Рассматриваемые в теории оптимального проектирования задачи заключаются в определении формы, внутренних свойств и условий работы конструкций, доставляющих экстремум (минимум или максимум) выбранной характеристики конструкций при ряде дополнительных ограничений. Строгая постановка задач оптимизации конструкций включает формулировку основных определяющих уравнений (выбор модели), оптимизируемого функционала, ограничений на функции состояния и искомые управляющие переменные. С математической точки зрения эти задачи могут быть классифицированы в зависимости от типов рассматриваемых уравнений и граничных условий, вида оптимизируемых функционалов и учитываемых ограничений, размерности задачи, способов вхождения переменных проектирования в основные соотношения (управление коэффициентами и границами областей), полноты информации об исходных данных (задачи с полной и неполной информацией), характера экстремума (одноэкстре-мальные и многоэкстремальные задачи) и способа определения оптимума (однокритериальные и многокритериальные задачи) и других обстоятельств.
В этом параграфе рассмотрим классические постановки задач оптимального проектирования. Некоторые обобщения будут изложены в параграфах 1.5—1.8. Существенным элементом постановки задачи является, как уже отмечалось выше, выбор механической модели. Сначала выбираются переменные состояния и и уравнения
Цх, и, h, g)=0, (1.1)
связывающие эти переменные с физическими и геометрическими параметрами конструкции и внешними воздействиями. Здесь гг = = {^(д:), . . ., ит(х)} — вектор-функция, определяющая состояние конструкции. Независимая переменная х={хг, . . ., хе} принимает значения из области Q. Через Lb (1.1) обозначен дифференциальный оператор по пространственным координатам xt. Равенство (1.1) можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений в общем случае нелинейных. Основное внимание в книге уделяется теориям, в которых предполагаются выполненными условия геометрической и физической линейности. В этих предположениях поведение конструкций описывается операторами, линейными относительно переменных состояния.
Оператор L зависит от вектор-функции проектирования h — = {h1(x),. . ,,hn(x)}n вектор-функции внешних воздействий q. Натуральные числа т, п, е заданы. Здесь предполагается, что граничные условия, определяющие способ закрепления и нагру-жения конструкций, включены в оператор L.
Система уравнений при заданных нагрузках и параметрах конструкции должна быть замкнутой и определять переменные состояния, характеризующие напряженное и деформированное состояние конструкций. Отыскание переменных состояния при заданных функциях проектирования будем называть прямой задачей.
Если уравнения, определяющие состояние конструкции, являются отражением физических закономерностей, то выбор переменных проектирования рассматриваемых функционалов, в том числе оптимизируемого функционала (критерия качества) и системы ограничений, диктуется назначением и условиями работы конструкции, технологическими возможностями ее создания.
Функции ht(x) определяют форму и физико-механические свойства материала конструкции. В качестве ht(x) могут, например, выбираться распределения толщин и площадей сечений тела, функции, определяющие положение срединных поверхностей криволинейных стержней и оболочек, распределение концентрации армирующего материала по конструкции, углы, задающие ориентацию осей анизотропии в каждой точке упругого тела.
Кроме функций состояния и управляющих переменных, в задачах оптимального проектирования фигурируют функциональные характеристики — функционалы, зависящие от и, h, q: Jx — =J1(u,?i, q), . . ., Jr=Jr(u, h, q). В оптимальном проектировании рассматриваются функционалы двух типов: интегральные функционалы
Ji=lh (х> и> h> 9) dQ, i = 1, ..., гь (1.2)
и локальные функционалы
Jj = mdiXx fj(x, и(х), h (x), q (*)), ; = n+l, . . ., r±+r2. (1.3)
Через fi обозначены заданные дифференциальные выражения, ari> г2— заданные целые числа, причем r1+r2 = r. Интегрально или посредством комбинации интегралов вида (1.2) представляются такие характеристики конструкции, как вес, энергия упругих деформаций (податливость), частоты собственных колебаний, критическая нагрузка, под действием которой конструкция теряет устойчивость [1.11, 1.12, 1.17, 1.18]. Локальными характеристиками являются величина максимального прогиба, интенсивность напряжений [3, 28, 32].
Posts Tagged ‘теория’
О постановках задач оптимизации конструкции
Суббота, апреля 10, 2010Геометрические аспекты выбора расчетной схемы
Суббота, апреля 3, 2010Касаясь геометрических аспектов выбора расчетной схемы, отметим только наиболее широко применяемые в теории оптимального проектирования схематизации: сплошное трехмерное тело, характерные размеры которого во всех трех направлениях имеют одинаковый порядок; тела, один из размеров которых много больше двух других (балки, колонны, арки и стержневые системы); тела, один из размеров которых много меньше двух других (оболочки и пластинки).
В теории оптимального проектирования различные ситуации возникают в зависимости от того, проектируется ли традиционная или принципиально новая конструкция. В первом случае имеется полезная информация о прототипах и накопленный опыт может использоваться в виде «опорных» решений и начальных приближений для процесса оптимального проектирования. В этом случае незначительное число параметров проектирования является искомым и оптимизация конструкции сопряжена с обсчетом сравнительно небольшого числа вариантов. Во втором случае конструкция характеризуется большим числом параметров проектирования и процесс оптимизации связан с рассмотрением значительного числа допустимых вариантов (проектов).
Степень фиксации или, наоборот, незаданность параметров, определяющих облик или внутреннюю структуру конструкций,— существенный фактор формирования расчетной схемы. Этап выделения в расчетной схеме искомых управляющих переменных является чрезвычайно ответственным, и им во многом определяется эффект оптимизации. Введение параметров проектирования часто обусловливает дополнительные требования к расчетной схеме. Поясним сказанное на примере оптимального проектирования упругих оболочек переменной толщины. Пусть при оптимизации используется классическая теория тонких упругих оболочек. Если в результате оптимизации получаются распределения толщин, имеющие большие градиенты по пространственным переменным или другие особенности (разрывы, «нулевые» или «бесконечные» толщины), то классическая расчетная схема перестает быть надежной и требуется внесение соответствующих коррекций. Возможно осуществление коррекций двух типов.
1. Явное введение в расчетную схему ограничений, диктуемых принятой теорией и их учет при проектировании. Эта операция приводит к «стеснению» множества проектов.
2. Расширение и обобщение классических расчетных схем, учитывающее тенденции изменения проектов и позволяющее анализировать более широкий класс конструкций.
Важную роль при выборе расчетной схемы для задачи оптимального проектирования играет априорная информация о свойствах искомого решения. Информация о модели, знание принципиальных свойств решения, а также учет гипотез, положенных в ее основу, позволяют при постановке задач оптимизации выделить существенные ограничения и отбросить «второстепенные» и тем самым привести задачу к такому виду, что ее можно решить имеющимися численными ими даже аналитическими методами. Поэтому большая часть результатов в оптимальном проектировании относится к хорошо изученным расчетным схемам. Часто, однако, оказывается затруднительным «угадать» заранее свойства искомого оптимального решения и задача оптимизации оказывается сформулированной таким образом, что получаемые решения нарушают гипотезы, положенные в основу самой модели. Так, в ряде решавшихся задач проектирования пластин искомое распределение толщин обладало большими градиентами, что нарушает предположения, положенные в основу теории Кирхгофа. Другие известные особенности при использовании классических моделей пластин и оболочек связаны с появлением на оптимальных решениях нулевых и бесконечных толщин. Поэтому при выявлении отклонений от модели и нарушении гипотез, положенных в основу расчетной схемы, требуется введение в систему соотношений, используемых при проектировании дополнительных ограничений, например в задаче об изгибе пластинки — дополнительных ограничений на толщины. Выход из указанной ситуации возможен и на основе обобщения модели, заключающегося в «смягчении» гипотез и построении расчетной схемы для более широкого класса конструкций, включающего ранее недопустимые проекты. Таким образом, выбор модели и ее развитие представляют собой важные аспекты процесса проектирования.
Твердение гипсовых вяжущих
Суббота, февраля 27, 2010Как и любое вяжущее вещество, гипсовые вяжущие при смешении с водой образуют пластичное тесто, которое превращается со временем в камневидное тело вследствие ряда физико-химических процессов. Эти изменения протекают постепенно и непрерывно, однако условно различают следующие периоды:
• период текучести (время до начала схватывания), когда масса обладает подвижностью и текучестью;
• период схватывания, когда масса утрачивает свою подвижность, оставаясь при этом достаточно пластичной, т.е. способной деформироваться под действием внешних воздействий;
• конец схватывания, т.е. момент, соответствующий превращению массы в камневидное тело, после которого деформатив-ное воздействие на материал приводит к необратимой потере прочности.
Далее развивается процесс нарастания прочности в материале. Особенности отдельных этапов твердения должны учитываться при изготовлении изделий, так как приготовление массы, формо1 вание, транспортировка сырца и т.д. могут осуществляться только в течение определенного времени.
Твердение низкообжиговых гипсовых вяжущих происходит в результате гидратации полугидрата с образованием двуводного сернокислого кальция
CaS04 ? 0,5H2O + l,5ff2O^> CaS04 ? 2Н20.
Существует несколько теорий, объясняющих механизм твердения вяжущих веществ. На примере гипса рассматривать и сравнивать эти теории особенно удобно, так как это вяжущее мономинерально.
Кристаллохимическая теория была предложена Ле-Шателье в 1882 г. Она объясняла твердение вяжущего возникновением кристаллического сростка гидратных новообразований, выпадающих из раствора. Вяжущее растворяется с образованием раствора, который быстро достигает концентрации насыщения по отношению к соединениям его составляющим. Возникающие в результате гидратации новообразования менее растворимы, чем исходные вещества, следовательно, по отношению к ним раствор оказывается пересыщенным, что и влечет за собой их кристаллизацию.
При твердении строительного гипса в связи с тем, что растворимость двуводного сернокислого кальция составляет около 2 г/л, а растворимость исходного полугидрата — около 8 г/л, раствор оказывается пересыщенным по отношению к двугидрату, в результате чего из него выпадают мелкие кристаллы. При этом раствор обедняется сульфатом кальция, что обеспечивает растворение новых количеств полугидрата и кристаллизацию двугидрата. По этой схеме процесс продолжается до полной перекристаллизации всего исходного CaS04 ? 0,5Н20. При высокой концентрации вяжущего в воде возникающие при твердении кристаллогидраты тесно соприкасаются друг с другом и срастаются, образуя прочные структуры твердения.
В 1892 г. появилась коллоидно-химическая теория В. Михаэли-са, которая объясняла твердение вяжущих образованием коллоидного «студня» новообразований (гелей), склеивающего частицы вяжущего и заполнителя. Согласно этой теории при твердении полуводного гипса гидратация CaS04 ? 0,5Н20 идет не в растворе, а на поверхности частиц вяжущего. Двуводный гипс, образующийся таким образом, не может перейти в пересыщенный раствор и образует коллоидную массу. Упрочнение камня происходит вследствие отсоса воды из геля внутренними частями зерен вяжущего, сопровождаемого появлением дополнительных количеств двугидрата, и обусловленного этим повышения плотности. Таким образом, процесс протекает в основном топохимически, т.е. на поверхности зерна и без перехода минералов вяжущего в жидкую фазу. На более поздних сроках твердения коллоидная масса превращается в кристаллический сросток.