При этом условие оптимальности и выражение, связывающее б/ с б/г, сохраняют вид (3.29), (3.30), а изменяются только уравнение и граничные условия, определяющие сопряженные переменные. Так, в случае вхождения в подынтегральные выражения (3.21) вторых производных функции состояния d2ui/dxidxj (I = 1, . . ., m; г, / = 1, . . ., г) уравнение для v (3.27) запишется в виде
+ * у _4__^_\=0. (3.40)
2 ^ Ь*рч duXfd )
Гарантированный подход
Понедельник, июня 7, 2010Одним из возможных подходов к постановке и решению этих задач (задач с «неполной информацией») является минимаксный подход. При использовании минимаксного (или гарантированного) подхода предполагается заданным множество, содержащее все возможные реализации внешних сил, а разыскивается форма конструкции минимального веса, удовлетворяющая прочностным и геометрическим условиям для всех возможных реализаций сил.
Конструкция данной формы является оптимальной, если для любой другой конструкции меньшего веса можно указать такую реализацию сил из заданного класса, при которой будут нарушены условия прочности или геометрические ограничения. При решении задач на основе указанного подхода реализуется одна из двух возможностей. Либо оказывается, что в рассматриваемом классе существует «наихудшая» нагрузка, для которой конструкция минимального веса, найденная в расчете только на эту нагрузку, удовлетворяет условиям прочности и жесткости и для всех остальных реализаций сил из заданного класса. Конструкция данной формы и является оптимальной для класса сил, т. е. решением исходной задачи, либо не существует «наихудшей нагрузки» и оптимальное для класса сил решение не является оптимальным ни для какой в отдельности реализации нагрузок из данного множества. В [2, 28] содержатся примеры того и другого вида. Заметим, что минимаксный подход можно также применить к задачам с неполной информацией о граничных условиях и свойствах материала, из которого изготовляется конструкция.
Пусть полная система уравнений и граничных условий, описывающих равновесие конструкции и связывающих переменные состояния, проектирования и внешнее воздействие записана в операторной форме:
L (х, и, h, q) = 0. (1.35)
Вид прикладываемой к телу нагрузки заранее не фиксируется, а предполагается заданным множество Rq, содержащее все возможные реализации внешних сил, т. е.
q^Rq. (1-36)
При дальнейшем рассмотрении задачи проектирования будем допускать к рассмотрению только силы из (1.36). Если, к примеру, объект оптимизации — пластинка, а внешние воздействия —-односторонние поперечные нагрузки, результирующая которых не превосходит Р, то множество Rq имеет вид
где Q — область, ограниченная контуром пластинки.
При заданных q и h краевая задача (1.35) предполагается однозначно разрешимой относительно переменной состояния и.
Задача оптимизации заключается в отыскании функции h(x), минимизирующей функционал / (h) (вес тела) и удовлетворяющей при любых q из (1.36) прочностным и жесткостным ограничениям:
я|) (х, и, h, g, Jx , . . ., Jr) < 0, (1-37)
где яр — заданная вектор-функция. Условия (1.37) представляют собой систему скалярных неравенств.
Основные понятия многокритериальной оптимизации
Воскресенье, мая 23, 2010В вариационном исчислении и теории оптимального управления рассматриваемые задачи обычно заключаются в минимизации максимизации некоторого скалярного функционала при удовлетворении ряду ограничений. Задача одновременной оптимизации нескольких функционалов или одного вектор-функционала в рамках традиционного определения оптимальности оказывается в общем случае некорректной задачей. Постановка корректных задач оптимизации векторных функционалов, называемых многокритериальными задачами, становится возможной только при расширении классического определения экстремума. Естественным обобщением и расширением этого понятия является концепция Парето-оптимальных решений. Применение концепции оптимальности по Парето позволяет, в частности, расширить круг проблем, рассматриваемых в теории оптимального проектирования, и исследовать принципиальные вопросы проектирования конструкций оптимальных в смысле нескольких критериев качества. На основе многокритериальной теории достигается понимание некоторых закономерностей в формировании «естественных» конструктивных форм [1.40J.
Приведем определение оптимальности в смысле Парето. Пусть система (конструкция) характеризуется г критериями качества Ji{h), / = 1, . . г, зависящими от переменной проектирования Ь,ЕЕЖ, где Ж — множество допустимых управлений. Обозначим через J (К) векторный функционал J (К) = {J1 (/г), . . ., Jr(h)} и будем рассматривать задачу минимизации этого функционала. Переменная проектирования е= Ж является оптимальной в смысле Парето, если из неравенства / (h)
Для оптимальных в смысле Парето решений ЕЕ Ж справедливо следующее утверждение. При любом фиксированном / решение минимизирует функционал /7, рассматриваемый на множестве допустимых решений h ЕЕ Ж, при условии, что остальные функционалы Jt(i Ф /) не превышают их значений для h = /ц, т. е.
/,?(*•) = min/,-('О. (1-40) Jj
Решение многокритериальных задач и отыскание оптимальных в смысле Парето переменных проектирования может быть сведено к минимизации некоторой скалярной функции, определяемой равенством
G(h) = c1J1 (h) + c2J2 (h)+ . . . + crJr (h). (1.42)
С использованием функции G (h) достаточное условие оптимальности по Парето формулируется следующим образом.
Предположим, что с > 0 и h% ЕЕ Ж минимизирует G(h) на множестве h <=Е Ж. Тогда ЕЕ Ж является оптимальным в смысле Парето решением.
Понятие оптимальности в смысле Парето
Воскресенье, мая 16, 2010Применение понятия оптимальности в смысле Парето позволяет сформулировать следующую общую задачу проектирования. Пусть поведение конструкции описывается краевой задачей (1.1) и системой г функциональных характеристик Jh (и, h, q), к = = 1, 2, ... г. На переменные проектирования h = {hl4 . . ., hn} и функции состояния и = {и,!, . . ит) наложены ограничения (1.4), отражающие требования, предъявляемые к проектируемой конструкции. Векторный критерий качества конструкции ,f включает s скалярных функционалов и т. е. f = {fn . : ., §s). Скалярные функционалы представляют собой заданные функции от рассматриваемых функциональных характеристик
$i = ^«(Л, • • •> ^г), « = 1, 2, . . s. (1.43)
Многокритериальная задача проектирования конструкции заключается в отыскании множества переменных проектирования, таких, что
f -> min/,. (1.44)
Для задач' многокритериальной оптимизации характерным является существование не единственного решения, а целого множества оптимальных в указанном смысле решений, так называемого множества Парето. Построение множества Парето дает важную информацию о возможностях совершенствования конструкций и позволяет выявить скрытые резервы оптимизации.
Вопрос о выборе на множестве Парето единственной функции проектирования может быть решен при использовании соответствующих представлений многоуровней оптимизации. Так, например, при двухуровневой оптимизации на первом уровне решается многокритериальная задача и находится множество функций проектирования (оптимальных в смысле Парето решений). На втором же уровне при помощи дополнительно введенного скалярного критерия на полученном множестве находится единственное оптимальное решение.
Заметим, что задачи, в которых часть функционалов $ г, • • • .. должна быть минимизирована, а часть . . .,,fs — максимизирована, также формально представляются в виде (1.1), (1.4), (1.43), (1.44) с векторным функционалом, все компоненты которого подлежат минимизации. Для этого достаточно по указанным скалярным функционалам J'i, . . ., !fs определить векторный критерий качества следующим образом:
.f = {.fi* fh -fin,.. —&*}- (1-45)
Очевидно, что минимизация функционала (1.45) при указанных выше дополнительных условиях будет эквивалентна задаче минимизации функционалов $х, . . ., §г и максимизации функционалов .f /4-1 ,. . ., fs.