Пусть теперь прямолинейный упругий стержень защемлен в точках х = 0 и х = I прямоугольной системы координат xyz и к его концам приложены скручивающие моменты М и сжимающие силы величины Р. Предполагая, что стержень обладает одинаковыми жесткостями на изгиб в различных плоскостях (Е1у = = Е12 = а), представим зависимость жесткости а от величины площади поперечного сечения S в виде а (х) = kS2{x), где константа к определяется видом поперечного сечения. При исследовании устойчивости стержня и вычислении критических величин скручивающих моментов учтем консервативность рассматриваемой задачи и применим статический метод Эйлера [8.17, 8.48]. Уравнения равновесия и граничные условия для скрученного сжатого стержня имеют вид
(azxx)xx — Р%хх My уху,
(аухх)хх = - Рухх + Mzxxx, (8.85) У(0) =ух{0) =г(0) = zx(0) =0, У (I) = УХ(1) = z (I) = zx(l) =0.
Выполняя сложение левых и правых частей уравнений (8.85) и интегрирование в пределах от х = 0 до х = Z, получим выражение для величины критического момента потери устойчивости
}(«(*) (йх+4>+
М=-^ j (8.86)
о
при заданном значении сжимающей нагрузки.
Задача оптимизации заключается в отыскании распределения площадей поперечных сечений, доставляющего максимум величине (8.86) критического момента потери устойчивости и такого, что удовлетворяется ограничение на объем материала и допустимые значения толщин стержня i
[s{x)&x = V. (8.87) о
Задача (8.85)—(8.87), как и задачи, рассмотренные в данной главе, относится к классу самосопряженных задач оптимизации и не требует введения сопряженных переменных.
Решение задачи находилось в [8.12] численно с применением алгоритма последовательной оптимизации. Выражение для улучшающей вариации 8S, получаемое по методу проектирования градиентов, имеет вид
i
8S = тл|), г|> = Л-4-$Ла*,
ч ° (8.88)
Л = (Uxx + zlx), Т =\ (У**** ~ У*2™) d*'
О
где т > 0 — заданная константа. Соотношения (8.88) обеспечивают положительность вариации ЬМ и выполнение проварьирован-ного условия (8.87).
Posts Tagged ‘стержень’
Проектирование в случае совместного сжатия и кручения упругих стержней
Воскресенье, сентября 13, 2009Устойчивость и проектирование скручиваемых стержней
Воскресенье, сентября 13, 2009Пусть прямолинейный упругий стержень длины I расположен вдоль оси х прямоугольной системы координат xyz, защемлен в точках х = 0, х = I и скручивается под действием момента М, приложенного к концу стержня (рис. 8.6).
Предполагается, что стержень обладает одинаковыми жесткос-тями на изгиб в различных плоскостях, поэтому EIy = EIZ = а, где Е — модуль Юнга материала; 1у, 1у — моменты инерции поперечного сечения относительно осей, проходящих через нейтральную линию стержня и параллельных осям г/, z. При исследовании устойчивости стержня и вычислении критических величин скручивающих моментов применяется статический метод Эйлера. Обозначим через у = у (х), z = z (х) функции, определяющие положение осевой линии искривленного стержня, и запишем соответствующие уравнения равновесия и граничные условия
(ау*х)хх = Mzxxx, (azxx)xx = - Муххх, р™. 8.6
(8.72)
У (0) = Ух (0) = z (0) = zx (0) = 0, у (I) = ух (I) =z(l)= zx (I) =0.
Заметим, что использованные уравнения (8.72) справедливы при предположении малости деформаций. Функции у (х) = z (х) = = 0, описывающие неискривленное положение осевой линии, удовлетворяют уравнениям и граничным условиям (8.72) при любых значениях М. Согласно концепции Эйлера величина критической нагрузки и форма потери устойчивости определяются как минимальное собственное значение и соответствующие ему собственные функции у (х) ф0, z (х) ф 0 краевой задачи (8.72).
Для частного случая постоянного распределения жесткостей а = const определения величины момента потери устойчивости сводится, как известно [8.17], к отысканию минимального положительного корня уравнения tg (М1/2а) = М1/2а. Величина критического момента равна ±8,988 а/1. Получим, следуя работе [8.11], аналог этого уравнения для общего случая, когда распределение жесткостей а — произвольная функция переменной х. Для этого выполним двукратное интегрирование системы уравнений (8.72). Умножим втрое из проинтегрированных уравнений на i (i — мнимая единица) и сложим почленно эти уравнения. Полученное равенство и граничные условия после введения комплексной функции w (х) — у (х) + iz (х) примут вид
awxx = — iMwx + cxx + с2, (8.73)
10 Н. В. Баничук
273
где сг, с2 — комплексные постоянные интегрирования. Интегрируя линейное дифференциальное уравнение (8.73) дважды и удовлетворяя приведенным граничным условиям, получим
х t
w=^ е-ш
и соотношения, которым подчинены константы
l L
d [ —eiM
о о
(8.75)
1 Х 1 Х «Ж /44
С С* f Г» (* ИМф(*)
Cl ^ e-irnw \^ егм<м) ^ dx + c2 } e~iM<»W J ^jy- * = 0.
Устойчивость прямолинейной формы равновесия нагретого стержня
Воскресенье, сентября 13, 2009В задаче об устойчивости прямолинейной формы равновесия нагретого стержня предполагалось, что положение концевых точек фиксировано на оси х. При потере устойчивости стержень удлиняется и происходит разгрузка. Величина критической нагрузки и сжимающей силы, при которой существуют равновесные искривленные состояния стержня, близкие к прямолинейному, будут различаться. Поэтому рассматриваемая задача отличается от классической задачи об устойчивости упругого стержня, сжатого «мертвыми» нагрузками, и требуются дополнительные рассмотрения относительно применимости классической схемы Эйлера. Этот вопрос обсуждался в [8.47], где было показано, что различие в смещениях стержня является величиной более высокого порядка малости (относительно характерного размера смещения) и им можно пренебречь при исследовании устойчивости.
Если в рассмотренной задаче оптимизации на искомое распределение толщин не накладывать «нижнее» ограничение (в формуле (8.58) полагается Sm\n = 0), то можно указать распределение толщин, для которого р = 0 при любых конечных значениях т> й стержень не теряет устойчивости. Действительно, пусть стержень имеет в точке х = 0 острый кончик, а функция S (х) в окрестности 0 х <; е <С I указанной точки представляется в виде S (х) = = схт, где т > 1. Тогда для любого распределения толщин (е <^ <^ х <; I) с указанной асимптотикой при 0 <^ х <^ е величина реакции р, подсчитываемая по формуле (8.55), обращается в нуль.
Для вывода необходимого условия оптимальности удобно переформулировать задачу и исключить дифференциальную связь (8.56). С этой целью заметим, что отыскание критической температуры т> и соответствующей функции и (х) может быть сведено к решению эквивалентной вариационной задачи минимизации неаддитивного функционал а
i^-jJj-(J4)({rito)(J-i*r. (8.6D
0 0 о
минимум в (8.61) разыскивается на классе функций, удовлетворяющих краевым условиям. С использованием соотношения (8.61) исходная задача (8.55)—(8.60) редуцируется к минимаксной задаче-оптимизации без дифференциальных связей
^ = maxs minu ? (\ ($ и* d,)(J? At)"1. (8.62>
0 0 о
Внешний максимум по S разыскивается на классе функций S = = S (х), удовлетворяющих условиям (8.58), (8.59). Двусторонние неравенства (8.58), наложенные на переменную проектирования S (#), удобно учесть, введя вспомогательную управляющую функцию ф (х), связанную с S соотношением
S = U-i + (I2sin ф, (1!= V2 (Smin + ?max), |Ы2 = 1/2 (S max — Smin)-
Единственное ограничение на ф накладывается изопериметри-ческим условием. Из этого условия и выражения для S следует, что»
втф d# = -
И-2
Запишем выражение для первой вариации оптимизируемого* функционала, обусловленной вариацией вспомогательной управляющей функции:
i
бт> = i Л cos фбФ ds, Л = ^ _ - , , В\—w ,
(8.63>
Вг
i
и2 dx
о Q 0 (V* + N sin q>)a
Изопериметрическое условие накладывает на возможные вариации 6ф ограничение i
§ cos ф бф dx = 0. (8.64) о
С учетом соотношений (8.65), (8.64) необходимое условие оптимальности (бт> = 0) примет вид (X — множитель Лагранжа)
(Л — X) cos ф = 0. (8.65)
Оптимизация устойчивости упругих стержней при тепловых нагрузках
Воскресенье, сентября 13, 2009Рассмотрим задачу об устойчивости прямолинейной формы равновесия нагретого стержня. Предположим, что стержень переменной толщины расположен вдоль оси х и шарнирно закреплен в точках х = 0 и х = I. В исходном ненагретом состоянии длина стержня равна I. Поэтому до нагрева осевые напряжения в стержне отсутствуют. Обозначим через Ф приращение температуры при нагреве стержня. Так как положение концов стержня на оси х фиксировано, то в точках крепления при нагреве будут действовать сжимающие реакции р, предотвращающие тепловое расширение стержня. Величина реакции р связана с приращением температуры ft соотношением i
Р = Р*Я/($-§^\ (8.55)
0
где р, Е — соответственно коэффициент линейного расширения и модуль Юнга материала стержня, а через S = S (х) обозначено распределение площадей поперечных сечений.
С увеличением температуры ft увеличивается сила сжатия р и при некоторой критической величине т> сжимающая нагрузка достигает значения, при котором теряется устойчивость прямолинейной формы равновесия и происходит изгиб стержня. Согласно методу Эйлера величина критической силы р определяется как минимальное собственное однородной краевой задачи
EIuxx + pu = 0, (8.56) u (0) = u (I) = 0. [(8.57)
Как и в предыдущих параграфах, здесь рассматриваются стержни, для которых зависимость момента инерции / от площади поперечного сечения может быть представлена в виде EI = AaSa, а = 1, 2, 3. Для заданного типа поперечного сечения и при фиксированном распределении S = S (х) на основе решения краевой задачи (8.56), (8.57) и использования соотношения (8.55) может быть найдена величина критической температуры д, при которой теряется устойчивость, и соответствующее распределение прогибов.
От распределения площадей поперечных сечений (толщин) S (х) зависит величина реакции р (см. (8.55)) и изгибная жесткость. Варьирование распределения S (х) влечет изменение указанных характеристик и тем самым приводит к изменению величины критической температуры. В связи с этим представляет интерес задача максимизации критической температуры за счет отыскания наилучшего распределения толщин. Приведем точную формулировку задачи оптимизации [8.2].
Оптимальное проектирование шарнирно закрепленных сжатых стержней
Воскресенье, сентября 13, 2009Рассмотрим задачу оптимизации устойчивости сжатого» стержня. Предположим, что шарнирно закрепленный стержень сжимается силами р, приложенными к его концам. При некотором критическом значении параметра стержень выпучивается. Выпучивание стержня происходит в плоскости xoz. Начало координат совмещено с одним из концов стержня, а ось х проходит через точки опор стержня. Ограничимся рассмотрением малых деформации стержня и исследуем его равновесие, оставаясь в рамках линейной теории упругости. Обозначим через и (х) величину отклонения изогнутой оси стержня от линии действия сжимающих нагрузок,, а через I — его длину. Запишем основные соотношения задачи максимизации силы потери устойчивости и отыскания наилучшего* в этом смысле распределения площадей поперечных сечений S = = S (х) по длине стержня:
EIuxx + pu = 0, EI = Ла5« а = 1, 2, 3;
U
и(0) = и(/) = 0, J S (х) dx = У, p;->maxs. (8.22) о
Объем стержня У предполагается заданным. Для удобства дальнейших рассмотрений введем безразмерные переменные х'= х/1, S'= IS/N, р — р/АаЕ (штрихи в дальнейшем опускаются), в которых основные соотношения задачи (8.22) примут вид
+ ри = О, и (0) = и (1) = 0, (8.23)
^ S (х) dx = 1, р —> maxs. о
Получение условия оптимальности для задачи (8.23) основывается на стандартных рассмотрениях. Составляется расширенный функционал Лагранжа
1
j<*> = / - X (J S (х) dx - l), / = /i//2,
t ° х (8.24)
Jx == J ul dx, J2 = J u2S"a dx
о 0
и выписывается выражение для его первой вариации, обусловленной варьированием переменной проектирования S (х). При этом используются соотношения (8.23). Имеем
w4=|("^""x)W(*,i1, (8'25)
Из условия экстремума bJx = 0 с учетом (8.25) и нормировки функции и получим необходимое условие оптимальности
и2(х) = Sa+1 (х). (8.26)
Учет условия оптимальности (8.26) приводит к замкнутой краевой задаче и позволяет определить переменную проектирования S (х), функцию состояния и (х) и величину максимизируемого функционала качества р = /. Построение решения выполнено различными способами в [8.34, 8.50, 8.58, 8.66, 8.67]. Приведем новый способ построения оптимального решения, предложенный А. А. Барсуком. Необходимое условие оптимальности (8.26) дифференцируется:
иих = ((а + 1)/2) 5«5Я, (8.27)
а уравнение (8.23) умножается на их и выражение для иих в левой части этого уравнения преобразуется при помощи (8.27). Последующее интегрирование дает
ul + р (а + 1) S = со, (8.28)
где со — неопределенная постоянная. Выражая ul из (8.26),, (8.27) и подставляя результат в (8.28), приходим к дифференциальному уравнению для переменной проектирование
Si = (4/(a + 1))((с - pS)/S«~i). (8.29)
Здесь и ниже оптимальные распределения площадей поперечных сечений ищутся в классе симметричных относительно середины стержня (х = 1/2) функций, т. е. принимается, что искомые распределения обладают свойством
S (х) = S (1 - х). (8.30)
Максимизация жесткости кусочно-однородных стержней при кручении. Задача оптимального армирования
Воскресенье, сентября 13, 2009Задачи максимизации жесткости на кручение упругих стержней исследовались в ряде работ [2.2, 7.6—7.8, 7.13, 7.26— 7.28, 7.35, 7.48, 7.85, 7.86] . В параграфе 4.4 уже обсуждались некоторые вопросы проектирования однородных скручиваемых стержней. Следуя работе [7.6], рассмотрим задачу оптимизации при кручении кусочно-однородного упругого призматического стержня. Обозначим через Q поперечное сечение стержня плоскостью ху, а через Г — границу области Q (рис. 7.8). Предположим, что стержень составлен из двух материалов с модулями сдвига G0 и заполняющих в плоскости поперечного сечения ху соответственно области Q0 и Qx (Q0 + + Qx = Q). Внутренняя область Q0
выпукла и отделена от внешней области Qx гладкой границей Гх. Контуры 1\ и Г не имеют общих точек. В области Q определим кусочно-постоянную функцию G (х, у), полагая G (х, у) = G0r если (х, у) 6 й0, и G (х, у) = бх, если (х, у) ЕЕ Для отыскания функции напряжений ф (х, у), определенной в области Q = Q0 + + Qx и связанной с компонентами тензора напряжений соотношениями
РИС. 7.8
4>xz = 6
1У9
имеем следующую краевую задачу: Аф = -2G, (ф)г = 0,
(7.53)
где Д — оператор Лапласа; д/дп — производная по направлению нормали к контуру; 0 — угол закручивания, приходящийся на единицу длины стержня. Верхними индексами (+) и (—) в (7.53) обозначены предельные значения соответствующих величин на 1\ при подходе изнутри и извне области, ограниченной контуром Гх.
Контур 1\ будем предполагать фиксированным. Площадь области Й0, охватываемой этим контуром, обозначим через S0. Будем также считать заданной площадь St области Qx, т. е. mes Qx =SV
Рассматриваемая ниже задача оптимизации заключается в отыскании формы контура Г, удовлетворяющего изопериметри-ческому условию mes Qx = и такого, что реализуется максимум жесткости стержня при кручении (функционала задачи)
Особенностью данной задачи в отличие от задачи, рассмотренной в параграфе 4.4 (см. также [2, 2.2, 7.27]), является то, что функция ф в области Q задается уравнением с разрывной правой частью. Однако необходимое условие оптимальности контура Г, как нетрудно показать, остается прежним и может быть записано в виде
Заметим, что если зафиксировать контур Г и считать неизвестным положение линии разрыва 1\, а функционал (7.54) максимизировать за счет наилучшего выбора 1\, то получим задачу об оптимальном распределении упругого материала по заданному сечению стержня ?2.
Оптимизация формы криволинейных упругих стержней
Воскресенье, сентября 13, 2009В рассмотрениях, проводимых в предыдущем параграфе, положение осевой линии считалось заданным, а отыскивалась одна переменная проектирования h (s). В данном же параграфе наряду с распределением толщин h (s) будем отыскивать форму осевой линии, т. е. пару функций х (s), z (s). Рассмотрим задачу оптимизации функционала (7.35) в предположении о тонкости стержней (7.36) и для вычисления величин и (I) и w (I) будем использовать формулы (7.37). Кроме того, дополнительно конкретизируем постановку задачи. Внешнюю нагрузку, действующую на стержень, зададим в виде сосредоточенной силы Р, приложенной к свободному концу стержня и направленной параллельно оси z. В качестве минимизируемого функционала примем абсолютное значение вертикального прогиба w незакрепленного стержня, т. е. величину смещения в направлении действия силы.
Используя сформулированные предположения и принимая в качестве независимой переменной координату я, запишем основные соотношения вариационной задачи [7.4]:
р
(*0-*)1Л + 4 .
---dx —> min, (7-4о)
z (0) = 0, z (х0) = zo, (7.44)
$Vl"+7|dx==Z, (7.45) о
Ъ \ h(x)Yl + 4dz= F, (7.46) о
где zx = dz/cLr, а а = 0, 1, 3. Случай а = 0 является особым, так как при а = 0 жесткость стержня не зависит от h и оптимизации подлежит только форма осевой линии z (х). В случае а = 0 условие (7.46) не рассматривается. Решение вариационной задачи будем разыскивать в классе непрерывно дифференцируемых функций z (х) и непрерывных функций h (х). Необходимые условия экстремума [7.15, 7.22] в задаче (7.43)-— (7.46) для функций z и h элементарными преобразованиями приводятся к виду
г——- [(*о - х)м + с0] = си (7.47)
У 1 + Zx
h = [Х0 (хо - *)2]1/<1+«>, (7.48) где с0, cv Хо — произвольные константы.
Уравнение (7.47) определяет оптимальную форму z = z (х) осевой линии стержня при оптимальном выборе изменения толщины h (х). Для вычисления констант с01 сг, Хо и произвольной постоянной, возникающей при интегрировании уравнения (7.47), имеем два граничных условия (7.44) и два изопериметрических условия (7.45), (7.46).
Можно показать [7.4], что для тех случаев, когда z0=#=0 или z0 = 0, но длина стержня превышает величину х0 (I > х0), производная решения будет отлична от нуля на всем интервале 0 ^ х ^ #0.
В дальнейшем без ограничения общности будем считать z0 > 0, откуда в силу отмеченного свойства вытекает, что оптимальное решение z (х) и производная zx (х) положительны (z (х) > 0 при О < х <; х0, a zx (х) > 0 при 0 <^ х <^ х0). Следствием же неотрицательности производной zx будет условие I < х0 -f- z0, выполнение которого необходимо для существования решения задачи.
Произвольный стержень
Воскресенье, сентября 13, 2009Рассмотрим произвольный стержень, закрепленный в точках xt, xi+i. В [6.3] приводится доказательство того, что стержень минимального объема, удовлетворяющий условиям (7.27) при любых нагрузках из (7.26), определяется по формулам
(7.28)
".=<*—>*«""v. v=(^-r(4?-n>'\
где T — функция, задаваемая соотношениями
ЧГ = (х-х>)Щ, xt < х < +xt)/2, *F = (х—^i+i)2/4, (xi+1 +xt)/2 < x < xi+1.
Для конструкции, составленной из стержней вида (7.28)*. (7.29), с использованием условий минимума функционала (7.25) нетрудно получить зависимость Xi = (xi+1 + Xi-i)/2. Следовательно, в оптимальной конструкции подкрепления располагаются1 на равном расстоянии друг от друга, а стержни имеют одинаковую длину Учитывая (7.28)—(7.30), приходим к следующему выражению для оптимизируемого функционала:
7 = u7V + p
(JV + 1)3/*
(7.31)
Таким образом, исходная задача оптимизации свелась к отысканию оптимального числа подкреплений, т. е. целого числа N. Из условия dJIdN = 0 после выполнения элементарных опера-
РИС. 7.5
ции и выделения целой части получим N = а — 1, а > Р; N = а, а < Р;
(a + l)3/*_fl3A-
a=?entier(3/A:P)W+3); а-
(а2 + а)8/А'
(7.32)
P = (|i/pv)H*+8>/fr.
Формулы (7.28)—(7.32) полностью определяют искомое оптимальное решение. Для случая 7с = 1, pZ3/p,=105; 3Pl/6iECkw0 = =2,56 • 10"~3 оптимальная составная подкрепленная балка доказана на рис. 7.5.
Описанная на простейшем примере методика синтезирования конструкций из оптимальных элементов допускает непосредственное обобщение и может быть применена для расчета более сложных оптимальных ферм, стержневых систем на упругом основании, мостовых конструкций и т. д.
Применения условий экстремума в сингулярных точках
Суббота, сентября 12, 2009В качестве другой иллюстрации применения условий экстремума в сингулярных точках рассмотрим задачу оптимизации формы стержня длины Z, сжатого в осевом направлении силами Р, приложенными к его концам. Предполагается, что стержень заделан при х = 0 л шарнирно закреплен в точке х = I. Пусть h (х) означает распределение толщин стержня, а и (х) — отклонение оси стержня от начально прямолинейной конфигурации. Задача заключается в отыскании формы стержня, который выдерживает максимальную нагрузку без потери устойчивости. С применением принципа Рэлея рассматриваемая задача сводится к отысканию непрерывного распределения толщин, удовлетворяющего изопериметрическому условию 1
^h(x)dx = S (4.48) о
и максимизирующего функционал (величину критической нагрузки)
i 1
Р^ = тахЛР(К) = тахЛminu [кт§hmu2xxdx J\u% dx} (4.49)
о . о
при условиях
и (0) - Мя(0) = и (I) = (hmuxx)x=l = 0. (4.50)
В данной задаче полная система необходимых условий оптимальности (3.94) — (3.98) запишется в виде
hm^ulx = Я2, Km(hmuxx)xx + Рихх = 0, (4.51)
(hmuxxy = {hmuxxY = 0, lKm(hmuxx)x + Puxt = 0, (4.52) [Pul - Kmh"-*utx + 2ux (Kmhmuxx)xt = 0. (4.53)
Значение параметра Km отличается от соответствующей величины в рассмотренной выше задаче поперечного изгиба. Условия (4.52) и (4.53) должны выполняться в точках х = x^t разрыва производных. Применяя аргументы, аналогичные тем, которые уже использовались в данном параграфе, нетрудно показать, что оптимальное решение не может иметь более одной сингулярной точки и что условия (4.53) совместно с условиями (4.51), (4.52) приводят к равенству (4.38), на основании которого можно определить положение сингулярной точки.
Для простоты приведем решение, отвечающее случаю т = 1. Из условия оптимальности и\х = X2 и граничных условий (4.50) вытекает, что не существует нетривиальной (и ^fe 0) дважды непрерывно дифференцируемой функции и (х). Поэтому решение будет иметь разрыв в производных и при его отыскании следует применить условия (4.38), (4.52) совместно с уравнениями (4.51). В точке х = х% разрыва производных и (х), как это следует из соотношений (4.52) и первого уравнения (4.51), должны быть выполнены следующие равенства:
h+ = ft- = 0, (hx)+ = - (hxy. ~ (4.54)
Для определения функции прогибов оптимального стержня и положения сингулярной точки используем уравнение ихх = — Х2(ихх =— X при х^х% и ихх = X при x^^x^l), первые три граничных условия (4.50) и условия сшивки в сингулярной точке и* = и~, [их)+ = {их)~. Выполняя элементарные вычисления, определим функцию прогибов
и = —Хх212, 0 < х < хч\ (4.55) и = (Хх/2) (х - 2 (2 - /2)/) + (XIV2) (2-2 /2),
ОС ^ *^^^ *^ ^ у
# положение сингулярной точки х*. = I {f2 — 1)/]/"2. Величина критической силы потери устойчивости, вычисленная при помощи (4.49), (4.51), (4.55), дается формулой
Р = 6KmS/ (3/2 - 4)Z3,
функция распределения толщин ft (х) на кащдом из интервалов О < х < х%, х% <С х
0<х<х+; (4.56)
ft = (35/ (3/2 - 4)/3) (х — I (1 - 1//2)), ^ < х < Z.