В теории оптимального проектирования изучаются вопросы наилучшего выбора силовой схемы, формы, свойств материалов и условий работы конструкции, исследуются общие закономерности экстремальных решений и развиваются эффективные методы оптимизации. В результате исследований по оптимальному проектированию выясняются предельные возможности улучшения конструкций, оценивается качество традиционных (неоптимальных) сооружений и выявляются наиболее эффективные способы их совершенствования. Теорию оптимального проектирования отличает широкое разнообразие постановок задач [2, 24, 37— 41]. Это объясняется тем, что и уравнения, определяющие нагру-жение и деформирование конструкции, и требования, предъявляемые к ее механическим характеристикам, существенно отличаются при рассмотрении различных типов конструкций (балки, колонны, криволинейные стержни, пластинки, оболочки), реологических свойств (упругость, пластичность, ползучесть), внешних воздействий (поверхностные и объемные силы, статические и динамические нагрузки, „мертвые силы" и силы, зависящие от поведения самой конструкции, тепловые воздействия), видов управляющих переменных (форма конструкции), предположений о степени полноты информации об условиях работы конструкции (задачи с неполной информацией о виде внешних воздействий и способах закрепления конструкции). Точность модели и исходных данных также влияет на постановку задач.
Вопрос о выборе расчетной схемы (модели) является основным как при анализе конструкции, так и при ее оптимизации. Поэтому оптимальное проектирование невозможно без предварительной выработки представлений о существенных и несущественных аспектах поведения конструкции, схематизации условий функционирования и различного рода упрощений, сохраняющих адекватность схемы реальной конструкции. Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы. Такое определение расчетной схемы дается в курсах сопротивления материалов [19]. Выбор расчетной схемы, по существу, неединствен.
В некоторых случаях несколько различных схем может быть предложено для одного и того же объекта. В то же время одной расчетной схеме может ставиться в соответствие много реальных объектов.
При оптимальном проектировании конструкций стремятся применять расчетные схемы, позволяющие единственным образом определить как существенные величины напряженно-деформированного состояния, так и искомые переменные проектирования. Однако этого не всегда удается достигнуть из-за отсутствия точной информации о внешних воздействиях, несовершенств изготовления изделия, разброса параметров, характеризующих материал конструкции и других факторов неполноты информации. Для адекватной схематизации в этой ситуации целесообразно смягчение требований к точности описания реального объекта и принятие либо схемы расчета конструкции на наихудший случай, либо схемы стохастического описания конструкции. Это так называемые гарантированный и вероятностный подходы.
Posts Tagged ‘проектирование’
Выбор расчетной схемы в теории оптимального проектирования
Пятница, марта 26, 2010Устойчивость и проектирование скручиваемых стержней
Воскресенье, сентября 13, 2009Пусть прямолинейный упругий стержень длины I расположен вдоль оси х прямоугольной системы координат xyz, защемлен в точках х = 0, х = I и скручивается под действием момента М, приложенного к концу стержня (рис. 8.6).
Предполагается, что стержень обладает одинаковыми жесткос-тями на изгиб в различных плоскостях, поэтому EIy = EIZ = а, где Е — модуль Юнга материала; 1у, 1у — моменты инерции поперечного сечения относительно осей, проходящих через нейтральную линию стержня и параллельных осям г/, z. При исследовании устойчивости стержня и вычислении критических величин скручивающих моментов применяется статический метод Эйлера. Обозначим через у = у (х), z = z (х) функции, определяющие положение осевой линии искривленного стержня, и запишем соответствующие уравнения равновесия и граничные условия
(ау*х)хх = Mzxxx, (azxx)xx = - Муххх, р™. 8.6
(8.72)
У (0) = Ух (0) = z (0) = zx (0) = 0, у (I) = ух (I) =z(l)= zx (I) =0.
Заметим, что использованные уравнения (8.72) справедливы при предположении малости деформаций. Функции у (х) = z (х) = = 0, описывающие неискривленное положение осевой линии, удовлетворяют уравнениям и граничным условиям (8.72) при любых значениях М. Согласно концепции Эйлера величина критической нагрузки и форма потери устойчивости определяются как минимальное собственное значение и соответствующие ему собственные функции у (х) ф0, z (х) ф 0 краевой задачи (8.72).
Для частного случая постоянного распределения жесткостей а = const определения величины момента потери устойчивости сводится, как известно [8.17], к отысканию минимального положительного корня уравнения tg (М1/2а) = М1/2а. Величина критического момента равна ±8,988 а/1. Получим, следуя работе [8.11], аналог этого уравнения для общего случая, когда распределение жесткостей а — произвольная функция переменной х. Для этого выполним двукратное интегрирование системы уравнений (8.72). Умножим втрое из проинтегрированных уравнений на i (i — мнимая единица) и сложим почленно эти уравнения. Полученное равенство и граничные условия после введения комплексной функции w (х) — у (х) + iz (х) примут вид
awxx = — iMwx + cxx + с2, (8.73)
10 Н. В. Баничук
273
где сг, с2 — комплексные постоянные интегрирования. Интегрируя линейное дифференциальное уравнение (8.73) дважды и удовлетворяя приведенным граничным условиям, получим
х t
w=^ е-ш
и соотношения, которым подчинены константы
l L
d [ —eiM
о о
(8.75)
1 Х 1 Х «Ж /44
С С* f Г» (* ИМф(*)
Cl ^ e-irnw \^ егм<м) ^ dx + c2 } e~iM<»W J ^jy- * = 0.
Оптимальное проектирование шарнирно закрепленных сжатых стержней
Воскресенье, сентября 13, 2009Рассмотрим задачу оптимизации устойчивости сжатого» стержня. Предположим, что шарнирно закрепленный стержень сжимается силами р, приложенными к его концам. При некотором критическом значении параметра стержень выпучивается. Выпучивание стержня происходит в плоскости xoz. Начало координат совмещено с одним из концов стержня, а ось х проходит через точки опор стержня. Ограничимся рассмотрением малых деформации стержня и исследуем его равновесие, оставаясь в рамках линейной теории упругости. Обозначим через и (х) величину отклонения изогнутой оси стержня от линии действия сжимающих нагрузок,, а через I — его длину. Запишем основные соотношения задачи максимизации силы потери устойчивости и отыскания наилучшего* в этом смысле распределения площадей поперечных сечений S = = S (х) по длине стержня:
EIuxx + pu = 0, EI = Ла5« а = 1, 2, 3;
U
и(0) = и(/) = 0, J S (х) dx = У, p;->maxs. (8.22) о
Объем стержня У предполагается заданным. Для удобства дальнейших рассмотрений введем безразмерные переменные х'= х/1, S'= IS/N, р — р/АаЕ (штрихи в дальнейшем опускаются), в которых основные соотношения задачи (8.22) примут вид
+ ри = О, и (0) = и (1) = 0, (8.23)
^ S (х) dx = 1, р —> maxs. о
Получение условия оптимальности для задачи (8.23) основывается на стандартных рассмотрениях. Составляется расширенный функционал Лагранжа
1
j<*> = / - X (J S (х) dx - l), / = /i//2,
t ° х (8.24)
Jx == J ul dx, J2 = J u2S"a dx
о 0
и выписывается выражение для его первой вариации, обусловленной варьированием переменной проектирования S (х). При этом используются соотношения (8.23). Имеем
w4=|("^""x)W(*,i1, (8'25)
Из условия экстремума bJx = 0 с учетом (8.25) и нормировки функции и получим необходимое условие оптимальности
и2(х) = Sa+1 (х). (8.26)
Учет условия оптимальности (8.26) приводит к замкнутой краевой задаче и позволяет определить переменную проектирования S (х), функцию состояния и (х) и величину максимизируемого функционала качества р = /. Построение решения выполнено различными способами в [8.34, 8.50, 8.58, 8.66, 8.67]. Приведем новый способ построения оптимального решения, предложенный А. А. Барсуком. Необходимое условие оптимальности (8.26) дифференцируется:
иих = ((а + 1)/2) 5«5Я, (8.27)
а уравнение (8.23) умножается на их и выражение для иих в левой части этого уравнения преобразуется при помощи (8.27). Последующее интегрирование дает
ul + р (а + 1) S = со, (8.28)
где со — неопределенная постоянная. Выражая ul из (8.26),, (8.27) и подставляя результат в (8.28), приходим к дифференциальному уравнению для переменной проектирование
Si = (4/(a + 1))((с - pS)/S«~i). (8.29)
Здесь и ниже оптимальные распределения площадей поперечных сечений ищутся в классе симметричных относительно середины стержня (х = 1/2) функций, т. е. принимается, что искомые распределения обладают свойством
S (х) = S (1 - х). (8.30)
Оптимальное проектирование балки под действием нестационарной нагрузки
Воскресенье, сентября 13, 2009Для решения задач оптимизации используем результаты, приведенные в параграфе 3.6. Рассмотрим задачу оптимального проектирования балки под действием нестационарной нагрузки q (ху t). Уравнения движения, граничные и начальные условия для шар-нирно опертой балки запишем в следующем виде:
(aEh2uxx)xx + phutt = g, (7.147) и (0, t) = и (Z, t) = uxx (0, t) = uxx (Z, t) = 0, и (xy 0) = щ (xy 0) = 0,
где и (xy t) — функция прогибов; h (x) — площадь поперечного сечения; p и E — плотность и модуль Юнга материала балки. Нижними индексами t, х обозначается дифференцирование по времени и координате, измеряемой вдоль недеформированной оси балки (t е [0, Г], х Ег [0, Z], Г, Z — заданные величины).
Оптимизационная задача заключается в отыскании такого распределения h (х), чтобы реализовался минимум массы балки
I Т I
/=JpAds = -Tp-JJ ph&x&t-+minh, (7.148)
0 0 0
было выполнено ограничение на максимальный прогиб
/х = maxX)f \ и (х, t) \ = сх (7.149)
и удовлетворялись ограничения на минимальное и максимальное допустимые значения управляющей переменной
hmin
т 1
-^r\j^\u(x,t)\pdxdt) =ci. (7.151) о о
Сопряженная переменная и (х, t) определяется как решение следующей краевой задачи:
(aEh*vxx)xx + 9hvtt = ~4г ("ТТ")""1» (7Л52)
и (О, t) = v (Z, t) = vxx (О, t) = vxx(h t) = 0, v (x, T) = vt (x, T) = 0
Динамические задачи оптимизации балок и оболочек при ограничениях на прогибы
Воскресенье, сентября 13, 2009Широкий круг вопросов, связанных с минимизацией весовых характеристик при жесткостных ограничениях, рассматривается при проектировании конструкций, рассчитываемых на .нестационарные воздействия и, в частности, ударные нагрузки. Особенно детально здесь изучались задачи оптимизации элементов конструкций, совершающих вынужденные гармонические колеба-лия. О тематике исследований по динамическим задачам оптимального проектирования, проводившихся до 1972 г., можно получить представление из обзорной статьи [44]. В последнее время число работ по динамической оптимизации значительно увеличилось, и их можно условно разделить на следующие группы: проектирование конструкций при нестационарных нагрузках; проектирование конструкций, совершающих вынужденные гармонические колебания; проектирования конструкций, совершающих свободные колебания; проектирование неконсервативных упругих систем при ограничениях по устойчивости.
Отметим здесь некоторые работы по оптимальному проектированию конструкций при динамических нагрузках, имеющие непосредственное отношение к результатам, излагаемым в данной главе. К первым публикациям по оптимизации конструкций, подверженных нестационарным динамическим воздействиям, можно отнести работы [7.50, 7.51], в которых рассмотрены задачи минимизации максимального прогиба балок переменного сечения. Теория динамической оптимизации упругих систем с распределенными параметрами разрабатывалась с применением метода анализа чувствительности в [24, 31, 7.47, 7.56—7.59]. Оптимальному проектированию одномерных конструкций при нестационарных нагрузках посвящена работа [7.19]. В работах [7.52, 7.55, 7.66, 7.81, 7.98] рассматриваются задачи динамической оптимизации дискретных систем и для последовательного улучшения функционала качества используется метод параметрической оптимизации. В работах [1.3, 1.4] развивается методика решения динамических задач оптимального проектирования, основанная на теории оптимизации систем с распределенными параметрами. Аналитические решения для некоторых одномерных задач оптимального проектирования упругих элементов конструкций, совершающих вынужденные гармонические колебания, построены в [1.26, 1.34, 7.18]. Для решения задач минимизации максимального прогиба балки, лежащей на упругом основании Винклера — Пастернака и совершающей вынужденные гармонические колебания, в [1.20] применены методы математического программирования. Решение двумерных задач оптимизации упругих пластинок, подверженных действию гармонических нагрузок, содержится в [1.8].
Оптимальное проектирование с учетом пластических свойств материала
Суббота, сентября 12, 2009В предыдущих параграфах данной главы все рассмотрения велись в предположении об идеально упругом поведении материала вплоть до момента разрушения, определяемого некоторым критерием прочности. Однако для многих реальных конструкций еще задолго до исчерпания ими несущей способности поведение материала становится существенно нелинейным. Учет при проектировании нелинейных характеристик материала позволяет добиться существенного снижения расхода материала (веса конструкции) по сравнению с результатами, получаемыми на основе использования расчетной схемы упругого тела. Однако рассмотрение в современных работах по теории проектирования конструкций адекватных механизмов разрушения приводит к сложным математическим проблемам. Этим по-видимому объясняется, почему в настоящее время разработка теории оптимального проектирования конструкций из не вполне упругих материалов еще далека от завершения. Современные исследования в этой области касаются изучения новых постановок задач, в которых учитываются различные типы нелинейного поведения материала, рассматриваются сложные элементы конструкций (пластинки, оболочки, трехмерные тела), развиваются методы анализа чувствительности и другие эффективные численные методы оптимизации.
Отметим некоторые работы по теории оптимального проектирования, основанные на представлениях об исчерпании конструкцией несущей способности. Задачи минимизации веса при заданных критических нагрузках решались в работах [6.67, 6.68, 6.72, 6.64, 6.77, 6.87-6.89, 6.78, 6.95, 6.100, 6.57-6.60] в рамках предложений об упругопластическом поведении материала. Некоторые задачи оптимального проектирования с учетом ограничений на приспособляемость к переменными, в частности, к циклическим нагрузкам рассмотрены в [6.40, 6.75, 6.82, 6.91, 6.90]. Широкий круг вопросов оптимизации конструкций с учетом пластических свойств материалов обсуждается в [18, 21, 25, 6.15,].
6.56, 6.63, 6.77]. Отметим работы [6.4—6.7, 6.21, 6.94], в которых обсуждается применение критериев равнопрочности.
Рассмотрим равновесие деформируемого тела, занимающего область Q и находящегося под действием объемных сил qt и внешних усилий Тi, приложенных к части поверхности тела Г (I = = 1, 2, 3). На остальной части поверхности тела Ти предполагаются выполненными условия жесткого закрепления (Га + Ги = = Г). Эти условия означают обращение в нуль вектора смещений: (и)г = 0. Материал тела считается упругопластическим. Состояние текучести достигается в некоторой точке тела, если в условии 8 (tfjji к) <^ 0 реализуется знак равенства. Выполнение же строгого неравенства означает, что материал ведет себя упруго. Здесь к — константа пластичности; atj — компоненты тензора напряжений; g — заданная функция. Уравнением g (о*^-, к) = 0 в пространстве напряжений задается семейство выпуклых поверхностей, охватывающих начало координат и отвечающих различным значениям к. Эти поверхности стягиваются к началу координат при к -> 0.
В проводимых далее рассмотрениях предполагается, что для прикладываемых нагрузок в отдельных частях тела возникают области текучести. Само появление зон текучести считается допустимым, однако требуется, чтобы пластические деформации не привели к исчерпанию несущей способности и разрушению тела. Под исчерпанием несущей способности и разрушением понимается неограниченное возрастание деформаций при постоянных нагрузках [6.23]. В дальнейшем всюду предполагается, что деформации тела вплоть до разрушения малы.
Оптимальнее проектирование балок при ограничениях по прочности
Суббота, сентября 12, 2009Исследования в области оптимизации конструкций восходят к классической работе Галилея [6.70J, посвященной проектированию формы балок. Впоследствии было решено значительное число задач, относящихся к оптимизации балок при изгибе. Тем не менее и в большей части современных исследований по оптимальному проектированию используется модель балки. Уравнения изгиба балок являются одними из простейших в сопротивлении материалов и удобны для рассмотрения новых постановок задач, сравнения различных алгоритмов и методик. В данном и последующем параграфах в рамках балочной модели рассматриваются характерные задачи оптимального проектирования.
6.4.1. Если в качестве функционалов принять объем балки и максимальное значение интенсивности напряжений, то можно поставить как задачу минимизации максимального значения функции интенсивности напряжений при заданной величине объема балки, так и задачу минимизации ее объема при заданном максимальном значении интенсивности напряжений. Эти задачи оказываются двойственными, и поэтому, следуя работе [6.3], рассмотрим только задачу минимизации объема балки при ограничении по прочности.
Предположим, что балка расположена вдоль оси х и имеет прямоугольное поперечное сечение высоты h = h{x) и ширины Ъ — Ъ (х). Длина балки равна I. Здесь рассматриваются статически определимые случаи (консольные и шарнирно закрепленные балки под действием поперечных нагрузок), когда распределение моментов М = М (х), действующих в сечениях балки, не зависит от упругих характеристик и формы сечения. Функция М (х) считается заданной при 0 <; х Z. Функции Ъ = Ъ (х) и h = h (х), задающие форму балки, ниже поочередно принимаются в качестве искомых величин и отыскиваются из решения вариационной задачи
V = J Ыг Ах min, g = al + &т1у < к2, о
ах = Му/I, хху = (1/6) (Mdll)x, 6 = 3,4, (6.39) / = 6ft3/12, d = (b/2) (й2/4 - г/2).
Соотношений между полностью напряженными конструкциями и конструкциями минимального веса
Суббота, сентября 12, 2009Представляет интерес выяснение соотношений между полностью напряженными конструкциями и конструкциями минимального веса. В ранних работах по проектированию оптимальные по весу конструкции часто отождествлялись с полностью напряженными конструкциями. Однако в последующих исследованиях было установлено, что проектирование полностью напряженных конструкций приводит к предельному снижению веса только для статически определимых конструкций и только в случае одного нагружения. Заметим, что неадекватность концепции полностью напряженных конструкций в задачах минимизации веса обсуждалась Галлагером [5.17]. Тем не менее в силу ряда достоинств и главным образом из-за простоты метод проектирования полностью напряженных конструкций применяется и в случае статически неопределимых конструкций, рассчитываемых на несколько нагружений. При применении этого метода к статически неопределимым конструкциям предполагается, что внутренние усилия в элементах не чувствительны к их размерам, т. е. пренебрегается корреляцией между усилиями и геометрическими параметрами. В силу этого для некоторых конструкций алгоритм не только сходится к неоптимальным проектам, но и приводит к нерациональным распределениям усилий.
Опишем рассматриваемый метод (метод, основанный на критериях оптимальности) применительно к задаче с одним ограничением.
Пусть индекс / = d соответствует доминирующему ограничению в точке оптимума. Тогда = 0 и из уравнения (5.5) следует
Систему указанных соотношений можно переписать в виде
Согласно (5.16) отношение скорости изменения функции ограничений к скорости изменения функции качества одно и то же для каждой переменной проектирования. Имеются в виду скорости изменения величин при изменении параметров проектирования для оптимального проекта.
В теории оптимального проектирования конструкций часто встречается условие или «критерий» постоянной плотности распределения энергии. С применением этого условия найдены оптимальные решения для некоторых конструкций и конструктивных элементов. Использование данного условия в задачах минимизации веса при ограничениях на податливость и максимизации интегральной жесткости при заданном весе обосновывалось в ряде работ. В некоторых же работах условие постоянства плотности распределения энергии деформаций рассматривалось в качестве эвристического правила. В связи с этим заметим, что указанное правило непосредственно вытекает из соотношения (5.16), если предположить наличие линейной зависимости критерия качества и функции ограничений от переменных проектирования.
О применении аналитических методов
Суббота, сентября 12, 2009Оптимальное проектирование связано с решением сложных математических задач. Так, в ряде случаев оптимальное проектирование сводится к решению вариационных задач с неизвестными границами и различного типа сингулярностями. Существенные трудности возникают из-за нелинейности задач оптимального проектирования.
Сложность задач оптимизации конструкций является главной причиной, почему в настоящее время основное внимание уделяется развитию численных методов и использованию вычислительной техники. Применение подходов, основанных на численных методах оптимизации (линейном и нелинейном программировании) и моделировании на компьютерах, позволяет получать оптимальные решения для сложных конструкций.
Однако не следует полагать, что применение численных методов оптимизации оказывается всегда эффективным. Для широкого класса проблем численные подходы не позволяют установить общих свойств и изучить типичные особенности оптимальных конструкций. Эти подходы оказываются неэффективными при выявлении основных закономерностей формирования облика оптимальной конструкции и при исследовании зависимости оптимального решения от определяющих параметров. В качестве примера укажем многопараметрические задачи оптимального проектирования, для которых исследование оптимальной конструкции и анализ чувствительности к возмущениям сопряжены с большим объемом вычислений. Заслуживают упоминания также существенные трудности, обусловленные табуляцией и хранением численных решений многопараметрических задач оптимизации. Поэтому не следует забывать о тех возможностях, которые даются аналитическими методами. Для разработки более эффективных методов оптимального проектирования конструкций представляется естественным также сочетание численных расчетов и аналитических преобразований.
Одними из наиболее мощных средств, оказавшимися очень эффективными при проведении широкого круга исследований, помимо оптимального проектирования, являются методы возмущений или методы малого параметра. Их применение позволяет получить приближенное аналитическое представление для решений очень сложных линейных и нелинейных краевых задач как для обыкновенных дифференцаильных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Методы возмущений широко используются как для получения асимптотик и анализа сингулярностей, так и для определения аналитических решений тестовых задач. Следует отметить, что эти методы могут служить основой для развития вычислительных алгоритмов. По существу, на теории возмущений основываются все методы последовательных приближений [4.12].
Применение методов возмущений в теории оптимизации и, в частности, в оптимальном проектировании конструкций началось сравнительно недавно, и в настоящеее время эти методы еще не стали общепризнанными и широко используемыми. Отметим несколько публикаций, касающихся применения метода возмущений в оптимальном проектировании.
Многоцелевое проектирование конструкций
Суббота, сентября 12, 2009Для классических одноцелевых задач оптимального проектирования, постановка которых обсуждалась в параграфе 1.2, характерным является предположение, что нагрузки, условия закрепления конструкции и требования, предъявляемые к напряженно-деформированному состоянию, определены единственным образом и единственно само назначение конструкции. При этом проектирование осуществляется в рамках одной расчетной схемы. Например, при проектировании балок в качестве внешних воздействий рассматриваются поперечные изгибные нагрузки, а при проектировании колонн — сжимающие усилия. В рамках традиционных постановок задач возможно также рассмотрение вопросов оптимального проектирования при учете одновременного приложения разнотипных нагрузок. Однако проектирование конструкций с единственным назначением (одноцелевое проектирование) в ряде случаев оказывается ограничительным pi для приближения к реальным условиям эксплуатации конструкции требуется расширение постановки задачи и учет многозначных факторов. Представляет интерес рассмотрение задач многоцелевого оптимального проектирования, когда конструкция рассчитывается на использование в различных условиях. В качестве простейших здесь можно указать задачи оптимального проектирования балок и пластин, которые в процессе эксплуатации последовательно подвергаются действию нескольких изгибных нагрузок, в частности нагрузок в виде сосредоточенных сил, прикладываемых последовательно в различных местах конструкции. В рамках многоцелевого проектирования можно рассматривать задачи оптимизации конструкций при подвижных нагрузках, когда предполагается, что перемещение нагрузок и их смеца происходят в квазистатическом режиме и тем самым динамические эффекты можно исключить из рассмотрения.
Отметим работы по оптимизации конструкций при подвижных нагрузках и в , условиях многократного нагружения [2, 1.27—1.33, 1.35—1.38]. В рассмотренных задачах оптимального проектирования при подвижных нагрузках последовательность нагрузок, образующих программу, включает поперечные нагрузки с равнодействующей не превышающей заданной величины. Особенностью этих задач является то, что в программе нагружения допускаются лишь изгибные нагрузки. Поэтому в процессе оптимизации рассматриваются .одни и те же уравнения состояния (уравнение изгиба) и граничные условия, а рассчитываемые варианты нагружения отличаются лишь реализациями нагрузок. Не меньший теоретический и прикладной интерес представляет проектирование конструкций в расчете на действие неоднотипных нагрузок. В этом случае для каждого варианта нагружения приходится применять соответствующие расчетные схемы и учитывать при проектировании различные определяющие уравнения, граничные условия и характеристики конструкции.