Твердение известкового теста происходит в результате испарения воды и кристаллизации гидрокисида кальция. При потере влаги мельчайшие частицы Са(ОН)2 сближаются и срастаются между собой, образуя известковый каркас. По мере испарения воды кристаллов становится все больше, они переплетаются и превращаются в прочный кристаллический сросток. Одновременно также происходит карбонизация гидроксида кальция за счет поглощения им углекислоты из воздуха
Са(ОН)2 +С02 + пН20-» СаС03 + (п+1)Н20.
Этот процесс протекает достаточно интенсивно лишь в присутствии воды. Карбонизация извести приводит к уплотнению и упрочнению структуры, а также к повышению водостойкости изделий. Однако пленка углекислого кальция, образующаяся на поверхности твердеющей извести, затрудняет проникновение С02 во внутренние ее слои. Поэтому карбонизация замедляется и затягивается на долгие годы. В начальный период твердения на прочность известковых растворов карбонизация сказывается в меньшей степени, чем высыхание. Поэтому необходимо обеспечивать благоприятные воздушно-сухие условия для твердения известковых изделий.
Известковое тесто из—за сильной усадки при высыхании растрескивается, во избежание чего к нему добавляют 2—4 объемные части песка. Песок служит в растворе скелетом, препятствующим усадке и растрескиванию теста при высыхании. Кроме того, он удешевляет раствор и делает его более пористым, что облегчает удаление испаряющейся воды и доступ внутрь материала углекислого газа. Сцепление частиц песка и извести достаточно прочное. Извести в растворе должно быть достаточно для заполнения всех пустот между песчинками и обмазывания каждой из них известковым тестом. Однако прослойки между песчинками должны быть минимальны. При избытке извести, а также при ее неравномерном распределении среди песчинок в местах скопления извести при затвердевании могут появиться трещины. При обычных температурах известь и песок во взаимодействие не вступают.
При затворении водой молотой негашеной извести происходит ее гидратационное твердение, выражающееся в гидратации оксида кальция, последующей коллоидации и кристаллизации продукта гидратации. При твердении идет реакция
СаО + Н20= Са(ОН)2.
Негашеная известь растворяется в воде с образованием насыщенного раствора, который быстро становится пересыщенным, так как, во-первых, растворимость извести при нагревании снижается, а, во-вторых, часть воды испаряется и отсасывается внутренними слоями зерен. Из пересыщенного раствора выделяются субмикроскопические частички гидроксида кальция, сцепляющиеся и срастающиеся друг с другом. В дальнейшем происходит рост кристаллов с увеличением площади контактов их срастания и повышением прочности камня. Упрочнению твердеющей системы способствует значительное увеличение доли твердой фазы в системе за счет химического связывания воды в Са(ОН)2.
Posts Tagged ‘системы’
Твердение известковых вяжущих
Понедельник, декабря 28, 2009Обжиг сырьевых шихт
Пятница, октября 9, 2009Эта важнейшая операция как при мокром, так и при сухом способе производства происходит в основном во вращающихся печах (рис.3.13), которые практически полностью вытеснили используемые ранее шахтные печи.
Вращающиеся печи представляют собой стальной барабан, сваренный или склепанный из отдельных обечаек, и футерованный внутри огнеупорными материалами. Профиль печей может быть как строго цилиндрическим, так и сложным - с расширяющимися зонами. Увеличение диаметра печи в пределах определенной зоны применяют с целью увеличения времени пребывания в ней материала.
Горячий (нижний) конец печи закрыт откатной головкой, через которую проходят форсунки для питания печи топливно-воз-душной смесью. Холодный (верхний) конец печи входит в пыльную камеру. Для правильного ведения процесса обжига необходимо полностью исключить подсос холодного воздуха в печь с загрузочного и с разгрузочного концов. Для этого применяют изолирующие устройства.
При мокром способе производства эксплуатируются печи размером 3,6x127, 4x150, 4,5x170, 5x185 м. Печи устанавливают под углом 3—4° к горизонту. Вращающиеся печи работают по принципу противотока: сырье поступает в печь с верхнего холодного конца, а со стороны горячего нижнего конца вдувается топливо-воздушная смесь, сгорающая на протяжении 20—30 м длины печи. Горячие газы, перемещаясь навстречу материалу со скоростью 2—13 м/с, нагревают последний до требуемой температуры. Длительность пребывания материала в печи зависит от угловой скорости вращения печи, ее диаметра и угла наклона барабана. Занятое материалом сечение во вращающейся печи составляет лишь 7—15% ее объема, что является следствием высокого термического сопротивления движущегося слоя, объясняется малой теплопроводностью частиц и слабым их перемешиванием в слое.
Факел пламени и горячие газы нагревают поверхностный слой материала и футеровку печи. Футеровка, в свою очередь, отдает получаемую теплоту открытой поверхности материала лучеиспусканием, а его закрытой поверхности — путем непосредственного контакта теплопроводностью и через наружную поверхность в окружающую среду — лучеиспусканием и конвекцией. При каждом обороте печи в период соприкосновения с газовым потоком температура футеровки повышается, а в период контакта с материалом - понижается. Таким образом, материал воспринимает теплоту в двух случаях, а именно: когда соприкасается с нагретой футеровкой и когда находится на поверхности слоя.
Эффективное использование теплоты в мощных вращающихся печах возможно только при установке системы внутрипечных или запечных теплообменных устройств.
Печи мокрого способа производства, в которые на обжиг подают жидкий шлам, оборудуются внутрипечными теплообменниками. Такие теплообменные устройства имеют развитую поверхность, которая либо покрывается достаточно тонким слоем материала с целью постоянного и эффективного его контакта с горячими газами, либо работает как генератор, воспринимая теплоту от газов и передавая ее материалу при непосредственном соприкосновении с ним.
Структура и технологические свойства сырьевых шихт
Суббота, сентября 19, 2009Сырьевые шихты получают в виде сухих порошков, пластичных масс или жидких суспензий (шламов или шликеров). При значительном разнообразии их химического состава и количества присутствующей жидкой фазы сырьевые шихты имеют ряд общих признаков, определяющих в свою очередь общность их свойств и поведения в ходе дальнейшей переработки. Все они тонкодисперсные системы, близкие к коллоидным — термодинамически активным агрегативно неустойчивые, способные к саморегулированию свойств и чувствительные к внешнему воздействию. Эти системы обладают высокой поверхностной энергией.
По законам термодинамики
F= ст • 5-> min,
где F— величина силы, действующей на межфазной границе, ст — удельное поверхностное натяжение на границе фаз, S— величина межфазной поверхности.
В системе «твердое вещество — газовая фаза» <т практически не меняется, остается один путь S-+ min, а это возможно за счет укрупнения размера частиц, агломерации их в более крупные агрегаты. Поэтому все сырьевые шихты склонны к структурообразо-ванию и обладают определенной структурой.
Сырьевые цементные шламы и глиняные шликера — полидисперсные и полиминеральные суспензии, в которых твердая фаза представлена частичками известняка, глины, кварца и других минералов, а жидкая — водой (иногда раствором электролитов — для глиняных шликеров). Размер твердых частиц колеблется в широких пределах — от тысяч нанометров до сотен микрометров и более. Крупные фракции представлены в основном непластичными минералами (кварцем, известняком, полевым шпатом), а мелкие — глинистыми минералами, аморфной кремнекислотой, гадроксидами железа, алюминия.
Структура шламов и шликеров представляется в виде пространственной сетки — каркаса, образованной молекулярным сцеплением друг с другом атомов, ионов, молекул коллоидных и дисперсных частиц. Такая система способна после разрыва связей под действием внешней приложенной силы снова восстанавливать свою структуру. Это свойство называется тиксотропностью и объясняется оно тем, что шлам структурирован. Частицы, образующие такие структуры, связаны между собой слабыми ван-дер-ваальсовыми силами через тонкие прослойки жидкой среды, которые дают возможность восстанавливать контакты в результате благоприятных соударений при броуновском движении. Такая структура, с одной стороны, обеспечивает текучесть шламов и шликеров, возможность их перемешивания (гомогенизации), а с другой — предотвращает расслаивание, способствует обеспечению их гомогенности.
Шламы и шликера имеют мицеллярное строение. Можно выделить три типа находящейся в них воды:
• прочно связанная в сольватных оболочках минеральных частиц, когда диполи воды имеют определенную устойчивую ориентацию, а толщина оболочек составляет сотни нм;
• вода, входящая в рыхлосвязанный диффузионный слой, находящийся за сольватной оболочкой, в которой степень упорядоченности диполей воды уже существенно ниже. При этом степень ориентации обратно пропорциональна расстоянию от этой поверхности;
• свободная вода — это вода, находящаяся в пространстве между частицами и не входящая ни в сольватный, ни в диффузионный слой.
В состояния покоя большинство гидратированых частиц шлама (шликера) имеет поверхности контакта, что делает систему структурированной и вязкой. Если на систему воздействовать механическим путем, то диффузные оболочки в мицеллах сжимаются за счет перевода части воды из диффузной области в разряд свободной, располагающейся в прослойках. Эти прослойки позволяют агрегатам скользить по поверхности подобных себе частиц, при этом текучесть повышается. Таким образом, для разрушения структуры шлама или шликера и увеличения его текучести требуется его интенсивная механическая обработка.
Тонкое измельчение
Суббота, сентября 19, 2009Конечная цель тонкого измельчения — получение тонкомолотого материала определенной дисперсности, обеспечивающей химическую активнорть продукта или сырья на последующих стадиях его переработки или применения.
Механическая энергия, передаваемая твердому телу при тонком измельчении, расходуется на:
• изменение дисперсности системы (рост Sys);
• изменение упорядоченности структуры (рост дефектности);
• дотацию эндотермических процессов (реакции, происходящие непосредственно при измельчении, то есть механо-химичес-кие процессы).
Выбор характера воздействия на твердое тело, т.е. количество передаваемой энергии, скорость и интенсивность ее передачи, позволяет регулировать соотношение между этими составляющими расхода энергии. Соответственно меняются и свойства получаемого продукта. В свою очередь характер воздействия на измельчаемое тело определяется типом измельчителя (рис. 2.6).
Наиболее распространенный агрегат для тонкого и сверхтонкого помола — шаровая мельница, (рис. 2.7). Основная работа измельчения в шаровой мельнице осуществляется ударами падающих мелющих тел. При вращении мельницы мелющие тела под действием центробежной силы прижимаются к внутренней стенке корпуса и поднимаются на определенную высоту, достигая которой они отрываются от корпуса и падают под действием силы тяжести, разбивая при этом куски материала.
Применяют шаровые мельницы непрерывного и периодического действия. Периодические мельницы используют при небольших объемах производства ( например, при производстве технической керамики). Это низкоэкономичные агрегаты, но они обеспечивают высокую степень измельчения и, при соответствующей футеровке, — высокую чистоту получаемого продукта. При больших объемах производства применяют мельницы непрерывного действия.
Размер шаров, загружаемых в мельницу, принимают в зависимости от прочности и величины кусков размалываемого материала. Они должны быть таковы, чтобы кинетическая энергия падающего шара была достаточной для разрушения измельчаемых частиц. Чтобы обеспечить соответствие размеров мелющих тел и измельчаемого материала, мельницы разделяют перфорированными перегородками на несколько камер (2—4). В первую камеру поступают крупные куски, для разрушения которых необходима большая сила удара. Поэтому эту камеру загружают шарами большого диаметра (60-110 мм) и массой 5-6 кг каждый. Во вторую амеру материал поступает уже в виде крупки, для измельчения которой не требуется большой силы удара, но частота ударов должна быть выше, поскольку увеличилось количество зерен. Поэтому вторую камеру загружают шарами меньшего диаметра — 30— 60 мм. В следующие камеры поступает довольно тонкий продукт, и его нужно доизмельчить истиранием, поэтому их загружают обычно стальными цилиндрами (цильпебсом), имеющими длину 25—40 мм и диаметр 16—25 мм. Истирающая поверхность цильпеб-са в несколько раз больше, чем шара того же диаметра, так как последний соприкасается со слоем материала в одной точке, а цильпебс — по образующей линии.
Измельчение материалов
Суббота, сентября 19, 2009Важнейшим технологическим переделом подготовки минерального сырья, позволяющим перевести его в химически активное состояние и подготовить к химическому взаимодействию при дальнейшей тепловой обработке, является измельчение. Конечная цель этой операции — получение тонкодисперсного однородного по составу материала или гомогенной смеси разнородных материалов.
Эффективность измельчения характеризуют степенью измельчения (/), которая представляет собой отношение диаметра самых крупных кусков, поступающих на измельчение (D), к диаметру самых крупных кусков, прошедших измельчение (d): i — D/d. В зависимости от типа измельчителя и свойств измельчаемого материала степень измельчения может меняться от 2—5 до 50—100 и более. Выбор схемы измельчения определяется свойствами материала. В большинстве случаев измельчение производится в два этапа: грубое (дробление) и тонкое (помол). Каждый из этих этапов может реализовываться в несколько стадий.
Измельчение — это разрушение твердого тела под действием внешней механической нагрузки. Оно может производиться несколькими методами — раздавливанием, раскалыванием, ударом, изломом и истиранием (рис. 2.3).
Раздавливание материала наступает после перехода напряжений за предел прочности на сжатие. Раскалывание кусков происходит в результате их расклинивания и последующего разрыва вследствие возникновения в них напряжений растяжения. Ударное измельчение — результат действия динамических нагрузок с возникновением в материале сжимающих, растягивающих, изгибающих и сдвиговых напряжений. Излом куска происходит в результате его изгиба. При истирании внешние слои куска подвергаются деформации сдвига и постепенно срезаются скользящими рабочими поверхностями измельчителя вследствие перехода касательных напряжений за предел прочности. В зависимости от физико-механических свойств материалов выбирают следующие способы измельчения.
При любом виде деформаций процесс разрушения можно представить следующим образом. Внешние механические силы вызывают в материале накопление внутренней энергии упругих деформаций. Напряжение в куске возрастает до тех пор, пока в каком-либо месте вследствие концентрации напряжений, вызванных местными дефектами, они не превысят предела прочности. При этом начинается развитие трещины, сопровождающееся перераспределением энергии упругих деформаций, часть которых превращается в поверхностную энергию вновь образованных поверхностей. Последняя и является полезной энергией измельчения. Остальная энергия расходуется главным образом на упругие деформации сжатия и рассеивается в виде теплоты и других видов энергии.
Полная работа внешних сил при измельчении выражается уравнением П.А. Ребиндера
W= Wg + Wn = к-AV + а • AS,
где W — работа упругого деформирования объема разрушаемого куска; W — работа образования новых поверхностей; AV— изменение объема разрушаемого куска; AS— величина вновь образованной поверхности; км а — коэффициенты.
При больших размерах тела можно пренебречь работой образования поверхности и тогда уравнение,упрощается: W= к- AV, или W= кх • сР. Эти уравнения могут использоваться для анализа работы дробления как первого этапа измельчения до сравнительно крупных размеров кусков материала, на котором работа разрушения определяется работой упругого деформирования.
При малых размерах можно пренебречь работой упругого деформирования куска. Уравнение приобретает вид: Wn = ст • AS = = к2а • d2. Это уравнение может быть использовано для анализа тонкого измельчения.
На первой стадии сопротивляемость размолу определяется в основном пористостью материала, на второй — микроструктурой и минералогическим составом вещества (разрушение кристаллов). На третьей стадии сопротивляемость размолу увеличивается с ростом удельной поверхности и в дальнейшем подчиняется экспоненциальному закону вследствие агрегирования тонких частиц и их налипания на рабочие поверхности.
Образующиеся при измельчении частицы — сложные пространственные электрические системы, которые взаимодействуют с внешней средой. Образование новой поверхности обычно сопровождается появлением электрических зарядов, знак и величина которых зависят от природы измельчаемого вещества и размера частицы. По мере измельчения энергетические потенциалы частиц настолько возрастают, что происходит их самопроизвольное агрегирование с уменьшением удельной поверхности и увеличением комковатости и неоднородности продукта. В результате на третьей стадии измельчения большая часть энергии затрачивается не на измельчение исходного материала, а на разрушение вновь образованных агломератов.
Оптимизация в неконсервативных задачах упругой устойчивости
Воскресенье, сентября 13, 2009В предыдущих параграфах данной главы приведены решения задач оптимального проектирования конструкций, для исследования устойчивости которых применимы статические методы. Однако при проектировании существенно неконсервативных систем анализ устойчивости должен основываться на динамических критериях. Применение динамических подходов делает задачи оптимизации более сложными, и к настоящему времени получено решение сравнительно небольшого числа задач [8.14, 8.38, 8.40, 8.73, 8.79,, 8.80, 8.86, 8.89, 8.100].
Учитывая, что исследования в данном направлении находятся в начальной стадии, ограничимся здесь лишь обсуждением некоторых результатов, полученных в работе [8.59].
Изучение устойчивости линейных систем с распределенными параметрами основывается на исследовании уравнения (8.3) для амплитудной функции,, которое с учетом обозначения X = г со записывается в виде
[С + рК + ХВ + Х2А]и = 0. (8.121)
Собственной частоте X — Хяе + iX]m соответствуют комплексные (правая и левая) собственные функции и я v. Оператор К предполагается несамосопряженным. Динамическая потеря устойчивости (флаттер) реализуется, если хотя бы одна из характеристических кривых системы (8.121) в пространстве Хце, Xim, р пересекает ПЛОСКОСТЬ ^Re = 0 При Н6К0-
торых значениях р = рп, XJm = (Х1т)п.
Задача оптимизации заключается в максимизации критического значения параметра нагрузки рц за счет соответствующего выбора переменной проектирования h при заданном значении массы конструкции. От h зависят операторы системы (8.121).
Анализ чувствительности проводится с использованием представлений об обобщенном решении. Уравнение для амплитудной функции записывается в виде скалярного произведения
(у, [С + рК + ХВ + Х2А]и) = 0, (8.122)
причем предполагается дифференцируемость (8.122) по переменной h* Далее вычисляется вариация уравнения (8.122),, обусловленная варьированием переменной проектирования, т. е. заменой h на h + 8hv где 8h — малая вариация функции h. Учитывая, что варьирование осуществляется при критических значениях параметров, будем иметь
Ы № + РпЬК + 1 Ы/i ЬВ + (К1т)Ь 8А] ип) +
(8.123)
+ (vfl,Kufl) 8рп + (vfh [В + 2i (Xlm)fl А] ип) i (8XIm)fl = 0. Вводя обозначения Ане + ibIm = (vfh [8С + pffiK + i (Xlm)fl8В + (XIm)2t 8А]), КЯе + iKim = (vn, Kun), FRe + iFlm = (vfl, [D + 2i(onA] un\ уравнение в вариациях запишем в более компактном виде: Ане + *AIm + (£Re 4- iKlm) брп + (FRe + iFlm) i (8Xlm)n = 0.
О кратности критических нагрузок в задачах оптимизации устойчивости
Воскресенье, сентября 13, 2009Для многих задач оптимального проектирования характерным оказывается сближение точек спектра и появление кратных критических нагрузок. Это обстоятельство обусловливает определенные трудности проектирования оптимальных по устойчивости конструкций. В связи с этим в целом ряде работ рассматриваются различные аспекты, связанные с решением задач оптимизации конструкций в случае кратных собственных значений.
Обсудим сначала возможность появления двукратных собственных значений. С этой целью сформулируем общую задачу оптимизации, зависящую от одного параметра, и рассмотрим поведение собственных значений при изменений этого параметра.
Пусть задано множество Жа допустимых значений переменных проектирования, т. е. h ЕЕ Жа- Нижний индекс означает зависимость множества допустимых значений от параметра а. Например, для многих задач оптимизации устойчивости в качестве переменной проектирования рассматривается распределение толщин A (х) по конструкции, удовлетворяющее условию постоянства объема и ограничению на минимально допустимые значения:
h dQ = 1, h > /гтт = ос.
Здесь в качестве параметра, определяющего допустимое множество, выступает величина Amm (использованы безразмерные переменные).
(8.93) (8.94)
Рассмотрим следующую задачу оптимизации. Требуется найти функцию h (х), доставляющую максимум первому собственному значению
р± = шах^А),
А ЕЕ Ж а
краевой задачи
L (h)u = ри. (8.95)
Предположим, что задача оптимизации (8.93)—(8.95) решена для значений а, заполняющих некоторый интервал и определено распределение переменной проектирования A (х, а) в зависимости от а как от параметра. Соответствующие собственные функции и собственные значения краевой задачи (8.95) так же будут зависеть от а, как от параметра иг = иг (х, a), pt = pt(a). Для теории оптимального проектирования поведение собственных значений в зависимости от параметра представляет особый интерес. Этот вопрос широко обсуждался и в связи с другими задачами [8.6, 8.7]. Так, например, для систем, имеющих конечное число степеней свободы и не обладающих симметрией (системы общего положения), известен общий результат [8.7], в соответствии с которым изменением одного параметра невозможно добиться совпадения двух частот. Аналогичное утверждение имеет место и в случае колебаний сплошной среды [8.7].
Проектирование в случае совместного сжатия и кручения упругих стержней
Воскресенье, сентября 13, 2009Пусть теперь прямолинейный упругий стержень защемлен в точках х = 0 и х = I прямоугольной системы координат xyz и к его концам приложены скручивающие моменты М и сжимающие силы величины Р. Предполагая, что стержень обладает одинаковыми жесткостями на изгиб в различных плоскостях (Е1у = = Е12 = а), представим зависимость жесткости а от величины площади поперечного сечения S в виде а (х) = kS2{x), где константа к определяется видом поперечного сечения. При исследовании устойчивости стержня и вычислении критических величин скручивающих моментов учтем консервативность рассматриваемой задачи и применим статический метод Эйлера [8.17, 8.48]. Уравнения равновесия и граничные условия для скрученного сжатого стержня имеют вид
(azxx)xx — Р%хх My уху,
(аухх)хх = - Рухх + Mzxxx, (8.85) У(0) =ух{0) =г(0) = zx(0) =0, У (I) = УХ(1) = z (I) = zx(l) =0.
Выполняя сложение левых и правых частей уравнений (8.85) и интегрирование в пределах от х = 0 до х = Z, получим выражение для величины критического момента потери устойчивости
}(«(*) (йх+4>+
М=-^ j (8.86)
о
при заданном значении сжимающей нагрузки.
Задача оптимизации заключается в отыскании распределения площадей поперечных сечений, доставляющего максимум величине (8.86) критического момента потери устойчивости и такого, что удовлетворяется ограничение на объем материала и допустимые значения толщин стержня i
[s{x)&x = V. (8.87) о
Задача (8.85)—(8.87), как и задачи, рассмотренные в данной главе, относится к классу самосопряженных задач оптимизации и не требует введения сопряженных переменных.
Решение задачи находилось в [8.12] численно с применением алгоритма последовательной оптимизации. Выражение для улучшающей вариации 8S, получаемое по методу проектирования градиентов, имеет вид
i
8S = тл|), г|> = Л-4-$Ла*,
ч ° (8.88)
Л = (Uxx + zlx), Т =\ (У**** ~ У*2™) d*'
О
где т > 0 — заданная константа. Соотношения (8.88) обеспечивают положительность вариации ЬМ и выполнение проварьирован-ного условия (8.87).
Устойчивость и проектирование скручиваемых стержней
Воскресенье, сентября 13, 2009Пусть прямолинейный упругий стержень длины I расположен вдоль оси х прямоугольной системы координат xyz, защемлен в точках х = 0, х = I и скручивается под действием момента М, приложенного к концу стержня (рис. 8.6).
Предполагается, что стержень обладает одинаковыми жесткос-тями на изгиб в различных плоскостях, поэтому EIy = EIZ = а, где Е — модуль Юнга материала; 1у, 1у — моменты инерции поперечного сечения относительно осей, проходящих через нейтральную линию стержня и параллельных осям г/, z. При исследовании устойчивости стержня и вычислении критических величин скручивающих моментов применяется статический метод Эйлера. Обозначим через у = у (х), z = z (х) функции, определяющие положение осевой линии искривленного стержня, и запишем соответствующие уравнения равновесия и граничные условия
(ау*х)хх = Mzxxx, (azxx)xx = - Муххх, р™. 8.6
(8.72)
У (0) = Ух (0) = z (0) = zx (0) = 0, у (I) = ух (I) =z(l)= zx (I) =0.
Заметим, что использованные уравнения (8.72) справедливы при предположении малости деформаций. Функции у (х) = z (х) = = 0, описывающие неискривленное положение осевой линии, удовлетворяют уравнениям и граничным условиям (8.72) при любых значениях М. Согласно концепции Эйлера величина критической нагрузки и форма потери устойчивости определяются как минимальное собственное значение и соответствующие ему собственные функции у (х) ф0, z (х) ф 0 краевой задачи (8.72).
Для частного случая постоянного распределения жесткостей а = const определения величины момента потери устойчивости сводится, как известно [8.17], к отысканию минимального положительного корня уравнения tg (М1/2а) = М1/2а. Величина критического момента равна ±8,988 а/1. Получим, следуя работе [8.11], аналог этого уравнения для общего случая, когда распределение жесткостей а — произвольная функция переменной х. Для этого выполним двукратное интегрирование системы уравнений (8.72). Умножим втрое из проинтегрированных уравнений на i (i — мнимая единица) и сложим почленно эти уравнения. Полученное равенство и граничные условия после введения комплексной функции w (х) — у (х) + iz (х) примут вид
awxx = — iMwx + cxx + с2, (8.73)
10 Н. В. Баничук
273
где сг, с2 — комплексные постоянные интегрирования. Интегрируя линейное дифференциальное уравнение (8.73) дважды и удовлетворяя приведенным граничным условиям, получим
х t
w=^ е-ш
и соотношения, которым подчинены константы
l L
d [ —eiM
о о
(8.75)
1 Х 1 Х «Ж /44
С С* f Г» (* ИМф(*)
Cl ^ e-irnw \^ егм<м) ^ dx + c2 } e~iM<»W J ^jy- * = 0.
Анализ устойчивости и оптимального проектирования упругих элементов
Воскресенье, сентября 13, 2009При анализе устойчивости и оптимальном проектировании упругих элементов конструкций из условия максимальности критических нагрузок потери устойчивости возникают известные трудности, обусловленные появлением в ряде случаев кратных критических значений [1.2, 8.13, 8.26, 8.28, 8.29, 8.39, 8.57, 8.62, 8.75, 8.77]. В этих случаях существенных упрощений можно добиться 8а счет декомпозиции исходного спектра на сумму вспомогательных спектров, не содержащих кратных собственных значений.
Опишем один из способов декомпозиции спектра, основанный на использовании свойств симметрии и разделении форм потери устойчивости на симметричные и антисимметричные [1.2, 8.13]. Соответствующее разделение по признаку симметрии собственных функций применяется к собственным значениям. При этом устраняются особенности, связанные с кратностью нагрузок, и исходная задача оптимизации редуцируется к классической задаче максимизации простых собственных значений, для решения которой могут использоваться ранее развитые алгоритмы [2, 10, 15, 17,
23, 24, 50, 51].
Опишем подробнее данный подход. Принимая при исследова* нии устойчивости консервативной упругой системы статический метод Эйлера, приходим к однородной краевой задаче на собственные значения
Си — рКи = 0,
(Nu)x==±l = 0,
(8.11) (8.12)
где х ЕЕ [— Z, /]; и (х) — вектор-функция, определяющая равновесное состояние упругого элемента конструкции; h = h (х) — управляющая вектор-функция; р — собственное значение (параметр нагрузки); С (я, h (#)), К (х, к (х)), N (х, h (х)) — операторы дифференцирования по независимой переменной х. Операторы С, К, N линейные, причем коэффициенты операторов зависят от управляющей функции h. Линейные операторы С и К с граничными условиями (8.12) предполагаются самосопряженными и положительно определенными. Кроме того, считается, что рассматриваемые распределения управляющей функции h симметричны относительно точки х = 0, т. е. h (х) = h (— х), и что при симметричном распределении h дифференциальные операторы уравнения (8.11) с граничными условиями (8.12) не меняют своего вида при преобразовании инверсии х -> — х.
Минимальное собственное значение рг краевой задачи (8.11), (8.12) определяет величину критической силы потери устойчивости. Для вычисления минимального значения рх воспользуемся вариационным принципом Рэлея:
рг = ттиФ (и, К),
ф (щ h) = {Си, и)1{Ки, и).
(843) (8.14)
Круглыми скобками в правой части (8.14) обозначены скалярные произведения соответствующих элементов. Минимум (8.13) находится на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям (8.12).
Рассматриваемая задача оптимизации заключается в максимизации величины критической силы потери устойчивости и отыскании наилучшего в этом смысле распределения управляющей переменной:
р% = max ръ (8.15)
h(= Rh.
(8.16)
Максимум в (8.15) разыскивается на симметричных распределениях h (х)щ принадлежащих допустимому множеству Rh.