Большинство задач теории оптимального проектирования конструкций, в частности задачи, обсуждавшиеся в предыдущих параграфах, рассматривались в рамках детерминированного подхода, т. е. предполагались полностью известными вид прикладываемых к телу нагрузок, свойства материалов, из которых изготовлена конструкция, граничные условия. Для решения этих задач применимы методы вариационного исчисления и методы оптимизации систем с распределенными параметрами. Принципиально отличными по постановке и методам исследования оказываются задачи проектирования оптимальных конструкций при неполной информации. Обсуждая здесь различные подходы к задачам оптимизации с неполной информацией и их специфику, для определенности будем иметь в виду задачу отыскания форм упругих тел, обладающих минимальным весом и удовлетворяющих заданным ограничениям на прочность и жесткость. Формулировка и решение оптимизационных задач на основе детерминированного подхода приводит к оптимальным формам, которые, как правило, обладают тем свойством, что даже при незначительных изменениях внешних условий (например, при изменении положения точки приложения силы) конструкция данной формы уже не будет удовлетворять прочностным и геометрическим ограничениям. А так как в ряде случаев либо не имеется полной информации относительно прикладываемых нагрузок, либо известно, что на конструкцию последовательно могут действовать различные силы, то наряду с детерминированными постановками представляет интерес рассмотрение более общих задач оптимизации конструкций, в которых оптимизация проводится в расчете на целые классы сил.
Posts Tagged ‘подход’
Проектирование при неполной информации.
Пятница, июля 30, 2010Необходимые условия оптимальности для простейших задач с линейными уравнениями, определяющими поведение конструкции
Среда, июня 30, 2010Опишем вариационный подход, используемый при получении условий оптимальности и сведении оптимизационной задачи к замкнутой краевой задаче для дифференциальных уравнений.
Пусть вектор-функция и = {иг (х), . . ., ит (х)} удовлетворяет в области Q системе дифференциальных уравнений
L (К) и = q (3.1)
и краевым условиям на границе Г области Q
{N{h)u)v =0, (3.2)
где h = {hx (х), . . ., hn(x)} — вектор переменных проектирования; х = {хц . . ., хе} — вектор независимых переменных; L (К), N (h) — дифференциальные операторы, коэффициенты которых не зависят от h; q (х) — заданные вектор-функции внешних воздействий. Системы уравнений вида (3.1) с граничными условиями (3.2) применяются при проектировании линейно-упругих тонкостенных конструкций. Независимость q от и и h имеет место при рассмотрении «мертвых» сил и внешних воздействий, не зависящих от геометрических и структурных характеристик конструкции. Заметим, что результаты данного параграфа могут применяться и в случае нагрузок, зависящих линейно от деформаций и перемещений конструкций, представляемых вектором и. Для этого достаточно формального включения выражений, отражающих линейную зависимость q от и, в левую часть уравнения (3.1).
Обозначим через / (и, h, q) и Jt (и, h q) (i = 1, 2, . . ., г) интегральные функционалы:
/ = w, /г, q) dQ, Ji = \li{x, и, h, q) dQ,
(3.3)
где /, ft — заданные функции аргументов x, и, h, q, и рассмотрим задачу минимизации функционала J:
= min/, / (и, h, g), (3.4)
при интегральных ограничениях, наложенных на переменные проектирования и функции состояния:
А (щ h, q) - с4 < 0, i = 1, . . ., г. (3.5) Здесь Ci — заданные константы.
Получим условия оптимальности в задаче (3.1) — (3.5). С этой целью выпишем выражения для первых вариаций интегралов (3.3) и уравнения в вариациях, соответствующие (3.1), (3.2):
8J = J ("и"8и + Ж bh) dQ' 6/i = \{жЬи + ЖЬк) dQ,
(3.6)
L (h) 8u + M {u, h) 8 h = 0, (3.7)
(Л) бы + T (u, h) 8 h = 0, (3.8)
где df I ди = {df I дщ, . . ., 5/ / дггт}; / ди = {dft I дих, . . .
dfi I дит}. Вариации б /, 8Ji зависят как от вариации функции состояния, так и от вариации переменной проектирования. Последние связаны линейными относительно 8и и 8h соотношениями
(3.7) , (3.8). Уравнения в вариациях (3.7) и граничное условие
(3.8) получаются путем подстановки в (3.1), (3.2) вместо и и h величин и + 8и, h + 8h и выделения членов линейных относительно 8и и 8h. Через М {и, h), Т (и, h) обозначены операторы, применяемые к вектору 8h.
Гарантированный подход
Понедельник, июня 7, 2010Одним из возможных подходов к постановке и решению этих задач (задач с «неполной информацией») является минимаксный подход. При использовании минимаксного (или гарантированного) подхода предполагается заданным множество, содержащее все возможные реализации внешних сил, а разыскивается форма конструкции минимального веса, удовлетворяющая прочностным и геометрическим условиям для всех возможных реализаций сил.
Конструкция данной формы является оптимальной, если для любой другой конструкции меньшего веса можно указать такую реализацию сил из заданного класса, при которой будут нарушены условия прочности или геометрические ограничения. При решении задач на основе указанного подхода реализуется одна из двух возможностей. Либо оказывается, что в рассматриваемом классе существует «наихудшая» нагрузка, для которой конструкция минимального веса, найденная в расчете только на эту нагрузку, удовлетворяет условиям прочности и жесткости и для всех остальных реализаций сил из заданного класса. Конструкция данной формы и является оптимальной для класса сил, т. е. решением исходной задачи, либо не существует «наихудшей нагрузки» и оптимальное для класса сил решение не является оптимальным ни для какой в отдельности реализации нагрузок из данного множества. В [2, 28] содержатся примеры того и другого вида. Заметим, что минимаксный подход можно также применить к задачам с неполной информацией о граничных условиях и свойствах материала, из которого изготовляется конструкция.
Пусть полная система уравнений и граничных условий, описывающих равновесие конструкции и связывающих переменные состояния, проектирования и внешнее воздействие записана в операторной форме:
L (х, и, h, q) = 0. (1.35)
Вид прикладываемой к телу нагрузки заранее не фиксируется, а предполагается заданным множество Rq, содержащее все возможные реализации внешних сил, т. е.
q^Rq. (1-36)
При дальнейшем рассмотрении задачи проектирования будем допускать к рассмотрению только силы из (1.36). Если, к примеру, объект оптимизации — пластинка, а внешние воздействия —-односторонние поперечные нагрузки, результирующая которых не превосходит Р, то множество Rq имеет вид
где Q — область, ограниченная контуром пластинки.
При заданных q и h краевая задача (1.35) предполагается однозначно разрешимой относительно переменной состояния и.
Задача оптимизации заключается в отыскании функции h(x), минимизирующей функционал / (h) (вес тела) и удовлетворяющей при любых q из (1.36) прочностным и жесткостным ограничениям:
я|) (х, и, h, g, Jx , . . ., Jr) < 0, (1-37)
где яр — заданная вектор-функция. Условия (1.37) представляют собой систему скалярных неравенств.
Вероятностный подход
Воскресенье, мая 30, 2010Наряду с минимаксным (гарантированным) подходом возможен также вероятностный подход к задачам с неполной информацией. Пусть внешние воздействия зависят от случайной величины I, т. е. q = q (х, Е). Функция плотности распределения вероятностей величины ? считается известной.
Поведение проектируемой конструкции, описываемое уравнениями (1.35), зависит через посредство функций qm случайной величины ?. Поэтому случайный характер будут иметь и функции состояния и и функции г|), записанные в левых частях неравенств (1.37).
Задание функции распределения вероятностей величины ? позволяет в принципе определять моменты случайных величин и, в частности, их математические ожидания и дисперсии. Это обстоятельство позволяет контролировать вероятность нарушения ограничений (прочностных, жесткостных и др.) и рассмотреть следующую задачу оптимального проектирования, заключающуюся в отыскании функции h, минимизирующей функционал / (h) (вес тела) и удовлетворяющей с учетом (1.35) системе неравенств
Ш ^ (х, h, и) < 0, (1.38)
25 г|> (х, h, и) < е, (1.39)
где $ и S) — операции вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины, а е>0 — достаточно малое число. Условия (1.38), (1.39) означают, что на выбор управляющей переменной h наложены требования, чтобы прочностные и жесткост-ные условия (1.37) удовлетворялись в «среднем» и разброс случайной величины \|) не превышал заданного достаточно малого значения.
Требования, предъявляемые к конструкции
Суббота, апреля 17, 2010Требования, предъявляемые к конструкции, приводят к ограничениям, накладываемым на управляющие переменные и функции состояния. Эти ограничения составляют систему неравенств, записываемых в векторной форме:
я|) (х, и, h, q, Jx, . . ., /г)<0. (1.4)
Компоненты вектора г^^^^, . . являются заданными
функциями аргументов. Различные формы записи ограничений (1.4) обсуждаются в параграфе 2.2. В конкретных задачах в качестве неравенств (1.4) могут выступать ограничения разных типов на напряжения, деформации, перемещения, интегральную жесткость или податливость, а также на собственные частоты колебаний и значения критических параметров потери устойчивости.
Один из рассматриваемых функционалов или их функция f (Jx, . . ., Jг) принимается в качестве оптимизируемого функционала.
Задача оптимизации заключается в отыскании функции h(x), доставляющей минимум (максимум) функционалу
J = f(Ji, • • Jr) (1.5)
и удовлетворяющей соотношениям (1.1)—(1.4).
Заметим, что число рассматриваемых функционалов и накладываемых ограничений, которые предполагаются непротиворечивыми, может быть в принципе сколь угодно большим. Оптимизируемый функционал или критерий качества конструкции в каждой конкретной задаче вида (1.1)—(1.5) только один. Так, например, при изгибе балки переменной толщины могут быть поставлены задачи минимизации веса балки при ограничении на прогибы или минимизации максимального прогиба при заданном весе. Однако задача одновременной минимизации двух указанных функционалов при использовании классического определения оптимальности смысла не имеет. Корректная постановка задач оптимизации с векторным критерием качества становится возможной при использовании понятия оптимальности в смысле Парето или других понятий многокритериальной оптимизации. Основные представления многокритериальной оптимизации изложены в большом числе пуб-ликаций[49,1.32, 1.39, 1.40]. Однако подходы к оптимальному проектированию конструкций, основывающиеся на неклассическом определении экстремума, еще только начинают развиваться.
В современных исследованиях по оптимальному проектированию было выяснено, что формулировки задач оптимизации в виде (1.1) — (1.5) в ряде случаев оказываются ограничительными. Это объясняется тем, что при определенных условиях для задач проектирования не существует оптимальное решение А*, гг*, хотя и существует минимальное значение критерия качества /*. Кроме того, при проектировании часто наибольший интерес представляет не отыскание А* и и*, а выявление тенденций в формировании оптимального решения и чувствительности функциональных характеристик к вариациям параметров. Поэтому представляют интерес расширенные постановки задач проектирования, более корректные с математической точки зрения и позволяющие проследить весь процесс формирования решения на основе использования современных методов анализа чувствительности.
Выбор расчетной схемы в теории оптимального проектирования
Пятница, марта 26, 2010В теории оптимального проектирования изучаются вопросы наилучшего выбора силовой схемы, формы, свойств материалов и условий работы конструкции, исследуются общие закономерности экстремальных решений и развиваются эффективные методы оптимизации. В результате исследований по оптимальному проектированию выясняются предельные возможности улучшения конструкций, оценивается качество традиционных (неоптимальных) сооружений и выявляются наиболее эффективные способы их совершенствования. Теорию оптимального проектирования отличает широкое разнообразие постановок задач [2, 24, 37— 41]. Это объясняется тем, что и уравнения, определяющие нагру-жение и деформирование конструкции, и требования, предъявляемые к ее механическим характеристикам, существенно отличаются при рассмотрении различных типов конструкций (балки, колонны, криволинейные стержни, пластинки, оболочки), реологических свойств (упругость, пластичность, ползучесть), внешних воздействий (поверхностные и объемные силы, статические и динамические нагрузки, „мертвые силы" и силы, зависящие от поведения самой конструкции, тепловые воздействия), видов управляющих переменных (форма конструкции), предположений о степени полноты информации об условиях работы конструкции (задачи с неполной информацией о виде внешних воздействий и способах закрепления конструкции). Точность модели и исходных данных также влияет на постановку задач.
Вопрос о выборе расчетной схемы (модели) является основным как при анализе конструкции, так и при ее оптимизации. Поэтому оптимальное проектирование невозможно без предварительной выработки представлений о существенных и несущественных аспектах поведения конструкции, схематизации условий функционирования и различного рода упрощений, сохраняющих адекватность схемы реальной конструкции. Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы. Такое определение расчетной схемы дается в курсах сопротивления материалов [19]. Выбор расчетной схемы, по существу, неединствен.
В некоторых случаях несколько различных схем может быть предложено для одного и того же объекта. В то же время одной расчетной схеме может ставиться в соответствие много реальных объектов.
При оптимальном проектировании конструкций стремятся применять расчетные схемы, позволяющие единственным образом определить как существенные величины напряженно-деформированного состояния, так и искомые переменные проектирования. Однако этого не всегда удается достигнуть из-за отсутствия точной информации о внешних воздействиях, несовершенств изготовления изделия, разброса параметров, характеризующих материал конструкции и других факторов неполноты информации. Для адекватной схематизации в этой ситуации целесообразно смягчение требований к точности описания реального объекта и принятие либо схемы расчета конструкции на наихудший случай, либо схемы стохастического описания конструкции. Это так называемые гарантированный и вероятностный подходы.
Оптимизация в неконсервативных задачах упругой устойчивости
Воскресенье, сентября 13, 2009В предыдущих параграфах данной главы приведены решения задач оптимального проектирования конструкций, для исследования устойчивости которых применимы статические методы. Однако при проектировании существенно неконсервативных систем анализ устойчивости должен основываться на динамических критериях. Применение динамических подходов делает задачи оптимизации более сложными, и к настоящему времени получено решение сравнительно небольшого числа задач [8.14, 8.38, 8.40, 8.73, 8.79,, 8.80, 8.86, 8.89, 8.100].
Учитывая, что исследования в данном направлении находятся в начальной стадии, ограничимся здесь лишь обсуждением некоторых результатов, полученных в работе [8.59].
Изучение устойчивости линейных систем с распределенными параметрами основывается на исследовании уравнения (8.3) для амплитудной функции,, которое с учетом обозначения X = г со записывается в виде
[С + рК + ХВ + Х2А]и = 0. (8.121)
Собственной частоте X — Хяе + iX]m соответствуют комплексные (правая и левая) собственные функции и я v. Оператор К предполагается несамосопряженным. Динамическая потеря устойчивости (флаттер) реализуется, если хотя бы одна из характеристических кривых системы (8.121) в пространстве Хце, Xim, р пересекает ПЛОСКОСТЬ ^Re = 0 При Н6К0-
торых значениях р = рп, XJm = (Х1т)п.
Задача оптимизации заключается в максимизации критического значения параметра нагрузки рц за счет соответствующего выбора переменной проектирования h при заданном значении массы конструкции. От h зависят операторы системы (8.121).
Анализ чувствительности проводится с использованием представлений об обобщенном решении. Уравнение для амплитудной функции записывается в виде скалярного произведения
(у, [С + рК + ХВ + Х2А]и) = 0, (8.122)
причем предполагается дифференцируемость (8.122) по переменной h* Далее вычисляется вариация уравнения (8.122),, обусловленная варьированием переменной проектирования, т. е. заменой h на h + 8hv где 8h — малая вариация функции h. Учитывая, что варьирование осуществляется при критических значениях параметров, будем иметь
Ы № + РпЬК + 1 Ы/i ЬВ + (К1т)Ь 8А] ип) +
(8.123)
+ (vfl,Kufl) 8рп + (vfh [В + 2i (Xlm)fl А] ип) i (8XIm)fl = 0. Вводя обозначения Ане + ibIm = (vfh [8С + pffiK + i (Xlm)fl8В + (XIm)2t 8А]), КЯе + iKim = (vn, Kun), FRe + iFlm = (vfl, [D + 2i(onA] un\ уравнение в вариациях запишем в более компактном виде: Ане + *AIm + (?Re 4- iKlm) брп + (FRe + iFlm) i (8Xlm)n = 0.
Анализ устойчивости и оптимального проектирования упругих элементов
Воскресенье, сентября 13, 2009При анализе устойчивости и оптимальном проектировании упругих элементов конструкций из условия максимальности критических нагрузок потери устойчивости возникают известные трудности, обусловленные появлением в ряде случаев кратных критических значений [1.2, 8.13, 8.26, 8.28, 8.29, 8.39, 8.57, 8.62, 8.75, 8.77]. В этих случаях существенных упрощений можно добиться 8а счет декомпозиции исходного спектра на сумму вспомогательных спектров, не содержащих кратных собственных значений.
Опишем один из способов декомпозиции спектра, основанный на использовании свойств симметрии и разделении форм потери устойчивости на симметричные и антисимметричные [1.2, 8.13]. Соответствующее разделение по признаку симметрии собственных функций применяется к собственным значениям. При этом устраняются особенности, связанные с кратностью нагрузок, и исходная задача оптимизации редуцируется к классической задаче максимизации простых собственных значений, для решения которой могут использоваться ранее развитые алгоритмы [2, 10, 15, 17,
23, 24, 50, 51].
Опишем подробнее данный подход. Принимая при исследова* нии устойчивости консервативной упругой системы статический метод Эйлера, приходим к однородной краевой задаче на собственные значения
Си — рКи = 0,
(Nu)x==±l = 0,
(8.11) (8.12)
где х ЕЕ [— Z, /]; и (х) — вектор-функция, определяющая равновесное состояние упругого элемента конструкции; h = h (х) — управляющая вектор-функция; р — собственное значение (параметр нагрузки); С (я, h (#)), К (х, к (х)), N (х, h (х)) — операторы дифференцирования по независимой переменной х. Операторы С, К, N линейные, причем коэффициенты операторов зависят от управляющей функции h. Линейные операторы С и К с граничными условиями (8.12) предполагаются самосопряженными и положительно определенными. Кроме того, считается, что рассматриваемые распределения управляющей функции h симметричны относительно точки х = 0, т. е. h (х) = h (— х), и что при симметричном распределении h дифференциальные операторы уравнения (8.11) с граничными условиями (8.12) не меняют своего вида при преобразовании инверсии х -> — х.
Минимальное собственное значение рг краевой задачи (8.11), (8.12) определяет величину критической силы потери устойчивости. Для вычисления минимального значения рх воспользуемся вариационным принципом Рэлея:
рг = ттиФ (и, К),
ф (щ h) = {Си, и)1{Ки, и).
(843) (8.14)
Круглыми скобками в правой части (8.14) обозначены скалярные произведения соответствующих элементов. Минимум (8.13) находится на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям (8.12).
Рассматриваемая задача оптимизации заключается в максимизации величины критической силы потери устойчивости и отыскании наилучшего в этом смысле распределения управляющей переменной:
р% = max ръ (8.15)
h(= Rh.
(8.16)
Максимум в (8.15) разыскивается на симметричных распределениях h (х)щ принадлежащих допустимому множеству Rh.
Постановки некоторых задач оптимального проектирования
Воскресенье, сентября 13, 2009Задачи оптимизации устойчивости упругих элементов конструкций относятся к числу классических проблем оптимального проектирования. В проведенных исследованиях этих задач [16, 26, 8.9-8.15, 8.21-8.30, 8.32-8.35, 8.38-8.45, 8.50-8.78, 8.81—8.83, 8.85—8.110] было показано, что при оптимизации достигается значительный эффект, и тем самым была обоснована перспективность дальнейших разработок в этом направлении. Следует заметить, что выполненные исследования и разработанные методы в основном относятся к оптимизации устойчивости упругих консервативных систем, описываемых самосопряженными краевыми задачами. Вопросы же оптимального проектирования неконсервативных систем и, в частности, конструкций, нагруженных следящими силами, изучены в меньшей степени [8.14, 8.38, 8.40, 8.76, 8.79, 8.86, 8.89, 8.110].
Рассмотрим постановку задачи оптимального проектирования тонкостенной конструкции, применяя общий динамический подход. Задача оптимального проектирования, заключается в минимизации функционала веса
/ = J h (х) dQ -> min^ (8.8)
при условии, что р задано, а частоты со, определяемые как собственные значения однородной краевой задачи для уравнения (8.3), удовлетворяют условию
Im со (р) > 0. (8.9)
Взаимная задача заключается в максимизации критического параметра потери устойчивости
7?->maxtefih (8.10)
при условии, что вес задан и все частоты удовлетворяют неравенству (8.9).
Задача минимизации веса при заданных значениях критических сил, а также задача максимизации критической силы потери устойчивости при заданном весе относятся к числу сложных нелинейных задач оптимального проектирования.
Теория этих задач, как и эффективные алгоритмы, существенно использующие специфику задач устойчивости, интенсивно разрабатываются в настоящее время.
При применении статического подхода проблема оптимального проектирования может формулироваться как задача максимизации минимального собственного значения р уравнения (8.5) при ограничении на вес конструкции либо как задача предельного снижения веса при заданном первом собственном значении.
Задачи оптимизации упругой устойчивости могут формулироваться и с использованием метода неидеальностей. В этом случае максимизации подлежит параметр нагрузки р из (8.7), для которого прогибы конструкций, определяемые из решения неоднородной краевой задачи, становятся неограниченно большими. С применением метода неидеальностей может быть рассмотрена также взаимная задача минимизации веса при ограничении на силу потери устойчивости. Построение оптимального решения на основе данного подхода сводится к отысканию переменных состояния и проектирования из условия минимума в зависимости от заданных значений сжимающей силы и величины максимального прогиба ио (| и I щ) и последующем устремлении параметра щ к бесконечности.
Критерии упругой устойчивости
Воскресенье, сентября 13, 2009Одним из основных требований, учитываемых при проектировании упругих конструкций, является их устойчивость. Особенно существен учет этого требования при оптимальном проектировании тонкостенных конструкций из высокопрочных материалов.
Понятие упругой устойчивости связано с представлениями о поведении конструкции после приложения к ней воздействий. Изучение, изменений геометрии конструкции во времени является целью любого исследования устойчивости. Поэтому наиболее общим является динамический подход к проблеме устойчивости. Однако для отдельных достаточно широких классов задач оказывается допустимым проведение анализа устойчивости, основанного на статических представлениях. Концепция статического подхода к изучению задач упругой устойчивости была предложена Л. Эйлером [3.5].
Опишем кратко некоторые подходы и критерии, применяемые для оценки упругой устойчивости элементов конструкций (более подробные сведения содержатся в [8.3, 8.4, 8.8, 8.16—8.20, 8.36, 5.37, 8.41, 8.46-8.49, 8.52, 8.84]).
Пусть конструкция находится под действием статических на-трузок, пропорциональных параметру р, и совершает малые упругие колебания в окрестности положения равновесия. Функция w ?), описывающая смещения конструкции относительно нагруженного, но невыпученного состояния, удовлетворяет дифференциальному уравнению
Awu + Bwt + Cw — pKw = 0. - (8.1)
Reo;
Здесь А, В, С, К — линейные дифференциальные операторы; р — параметр нагрузки; нижним индексом t обозначено частное дифференцирование по времени. Инерционный оператор А представляет собой симметричную матрицу массовых коэффициентов. Жесткостной оператор С характеризует статическую реакцию упругой конст- Imсо, рукции, и его применение к функции w сводится к дифференцированию этой функции по пространственным переменным. Оператор К включает дифференцирование как по временной, так и по -пространственным переменным. Представим функцию состояния конструкции w (#, t) в виде
w(x, t) = u(z)e*"* (8.2) рис 8Л
и подставим (8.2) в (8.1). В результате получим уравнение для амплитудной функции и (х):
- ы2Аи + шВи + Си — рКи = 0. (8.3)
Об упругой устойчивости конструкции судят по величине собственных значений со = со (р) уравнения (8.3). Конструкция не теряет устойчивости, если все собственные значения со (р) имеют положительные мнимые части или в крайнем случае действительны. Потеря устойчивости происходит, если мнимая часть хотя бы одного из собственных значений становится отрицательной. На рис. 8.1 кривые 1 и 2 отвечают статической и динамической формам потери устойчивости. Собственные значения со (р), представленные кривой 7, при возрастании параметра р попадают на нижнюю полуплоскость, проходя через начало координат (Re (о = 0, Im со = 0). Потеря устойчивости происходит при монотонном во времени нарастании (возмущений) и носит статический характер. Кривая 2 соответствует динамической форме потери устойчивости. Динамический режим потери устойчивости характеризуется возникновением колебаний с нарастающими амплитудами.