Posts Tagged ‘системы’

« Older Entries
Newer Entries »

Оптимизация в неконсервативных задачах упругой устойчивости

Воскресенье, сентября 13, 2009

В предыдущих параграфах данной главы приведены решения задач оптимального проектирования конструкций, для исследования устойчивости которых применимы статические методы. Однако при проектировании существенно неконсервативных систем анализ устойчивости должен основываться на динамических критериях. Применение динамических подходов делает задачи оптимизации более сложными, и к настоящему времени получено решение сравнительно небольшого числа задач [8.14, 8.38, 8.40, 8.73, 8.79,, 8.80, 8.86, 8.89, 8.100].
Учитывая, что исследования в данном направлении находятся в начальной стадии, ограничимся здесь лишь обсуждением некоторых результатов, полученных в работе [8.59].
Изучение устойчивости линейных систем с распределенными параметрами основывается на исследовании уравнения (8.3) для амплитудной функции,, которое с учетом обозначения X = г со записывается в виде
[С + рК + ХВ + Х2А]и = 0. (8.121)

Собственной частоте X — Хяе + iX]m соответствуют комплексные (правая и левая) собственные функции и я v. Оператор К предполагается несамосопряженным. Динамическая потеря устойчивости (флаттер) реализуется, если хотя бы одна из характеристических кривых системы (8.121) в пространстве Хце, Xim, р пересекает ПЛОСКОСТЬ ^Re = 0 При Н6К0-
торых значениях р = рп, XJm = (Х1т)п.
Задача оптимизации заключается в максимизации критического значения параметра нагрузки рц за счет соответствующего выбора переменной проектирования h при заданном значении массы конструкции. От h зависят операторы системы (8.121).
Анализ чувствительности проводится с использованием представлений об обобщенном решении. Уравнение для амплитудной функции записывается в виде скалярного произведения
(у, [С + рК + ХВ + Х2А]и) = 0, (8.122)
причем предполагается дифференцируемость (8.122) по переменной h* Далее вычисляется вариация уравнения (8.122),, обусловленная варьированием переменной проектирования, т. е. заменой h на h + 8hv где 8h — малая вариация функции h. Учитывая, что варьирование осуществляется при критических значениях параметров, будем иметь
Ы № + РпЬК + 1 Ы/i ЬВ + (К1т)Ь 8А] ип) +
(8.123)
+ (vfl,Kufl) 8рп + (vfh [В + 2i (Xlm)fl А] ип) i (8XIm)fl = 0. Вводя обозначения Ане + ibIm = (vfh [8С + pffiK + i (Xlm)fl8В + (XIm)2t 8А]), КЯе + iKim = (vn, Kun), FRe + iFlm = (vfl, [D + 2i(onA] un\ уравнение в вариациях запишем в более компактном виде: Ане + *AIm + (?Re 4- iKlm) брп + (FRe + iFlm) i (8Xlm)n = 0.

Tags: , , , , , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

О кратности критических нагрузок в задачах оптимизации устойчивости

Воскресенье, сентября 13, 2009

Для многих задач оптимального проектирования характерным оказывается сближение точек спектра и появление кратных критических нагрузок. Это обстоятельство обусловливает определенные трудности проектирования оптимальных по устойчивости конструкций. В связи с этим в целом ряде работ рассматриваются различные аспекты, связанные с решением задач оптимизации конструкций в случае кратных собственных значений.
Обсудим сначала возможность появления двукратных собственных значений. С этой целью сформулируем общую задачу оптимизации, зависящую от одного параметра, и рассмотрим поведение собственных значений при изменений этого параметра.
Пусть задано множество Жа допустимых значений переменных проектирования, т. е. h ЕЕ Жа- Нижний индекс означает зависимость множества допустимых значений от параметра а. Например, для многих задач оптимизации устойчивости в качестве переменной проектирования рассматривается распределение толщин A (х) по конструкции, удовлетворяющее условию постоянства объема и ограничению на минимально допустимые значения:
h dQ = 1, h > /гтт = ос.
Здесь в качестве параметра, определяющего допустимое множество, выступает величина Amm (использованы безразмерные переменные).
(8.93) (8.94)
Рассмотрим следующую задачу оптимизации. Требуется найти функцию h (х), доставляющую максимум первому собственному значению
р± = шах^А),
А ЕЕ Ж а
краевой задачи
L (h)u = ри. (8.95)
Предположим, что задача оптимизации (8.93)—(8.95) решена для значений а, заполняющих некоторый интервал и определено распределение переменной проектирования A (х, а) в зависимости от а как от параметра. Соответствующие собственные функции и собственные значения краевой задачи (8.95) так же будут зависеть от а, как от параметра иг = иг (х, a), pt = pt(a). Для теории оптимального проектирования поведение собственных значений в зависимости от параметра представляет особый интерес. Этот вопрос широко обсуждался и в связи с другими задачами [8.6, 8.7]. Так, например, для систем, имеющих конечное число степеней свободы и не обладающих симметрией (системы общего положения), известен общий результат [8.7], в соответствии с которым изменением одного параметра невозможно добиться совпадения двух частот. Аналогичное утверждение имеет место и в случае колебаний сплошной среды [8.7].

Tags: , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

Проектирование в случае совместного сжатия и кручения упругих стержней

Воскресенье, сентября 13, 2009

Пусть теперь прямолинейный упругий стержень защемлен в точках х = 0 и х = I прямоугольной системы координат xyz и к его концам приложены скручивающие моменты М и сжимающие силы величины Р. Предполагая, что стержень обладает одинаковыми жесткостями на изгиб в различных плоскостях (Е1у = = Е12 = а), представим зависимость жесткости а от величины площади поперечного сечения S в виде а (х) = kS2{x), где константа к определяется видом поперечного сечения. При исследовании устойчивости стержня и вычислении критических величин скручивающих моментов учтем консервативность рассматриваемой задачи и применим статический метод Эйлера [8.17, 8.48]. Уравнения равновесия и граничные условия для скрученного сжатого стержня имеют вид
(azxx)xx — Р%хх My уху,
(аухх)хх = - Рухх + Mzxxx, (8.85) У(0) =ух{0) =г(0) = zx(0) =0, У (I) = УХ(1) = z (I) = zx(l) =0.
Выполняя сложение левых и правых частей уравнений (8.85) и интегрирование в пределах от х = 0 до х = Z, получим выражение для величины критического момента потери устойчивости
}(«(*) (йх+4>+
М=-^ j (8.86)
о
при заданном значении сжимающей нагрузки.
Задача оптимизации заключается в отыскании распределения площадей поперечных сечений, доставляющего максимум величине (8.86) критического момента потери устойчивости и такого, что удовлетворяется ограничение на объем материала и допустимые значения толщин стержня i
[s{x)&x = V. (8.87) о
Задача (8.85)—(8.87), как и задачи, рассмотренные в данной главе, относится к классу самосопряженных задач оптимизации и не требует введения сопряженных переменных.
Решение задачи находилось в [8.12] численно с применением алгоритма последовательной оптимизации. Выражение для улучшающей вариации 8S, получаемое по методу проектирования градиентов, имеет вид
i
8S = тл|), г|> = Л-4-$Ла*,
ч ° (8.88)
Л = (Uxx + zlx), Т =\ (У**** ~ У*2™) d*'
О
где т > 0 — заданная константа. Соотношения (8.88) обеспечивают положительность вариации ЬМ и выполнение проварьирован-ного условия (8.87).

Tags: , , , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

Устойчивость и проектирование скручиваемых стержней

Воскресенье, сентября 13, 2009

Пусть прямолинейный упругий стержень длины I расположен вдоль оси х прямоугольной системы координат xyz, защемлен в точках х = 0, х = I и скручивается под действием момента М, приложенного к концу стержня (рис. 8.6).

Предполагается, что стержень обладает одинаковыми жесткос-тями на изгиб в различных плоскостях, поэтому EIy = EIZ = а, где Е — модуль Юнга материала; 1у, 1у — моменты инерции поперечного сечения относительно осей, проходящих через нейтральную линию стержня и параллельных осям г/, z. При исследовании устойчивости стержня и вычислении критических величин скручивающих моментов применяется статический метод Эйлера. Обозначим через у = у (х), z = z (х) функции, определяющие положение осевой линии искривленного стержня, и запишем соответствующие уравнения равновесия и граничные условия
(ау*х)хх = Mzxxx, (azxx)xx = - Муххх, р™. 8.6
(8.72)
У (0) = Ух (0) = z (0) = zx (0) = 0, у (I) = ух (I) =z(l)= zx (I) =0.
Заметим, что использованные уравнения (8.72) справедливы при предположении малости деформаций. Функции у (х) = z (х) = = 0, описывающие неискривленное положение осевой линии, удовлетворяют уравнениям и граничным условиям (8.72) при любых значениях М. Согласно концепции Эйлера величина критической нагрузки и форма потери устойчивости определяются как минимальное собственное значение и соответствующие ему собственные функции у (х) ф0, z (х) ф 0 краевой задачи (8.72).
Для частного случая постоянного распределения жесткостей а = const определения величины момента потери устойчивости сводится, как известно [8.17], к отысканию минимального положительного корня уравнения tg (М1/2а) = М1/2а. Величина критического момента равна ±8,988 а/1. Получим, следуя работе [8.11], аналог этого уравнения для общего случая, когда распределение жесткостей а — произвольная функция переменной х. Для этого выполним двукратное интегрирование системы уравнений (8.72). Умножим втрое из проинтегрированных уравнений на i (i — мнимая единица) и сложим почленно эти уравнения. Полученное равенство и граничные условия после введения комплексной функции w (х) — у (х) + iz (х) примут вид
awxx = — iMwx + cxx + с2, (8.73)

10 Н. В. Баничук

273

где сг, с2 — комплексные постоянные интегрирования. Интегрируя линейное дифференциальное уравнение (8.73) дважды и удовлетворяя приведенным граничным условиям, получим
х t
w=^ е-ш и соотношения, которым подчинены константы
l L
d [ —eiM J а(х) 1 J «W
о о

(8.75)
1 Х 1 Х «Ж /44
С С* f Г» (* ИМф(*)
Cl ^ e-irnw \^ егм<м) ^ dx + c2 } e~iM<»W J ^jy- * = 0.

Tags: , , , , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

Анализ устойчивости и оптимального проектирования упругих элементов

Воскресенье, сентября 13, 2009

При анализе устойчивости и оптимальном проектировании упругих элементов конструкций из условия максимальности критических нагрузок потери устойчивости возникают известные трудности, обусловленные появлением в ряде случаев кратных критических значений [1.2, 8.13, 8.26, 8.28, 8.29, 8.39, 8.57, 8.62, 8.75, 8.77]. В этих случаях существенных упрощений можно добиться 8а счет декомпозиции исходного спектра на сумму вспомогательных спектров, не содержащих кратных собственных значений.
Опишем один из способов декомпозиции спектра, основанный на использовании свойств симметрии и разделении форм потери устойчивости на симметричные и антисимметричные [1.2, 8.13]. Соответствующее разделение по признаку симметрии собственных функций применяется к собственным значениям. При этом устраняются особенности, связанные с кратностью нагрузок, и исходная задача оптимизации редуцируется к классической задаче максимизации простых собственных значений, для решения которой могут использоваться ранее развитые алгоритмы [2, 10, 15, 17,
23, 24, 50, 51].
Опишем подробнее данный подход. Принимая при исследова* нии устойчивости консервативной упругой системы статический метод Эйлера, приходим к однородной краевой задаче на собственные значения

Си — рКи = 0,
(Nu)x==±l = 0,

(8.11) (8.12)

где х ЕЕ [— Z, /]; и (х) — вектор-функция, определяющая равновесное состояние упругого элемента конструкции; h = h (х) — управляющая вектор-функция; р — собственное значение (параметр нагрузки); С (я, h (#)), К (х, к (х)), N (х, h (х)) — операторы дифференцирования по независимой переменной х. Операторы С, К, N линейные, причем коэффициенты операторов зависят от управляющей функции h. Линейные операторы С и К с граничными условиями (8.12) предполагаются самосопряженными и положительно определенными. Кроме того, считается, что рассматриваемые распределения управляющей функции h симметричны относительно точки х = 0, т. е. h (х) = h (— х), и что при симметричном распределении h дифференциальные операторы уравнения (8.11) с граничными условиями (8.12) не меняют своего вида при преобразовании инверсии х -> — х.
Минимальное собственное значение рг краевой задачи (8.11), (8.12) определяет величину критической силы потери устойчивости. Для вычисления минимального значения рх воспользуемся вариационным принципом Рэлея:

рг = ттиФ (и, К),
ф (щ h) = {Си, и)1{Ки, и).

(843) (8.14)

Круглыми скобками в правой части (8.14) обозначены скалярные произведения соответствующих элементов. Минимум (8.13) находится на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям (8.12).
Рассматриваемая задача оптимизации заключается в максимизации величины критической силы потери устойчивости и отыскании наилучшего в этом смысле распределения управляющей переменной:
р% = max ръ (8.15)

h(= Rh.

(8.16)

Максимум в (8.15) разыскивается на симметричных распределениях h (х)щ принадлежащих допустимому множеству Rh.

Tags: , , , , , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

Упругая устойчивость

Воскресенье, сентября 13, 2009

Задача упругой устойчивости состоит в отыскании минимальной величины параметра р (первого собственного значения) и соответствующего распределения прогибов (собственной функции) из решения линейной краевой задачи. Как уже отмечалось, достаточным условием действительности всех собственных значений р является выполнение требования самосопряженности краевой задачи.
Статический метод исследования устойчивости сводится к составлению и решению бифуркационной задачи. Соответствующие рассмотрения являются обоснованными с математической точки зрения, если краевая задача на собственные значения является самосопряженной и полностью определенной, т. е. для любых функций сравнения выполняются соотношения '
J uCv dQ = J vCu dQ, jj uCu dQ > 0;
Q Q Q
J uKv dQ = jj uKu dQ, jj uKu dQ> 0.
ft
Заметим [8.3, 8.31], что самосопряженная полностью определенная задача на собственные значения, не содержащая параметра р в граничных условиях всегда имеет бесконечный спектр положительных собственных значений, из которых в задачах устойчивости достаточно найти только наименьшее, определяющее критическую нагрузку.
Для самосопряженной и полностью определенной задачи на собственные значения справедлива теорема о минимуме отношения Рэлея [1.11, 1.12, 8.1]. При применении основанного на этой теореме энергетического метода исследования устойчивости критическая нагрузка находится из решения вариационной задачи о минимуме неаддитивного функционала J uCu dQ
p = min—r . (8.6)
ft
Минимум поив (8.6) разыскивается на достаточно гладких функциях, удовлетворяющих граничным условиям.
К группе статических методов исследования упругой устойчивости относится также метод неидеальностей. Этот метод заключается во введении в однородные уравнения равновесия (уравнения продольного изгиба стержней и пластин, уравнения выпучивания оболочек) малых дополнительных слагаемых, делающих эти уравнения неоднородными. Эти дополнительные члены уравнений могут быть, например, обусловлены наличием эксцентриситета при приложении к колонне сжимающей нагрузки, действием поперечных сил на сжатые в своей плоскости пластинки, предварительным искривлением работающих на сжатие панелей, неоднородностью распределения силового материала в оболочках. С учетом указанных неидеальностей, описываемых функцией ?, основное уравнение равновесия примет вид
Си - рКи + ? = 0. (8.7)
В отличие от бифуркационного уравнения (8.5) уравнение (8.7) имеет однозначно определенное нетривиальное решение и (|| и \\ Ф Ф 0) для сколь угодно малых значений параметра нагрузки р. При увеличении р максимальное значение (амплитуда) функции прогибов возрастает. Этот максимум стремится к бесконечности при приближении параметра нагрузки к некоторому критическому значению. Это значение совпадает с эйлеровой величиной нагрузки, определяемой как первое собственное значение бифуркационной задачи (8.5). Поэтому исследование упругой устойчивости возможно с применением метода неидеальностей, приводящего к задаче отыскания величины силы (параметра р), для которой прогибы неидеальной системы становятся бесконечно большими.

Tags: , , , , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

Условная оптимизация

Воскресенье, сентября 13, 2009

Задача условной оптимизации (7.176), (7.177) решается итерационным методом. Сначала на заданном отрезке времени [0, Т] ищется решение системы уравнений (7.176) при заданных параметрах проектирования ht. По формуле (7.166) вычисляются истинные перемещения точек конструкции и их квадраты (7.168). Из полученного конечного набора значений J*k выбирается максимальное. Фиксируется номер точки / и момент времени для которых был достигнут максимум. Затем интегрируется система уравнений для сопряженных переменных (7.173) с начальными условиями (7.174). По формулам для улучшающих вариаций параметров проектиро-вания, полученных методом проектирования градиентов на основе {7.175), (7.177) [2], вычисляются bht. После определения новых значений параметров проектирования ht осуществляется следующая итерация. Итерации завершаются, если контролируемая невязка в выполнении необходимых условий оптимальности оказывается достаточно малой. v

9* 243
В процессе варьирования максимальный прогиб может достигаться во многих точках конструкции в разные моменты времени. Поэтому приведенные формулы анализа чувствительности должны быть обобщены с учетом возможности появления кратных максимумов функционала жесткости. В этом случае / = Ja$ представляет собой максимальное значение прогибов, достигаемое при заданных значениях параметров проектирования в моменты времени Ц (р = 1, 2, s) в точках Ра$. Для каждого фиксированного (V индекс а, нумерующий точку реализации максимального прогиба, принимает значения а = 1, 2, г$. Общее количество точек, в которых в разные моменты времени достигается максимум прогиба, равно 2гр = г (Р = 1, s). Заметим, что при сделанных предположениях функционал жесткости оказывается в общем случае недифференцируемым. Поэтому при решении задачи оптимизации для построения улучшающей вариации следует дифференцировать функционал по направлениям и обобщить соотношения, определяющие сопряженные переменные. В рассмотрение вводятся г сопряженных вектор-функций уа^, и для их отыскания формулируется г задач Коши
A*v*& — B*v*b + = 0, (7.178)
v«t (Ц) = О, А*№ (*р) = 2 (Da*u (*р)) ?ар. (7.179)
В этом случае для вариации функционала жесткости справедлива формула
б/ = g{maxa,p I^ffia+tjiu+HLu) dt}б/г,. (7.180)
Наличие кратных максимумов функционала прогиба усложняет процедуру решения задачи. Так, после выделения множества точек Ра$, в которых достигается максимум, необходимо решение г задач (7.178), (7.179) для определения сопряженных переменных и выражение для улучшающей вариации строится по формуле
8j-hz ** $vai^u+^-u+^u)dt) 8ki>(7:i8i)
a, p 0 1
где — вещественные числа, удовлетворяющие условиям Ь°*>0, 2fc* = l. (7.182)
a, 0
Следует иметь в виду, что максимум квадрата прогиба конструкции может достигаться на целом отрезке времени t2] (0 < < *i< ?2< Л- Для вычисления вариации функционала в этом случае необходимо решать сопряженную задачу (7.173), зависящую от t$E= Itu t2] как от непрерывно изменяющегося параметраж и определить сопряженную функцию как функцию двух переменных и — v (t, t$). В выражении для вариации функционала (7.180) максимум должен браться по Однако при проведении расчетов с дискретизацией временной переменной используются формулы (7.181), (7.182).

Tags: , , , , , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

Линейность системы дифференциальных уравнений

Воскресенье, сентября 13, 2009

Линейность системы дифференциальных уравнений (7.164) является следствием принимаемых предположений о малости деформаций и линейно-упругом поведении материала. Физический смысл вектора обобщенных перемещений, а также структура матриц А, В, С, как и вектор-функция q (t), зависят в каждом конкретном случае от принятого способа дискретизации (по поводу моделирования конструкций системами вида (7.164) [1.7].
Обозначим через h = (hx, h2, hn) вектор параметров проектирования, в качестве которых выбираются массовые, жесткостные и геометрические характеристики конструкции. Будем считать зависимости элементов матриц iKB и С от параметров проектирования непрерывно дифференцируемыми по h{ (i = 1, 2, ... п).
Для оценки жесткости наряду с обобщенными перемещениями требуется рассматривать истинные перемещения точек Pj конструкции.
Введем матрицу перехода D от обобщенных перемещений к истинным:
U = Du, (7.166)

9 Н. В. Баничук

241

где U — вектор истинных перемещений размерности т для точки Pj имеет вид (Dj — /-я вектор-строка матрицы перехода D):
U>= (0,0, ...,0). (7.167)
Обозначим через J^k квадрат перемещения в точке Pj в момент времени t = tk (0 < tk <^ Т):
j* = (ир*)Мк. (7.168)
Здесь и далее в данном параграфе по повторяющимся индексам суммирование не производится.
Зафиксируем точку Pj и момент времени t = tk и исследуем зависимость величины Jjk от малых вариаций параметров ht. Для этого проварьируем систему уравнений (7.164), начальные условия (7.165) и выражение (7.168) с учетом (7.166), (7.167). Имеем
6Jjk = 2 {Dju {tk)){Dj8u ft)), (7.169)
n
А8й + В8й + Сба + ^ + "Jjr" "Ж"м) ^»
i==1 \ i i i /
(7.170)
6u (0) = 0, 8й (0) = 0. (7.171)
Введем в рассмотрение вектор-функцию сопряженных переменных и = и (t). Домножим левую часть уравнения (7.170) на сопряженную переменную и проинтегрируем произведение от t = 0 до t = tk. Выполним далее интегрирование по частям и учтем условия (7.171), а затем представим выражение для вариации 8Jjk в виде
'*
8Jjk = jj |би [A*v — B*v + С*и] + о

г=1 4 1
4- (vA8u)t=tk + l(vB - vA + 2 (&и) &) 6u]M]t. (7.172)
Звездочкой обозначается операция транспонирования. Определим сопряженную переменную как решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
A*v - B*v + С*и = 0 (7.173)
с начальными условиями при t = tk:
v to) = 0, A*v to) = 2 (ВЫ (h)W. (7.174)
В задаче Коши (7.173), (7.174) при определении сопряженной переменной интегрирование уравнений проводится в обратном

направлении по времени от t = tk до Ь = 0. При фиксированных параметрах Ль hn связь задачи (7.173), (7.174) для и с задачей Коши (7.164), (7.165), определяющей динамическое поведение конструкции, осуществляется посредством второго уравнения (7.174).

Tags: , , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

Осесимметричная оболочка переменной толщины

Воскресенье, сентября 13, 2009

Рассмотрим осесимметричную оболочку переменной толщины h = h (х), длины Z, радиуса R. Ось х совмещена с осью оболочки. На оболочку действует радиальная нагрузка q = q (х, t), изменяющаяся во времени. Обозначим через w (х, t) смещение в тангенциальном направлении. Для записи основных соотношений используем безразмерные переменные
х' = xIR, h'= h/Ry v'= vIR, w'= w/Ry t'= t/Tt
p' = p ((1 — V2)R2IET2), q'= qlE, V = UR, T'= 1,
где p, E, v — плотность, модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала оболочки; [О, Т] —заданный интервал времени. Уравнения, описывающие осесимметричные движения цилиндрической оболочки, могут быть представлены в виде системы двух дифференциальных уравнений в частных производных (штрихи у безразмерных переменных в дальнейшем опускаются)
[h (их + vw)]x — phutt = О,
h (w + vux) + V12 (h3wxx)xx + phwtt = q.
Оболочку считаем шарнирно закрепленной с обоих концов. В этом случае граничные и начальные условия имеют вид
w (0, t) = wxx (О, t) = w (Z, t) = wxx (Z, t) = 0,
v (0, I) = и (Z, t) = 0, (7.157)
w (x, 0) = wt (x, 0) = 0, и (x, 0) = ut (x, 0) = 0.
Оптимизационная задача заключается в минимизации объема материала оболочки i
J = \h{x)dx-> minh (7.158)
о
при двустороннем ограничении на искомую переменную проектирования (7.150) и локальном условии на величину максимального прогиба
max Xtt\w (х, t) |< d. (7.159)
При решении задачи (7.156)—(7.159) удобно воспользоваться приемом, описанным в параграфе 2.2, и заменить локальное условие (7.150) интегральным равенством т i
/i = J § -^(\iv(x,t)\ — d + \w(x,t)\-d\)dxdt = 0. (7.160) о о
Для получения эффективных соотношений анализа чувствительности, связывающих вариации рассматриваемых функционалов с вариациями переменной проектирования, введем в рассмотрение две сопряженные переменные г = г (х, t) и s = s (ху t). Определим эти функции из решения следующей системы уравнений в частных производных:
\h (rx — vs)]x — phr>t — 0,
п у (7.161) h(s — vrx) + V12 (h*sxx)xx + phstt = Q,
Q = V2 [1 + sign (j w (я, t)\—d) sign w (x, t)
при краевых и начальных условиях (7.157). В условиях (7.157) г подставляется вместо у, a s — вместо w. При помощи введенных указанным способом сопряженных переменных и с учетом представления локального условия (7.159) интегральным равенством формулы анализа чувствительности запишутся следующим образом:
i
8J = J 6h dx = О, 8й>, (7.162) о
I т о Lo
+ "^-WsxxWxx — ps/M?/j d^J 8h dx = <^i, 6hy.
Двусторонние ограничения на переменную проектирования h учитывались аналогично тому, как это делалось выше при рассмотрении задач об оптимальном проектировании динамически нагруженных балок.

Tags: , , , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

Свойства функционала податливости

Воскресенье, сентября 13, 2009

Отметим некоторые свойства функционала податливости. Предположим, что на части контура Ги смещения заданы, т. е. Ut = О, и обозначим через А,, р упругие постоянные материала. Предположим также, что тело является изотропным и, вообще говоря, неоднородным. Неоднородность понимается в том смысле, что упругие постоянные материала различны в различных точках.
Справедливо следующее утверждение [7.17]. Если уменьшить (увеличить) упругие постоянные X и р материала в любой области тела, то податливость не уменьшится (не увеличится).
Для доказательства рассмотрим потенциальную энергию системы в состоянии равновесия [7.33]
W (и) = J П dQ - J ди dra, (7.6) а га
Здесь и — поле смещений, соответствующее равновесному
состоянию тела; П — удельная потенциальная энергия деформации упругого тела:
П = -1 [X (еп + е22 + е33)2 + 2р. (г2п + 4 + е2* + 2е22 + + 2е223 + 2&)].
Уменьшим упругие постоянные X и р материала в некоторой подобласти Q1 тела до значений Хх и рх, не меняя поля смещений. При этом, очевидно, уменьшится член в формуле (7.6), поэтому
W(u)> W^u), (7.7)
где W1 (и) —потенциальная энергия измененного тела, соответствующая полю смещений и. Заметим, что состояние с полем u является допустимым [7.33] для измененного упругого тела, т. е. смещения и принимают те же нулевые значения на части Гм поверхности тела, что и смещения и1, отвечающие состоянию равновесия измененного тела при прежних нагрузках. Используя далее принцип минимума потенциальной энергии системы [7.33, 7.41], получим W1 (и) > W1 (и1).
Применение теоремы Клапейрона позволяет установить, что в состоянии равновесия для исходного и измененного тела выполняются равенства
W{u) = — ± ^ди (ЗГа = - /,
(7.8)
W1 (и1) = - -J- jj gu1 аГа = - J\ ra
С учетом (7.8) из (7.6), (7.7) следует, что
/ = ±- ^ди dra < -i- jj да1 dra = J1. (7.9)
Га Га
Очевидно, меняя исходное и измененное тела, получим, что при увеличении постоянных X и р, величина / не увеличится.
Заметим, что для более общего случая, когда смещения на части границы Ги отличны от нуля (Ut Ф 0), доказанное утверждение сохранит силу, если в качестве оцениваемой интегральной характеристики рассматривать величину

Tags: , , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

« Older Entries
Newer Entries »