Преобразования двойственности и изучение двойственных задач приобретают значение в теории оптимального проектирования. Рассмотрение двойственных задач позволяет предложить методы построения оценок величины глобального экстремума и оценить предельные возможности оптимизации. В ряде случаев удается определить проекты, для которых значения функционала качества близки, а иногда и равны величине глобального экстремума. Следуя работе [2.10], дальнейшие рассмотрения проведем применительно к задаче оптимизации тонких пластин, совершающих свободные колебания. Заметим, что в [2.10] методы теории двойственной оптимизации применяются также к задачам оптимизации для трехмерной упругой среды (задаче минимизации массы материала при ограничениях на напряжения и задаче минимизации энергии упругой деформации при ограничениях на массу материала).
Пусть срединная поверхность пластинки занимает область Q с контуром Г в плоскости я, у. Для определения основной частоты со и собственной функции свободных колебаний имеем следующие соотношения:
h dQ = hm mes Q, hm\n
0 <^ ^min "\ hm
По определению двойственной к исходной называется задача [2.12] отыскания /ц, w%, таких, что
J w*) = inf sup J (h, w). (2.67)
wtEV ЛеЯ
Очевидно, что справедливо неравенство
sup inf / (h, w) <; inf sup J (h, w), (2.68)
Лея гиеУ w^V heH
которое может быть использовано для построения оценки сверху величины супремума в задаче (2.66). Обозначим
J0 = sup / (h, Wo), (2.69) лея
где Wo — некоторая произвольная функция из множества V. Из соотношений (2.67)—(2.69) вытекает, что величиной /0 функционал качества оценивается сверху:
sup inf / (h, w) < inf sup / (h, w) < sup / (h, w0) = Jo-
Лея №?У w^v Лея Лея
Нахождение J0 основывается на построении функции h0, такой, что / (h0, wo) = Jq.
В [2.10] доказано, что промежуточный режим hmin << h < hmax в задаче (2.69) невозможен. Укажем следствие, вытекающее из данного утверждения. Введем управляющую функцию
% = (Umax — h) I (femax — hmin). Тогда
J (Ax + В) ф (wo) dQ
Jo = sup / (x, wo), J = ° ? , (2.70)
хем J (C% + D) ф (w0) dQ
-4 = femin — uaxi -6 = hm3iy, С = femin ^max»
D = ^max-
Posts Tagged ‘пластинки’
Двойственные задачи оптимизации
Воскресенье, июля 4, 2010Гарантированный подход
Понедельник, июня 7, 2010Одним из возможных подходов к постановке и решению этих задач (задач с «неполной информацией») является минимаксный подход. При использовании минимаксного (или гарантированного) подхода предполагается заданным множество, содержащее все возможные реализации внешних сил, а разыскивается форма конструкции минимального веса, удовлетворяющая прочностным и геометрическим условиям для всех возможных реализаций сил.
Конструкция данной формы является оптимальной, если для любой другой конструкции меньшего веса можно указать такую реализацию сил из заданного класса, при которой будут нарушены условия прочности или геометрические ограничения. При решении задач на основе указанного подхода реализуется одна из двух возможностей. Либо оказывается, что в рассматриваемом классе существует «наихудшая» нагрузка, для которой конструкция минимального веса, найденная в расчете только на эту нагрузку, удовлетворяет условиям прочности и жесткости и для всех остальных реализаций сил из заданного класса. Конструкция данной формы и является оптимальной для класса сил, т. е. решением исходной задачи, либо не существует «наихудшей нагрузки» и оптимальное для класса сил решение не является оптимальным ни для какой в отдельности реализации нагрузок из данного множества. В [2, 28] содержатся примеры того и другого вида. Заметим, что минимаксный подход можно также применить к задачам с неполной информацией о граничных условиях и свойствах материала, из которого изготовляется конструкция.
Пусть полная система уравнений и граничных условий, описывающих равновесие конструкции и связывающих переменные состояния, проектирования и внешнее воздействие записана в операторной форме:
L (х, и, h, q) = 0. (1.35)
Вид прикладываемой к телу нагрузки заранее не фиксируется, а предполагается заданным множество Rq, содержащее все возможные реализации внешних сил, т. е.
q^Rq. (1-36)
При дальнейшем рассмотрении задачи проектирования будем допускать к рассмотрению только силы из (1.36). Если, к примеру, объект оптимизации — пластинка, а внешние воздействия —-односторонние поперечные нагрузки, результирующая которых не превосходит Р, то множество Rq имеет вид
где Q — область, ограниченная контуром пластинки.
При заданных q и h краевая задача (1.35) предполагается однозначно разрешимой относительно переменной состояния и.
Задача оптимизации заключается в отыскании функции h(x), минимизирующей функционал / (h) (вес тела) и удовлетворяющей при любых q из (1.36) прочностным и жесткостным ограничениям:
я|) (х, и, h, g, Jx , . . ., Jr) < 0, (1-37)
где яр — заданная вектор-функция. Условия (1.37) представляют собой систему скалярных неравенств.
Введение вспомогательных переменных проектирования
Воскресенье, мая 9, 2010На переменную проектирования в задачах оптимизации конструкций часто накладываются явные ограничения, не зависящие от функции состояния и рассматриваемых функционалов. Так, при отыскании оптимальных распределений толщин h балки, пластинки или оболочки выставляется ограничение /г>0, вытекающее из физического смысла рассматриваемой переменной проектирования. В тех задачах оптимизации, для которых оптимальное распределение толщин обращается в нуль во внутренних точках или внутренних линиях области определения Q, учет этого неравенства оказывается затруднительным. Поэтому представляются полезными специальные приемы, основанные н& идеях Валентайна введения вспомогательных функций, позволяющие «автоматически» учитывать указанное условие. Например, если ввести новую переменную проектирования ф, связанную с h соотношением h = ф2, то, очевидно, для любых действительных значений ф будет выполнено неравенство h > 0.
При решении конкретных задач оптимизации был предложен целый ряд способов введения вспомогательных переменных проектирования, существенно упрощающих процесс построения оптимального решения. В книге [2.13] для ограничения на переменную проектирования вида
0<*
Ф = ^niax | Sin ф |, Ф = hmay | COS ф |,
Ф = V2 /lmax (1 + (2/я) arctg ф);
Ф = V2 йщах (1+ (2/л) arcctg ф), Ф = (2/я) /*тах | arctg ф |,
Ф = Йтах^2; Ф = ^max (1 - ^2), Ф = ЛщахНЧ
Ф = ^max (1 - e-W). (2.2)
Заметим что при помощи обратных тригонометрических функций вспомогательные управляющие переменные вводились в [2.9].
Несколько более общие условия, накладываемые на управляющую функцию (распределение толщин), имеют вид
Amin < h (tf, у) < AJnax. (2.3>
Методы учета этих неравенств разрабатывались во многих работах по оптимальному проектированию. Укажем здесь лишь-тригонометрический способ учета неравенств (2.3) [2, 2.3]
h = а + р sin ф, (2 4)
а = 1/2 (Л-шах + ^min)> Р = XU (^max — ^min)i
широко использовавшийся при решении прикладных задач. Нетрудно проверить, что подстановка h из (2.4) в (2.3) приводит к неравенствам, которые выполняются для любых значений а.
Кроме неравенств (2.4), в задачах оптимального проектирования часто рассматриваются изопериметрические условия вида
§AdQ = l.
Это условие также можно исключить из рассмотрения, если ввести вспомогательную управляющую функцию ф, связанную с h соотношением
Л = ср /JcpdQ. (2.6)
Непосредственной подстановкой h из (2.6) в (2.5) убеждаемся, что рассматриваемое равенство оказывается выполненным для любых значений ф.
Заметим, что более общее интегральное ограничение
$XAdQ = l, (2.7)
где у — заданная функция, можно исключить из рассмотрения при помощи следующей подстановки:
Л = (1/ц($2)х) (1 -*-<•). (2.8)
Через |я (Q) обозначена мера множества Q.
Завершая краткое рассмотрение различных способов исключения ограничений, отметим, что введение вспомогательной переменной проектирования можно произвести неединственным образом. Этим обстоятельством можно пользоваться при численном решении задач для улучшения сходимости алгоритмов.
О замене локальных характеристик интегральными функционалами
Суббота, апреля 24, 2010Задачи оптимизации конструкций можно условно разделить по типу оптимизируемых функционалов и виду ограничений на две группы. К первой группе отнесем задачи оптимизации, для которых критерий качества и ограничения выражаются через интегралы от искомых функций. При этом ограничения имеют вид «изопериметрических» равенств и неравенств. Наиболее часто в работах по оптимальному проектированию встречаются такие интегральные характеристики, как вес, энергия деформации (податливость), сила потери устойчивости, частота собственных колебаний. Отнесем задачи оптимизации ко второй группе, если критерий качества и рассматриваемые ограничения имеют локальный (неинтегральный) характер. К этой группе отнесем смешанные задачи, когда в рассмотрение принимаются как интегральные, так и локальные характеристики конструкции. Типичными локальными функционалами, минимизируемыми при оптимальном проектировании конструкций, являются, например, максимальное смещение в деформируемом теле и максимальное значение интенсивности напряжений.
Большая часть результатов, полученных в теории оптимального проектирования, относится к задачам первой группы. Это объясняется прежде всего тем, что для решения задач с интегральными функционалами существуют известные методы классического вариационного исчисления и нелинейного программирования. Применение этих методов позволило для ряда задач выполнить аналитические и численные исследования и обнаружить интересные закономерности.
Для некоторых типов задач с интегральными функционалами исследования существенно упрощаются за счет того обстоятельства, что уравнения равновесия оказываются «естественными» для рассматриваемых функционалов и допускается исключение дифференциальных связей [2, 2.2, 3.17].
Меньшее число работ посвящено исследованию двумерных задач с локальными функционалами. Главной причиной этого является отсутствие достаточно общих эффективных методов решения для задач второй группы. Типичные трудности решения этих -задач заключаются в следующем. Например, если решается задача минимизации максимального прогиба пластинки и отыскания оптимального распределения ее толщин, то вывод необходимых условий оптимальности и их численная реализация осложнены тем, что заранее неизвестна точка максимального прогиба. Положение же этой точки существенно зависит не только от вида нагрузки, но и от искомого распределения толщин (переменной проектирования). Если же рассматриваются задачи оптимизации с ограничениями типа неравенств, наложенными на локальные характеристики, то аналогичные трудности связаны с определением положения точек или областей, для которых в рассматриваемых ограничениях реализуется знак строгого равенства. Существенные упрощения при решении задач второй группы достигаются в тех случаях, когда задано положение точек, в которых вычисляется значение локальных характеристик конструкции или положение точки экстремума функционала заранее известно, например, из условий симметрии задачи.
Заметим, что, проводя сопоставление интегральных и локаль ных функционалов, мы прежде всего имеем в виду неодномерные задачи оптимального проектирования.
Геометрические аспекты выбора расчетной схемы
Суббота, апреля 3, 2010Касаясь геометрических аспектов выбора расчетной схемы, отметим только наиболее широко применяемые в теории оптимального проектирования схематизации: сплошное трехмерное тело, характерные размеры которого во всех трех направлениях имеют одинаковый порядок; тела, один из размеров которых много больше двух других (балки, колонны, арки и стержневые системы); тела, один из размеров которых много меньше двух других (оболочки и пластинки).
В теории оптимального проектирования различные ситуации возникают в зависимости от того, проектируется ли традиционная или принципиально новая конструкция. В первом случае имеется полезная информация о прототипах и накопленный опыт может использоваться в виде «опорных» решений и начальных приближений для процесса оптимального проектирования. В этом случае незначительное число параметров проектирования является искомым и оптимизация конструкции сопряжена с обсчетом сравнительно небольшого числа вариантов. Во втором случае конструкция характеризуется большим числом параметров проектирования и процесс оптимизации связан с рассмотрением значительного числа допустимых вариантов (проектов).
Степень фиксации или, наоборот, незаданность параметров, определяющих облик или внутреннюю структуру конструкций,— существенный фактор формирования расчетной схемы. Этап выделения в расчетной схеме искомых управляющих переменных является чрезвычайно ответственным, и им во многом определяется эффект оптимизации. Введение параметров проектирования часто обусловливает дополнительные требования к расчетной схеме. Поясним сказанное на примере оптимального проектирования упругих оболочек переменной толщины. Пусть при оптимизации используется классическая теория тонких упругих оболочек. Если в результате оптимизации получаются распределения толщин, имеющие большие градиенты по пространственным переменным или другие особенности (разрывы, «нулевые» или «бесконечные» толщины), то классическая расчетная схема перестает быть надежной и требуется внесение соответствующих коррекций. Возможно осуществление коррекций двух типов.
1. Явное введение в расчетную схему ограничений, диктуемых принятой теорией и их учет при проектировании. Эта операция приводит к «стеснению» множества проектов.
2. Расширение и обобщение классических расчетных схем, учитывающее тенденции изменения проектов и позволяющее анализировать более широкий класс конструкций.
Важную роль при выборе расчетной схемы для задачи оптимального проектирования играет априорная информация о свойствах искомого решения. Информация о модели, знание принципиальных свойств решения, а также учет гипотез, положенных в ее основу, позволяют при постановке задач оптимизации выделить существенные ограничения и отбросить «второстепенные» и тем самым привести задачу к такому виду, что ее можно решить имеющимися численными ими даже аналитическими методами. Поэтому большая часть результатов в оптимальном проектировании относится к хорошо изученным расчетным схемам. Часто, однако, оказывается затруднительным «угадать» заранее свойства искомого оптимального решения и задача оптимизации оказывается сформулированной таким образом, что получаемые решения нарушают гипотезы, положенные в основу самой модели. Так, в ряде решавшихся задач проектирования пластин искомое распределение толщин обладало большими градиентами, что нарушает предположения, положенные в основу теории Кирхгофа. Другие известные особенности при использовании классических моделей пластин и оболочек связаны с появлением на оптимальных решениях нулевых и бесконечных толщин. Поэтому при выявлении отклонений от модели и нарушении гипотез, положенных в основу расчетной схемы, требуется введение в систему соотношений, используемых при проектировании дополнительных ограничений, например в задаче об изгибе пластинки — дополнительных ограничений на толщины. Выход из указанной ситуации возможен и на основе обобщения модели, заключающегося в «смягчении» гипотез и построении расчетной схемы для более широкого класса конструкций, включающего ранее недопустимые проекты. Таким образом, выбор модели и ее развитие представляют собой важные аспекты процесса проектирования.
Выбор расчетной схемы в теории оптимального проектирования
Пятница, марта 26, 2010В теории оптимального проектирования изучаются вопросы наилучшего выбора силовой схемы, формы, свойств материалов и условий работы конструкции, исследуются общие закономерности экстремальных решений и развиваются эффективные методы оптимизации. В результате исследований по оптимальному проектированию выясняются предельные возможности улучшения конструкций, оценивается качество традиционных (неоптимальных) сооружений и выявляются наиболее эффективные способы их совершенствования. Теорию оптимального проектирования отличает широкое разнообразие постановок задач [2, 24, 37— 41]. Это объясняется тем, что и уравнения, определяющие нагру-жение и деформирование конструкции, и требования, предъявляемые к ее механическим характеристикам, существенно отличаются при рассмотрении различных типов конструкций (балки, колонны, криволинейные стержни, пластинки, оболочки), реологических свойств (упругость, пластичность, ползучесть), внешних воздействий (поверхностные и объемные силы, статические и динамические нагрузки, „мертвые силы" и силы, зависящие от поведения самой конструкции, тепловые воздействия), видов управляющих переменных (форма конструкции), предположений о степени полноты информации об условиях работы конструкции (задачи с неполной информацией о виде внешних воздействий и способах закрепления конструкции). Точность модели и исходных данных также влияет на постановку задач.
Вопрос о выборе расчетной схемы (модели) является основным как при анализе конструкции, так и при ее оптимизации. Поэтому оптимальное проектирование невозможно без предварительной выработки представлений о существенных и несущественных аспектах поведения конструкции, схематизации условий функционирования и различного рода упрощений, сохраняющих адекватность схемы реальной конструкции. Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы. Такое определение расчетной схемы дается в курсах сопротивления материалов [19]. Выбор расчетной схемы, по существу, неединствен.
В некоторых случаях несколько различных схем может быть предложено для одного и того же объекта. В то же время одной расчетной схеме может ставиться в соответствие много реальных объектов.
При оптимальном проектировании конструкций стремятся применять расчетные схемы, позволяющие единственным образом определить как существенные величины напряженно-деформированного состояния, так и искомые переменные проектирования. Однако этого не всегда удается достигнуть из-за отсутствия точной информации о внешних воздействиях, несовершенств изготовления изделия, разброса параметров, характеризующих материал конструкции и других факторов неполноты информации. Для адекватной схематизации в этой ситуации целесообразно смягчение требований к точности описания реального объекта и принятие либо схемы расчета конструкции на наихудший случай, либо схемы стохастического описания конструкции. Это так называемые гарантированный и вероятностный подходы.
Свойства минералов
Суббота, сентября 19, 2009Механические примеси также могут приводить к окрашиванию бесцветных минералов: кварц может быть зеленым из-за механической примеси хлорита; кальцит — черным от примеси марганца или графита.
Цвет черты — цвет тонкого порошка минерала, оставляющего черту при трении образца о шероховатую поверхность фарфоровой пластинки («бисквита»). Цвет черты характерен в основном для непрозрачных рудных минералов. Он может быть белым, черным, коричневым, вишневым, желтым, серым. Для минералов этот признак постоянен.
Блеск — способность минерала отражать свет поверхностями свежего скола. По характеру блеска минералы делятся на две большие группы: а) с металлическим и б) с неметаллическим блеском. Неметаллический блеск в свою очередь имеет несколько разновидностей: алмазный — яркий, искрящийся (алмаз С, киноварь HgS); стеклянный (кварц Si02, флюорит CaF2), перламутровый (тальк Mg3[Si4O]0] (ОН),), шелковистый (селенит CaS022H20), восковой (халцедон Si02), матовый (пиролюзит Мп02).
Прозрачность. Минералы делят на прозрачные (горный хрусталь Si02, исландский шпат СяСШ, полупрозрачные, просвечивающиеся в тонких слоях (опал Si02 пН2д) и непрозрачные,т.е. не пропускающие свет (графит С, пирит FeS2,vi др.).
Спайность — способность минералов раскалываться или расщепляться по определенным плоскостям с образованием более или менее гладких поверхностей. Она может быть: а) совершенная — поверхности раскола минерала по спайности зеркально гладкие (кальцит СаСОу галенит PbS, галит NaCl), или минералы расслаиваются на чешуйки (графит С, слюда, асбест): б) средняя — поверхности раскола в основном ровные, но без блеска, причем допустимы отдельные неровности (нефелин (KNa)[AlSi30^); в) несовершенная — минерал раскалывается по параллельным плоскостям с неровной поверхностью.
Излом — поверхность раскола минерала, прошедшая не по спайности. Различают типы излома: раковистый излом (кварц Si02), ровный, неровный, занозистый (игольчатые минералы); ступенчатый (полевые шпаты).
Твердость — степень сопротивления минерала механическому воздействию. Для определения относительной твердости минералов используют шкалу Мооса — набор минералов, соответствующих 10 классам твердости, в котором более твердый образец оставляет царапину на менее твердом.
Упругая устойчивость
Воскресенье, сентября 13, 2009Задача упругой устойчивости состоит в отыскании минимальной величины параметра р (первого собственного значения) и соответствующего распределения прогибов (собственной функции) из решения линейной краевой задачи. Как уже отмечалось, достаточным условием действительности всех собственных значений р является выполнение требования самосопряженности краевой задачи.
Статический метод исследования устойчивости сводится к составлению и решению бифуркационной задачи. Соответствующие рассмотрения являются обоснованными с математической точки зрения, если краевая задача на собственные значения является самосопряженной и полностью определенной, т. е. для любых функций сравнения выполняются соотношения '
J uCv dQ = J vCu dQ, jj uCu dQ > 0;
Q Q Q
J uKv dQ = jj uKu dQ, jj uKu dQ> 0.
ft
Заметим [8.3, 8.31], что самосопряженная полностью определенная задача на собственные значения, не содержащая параметра р в граничных условиях всегда имеет бесконечный спектр положительных собственных значений, из которых в задачах устойчивости достаточно найти только наименьшее, определяющее критическую нагрузку.
Для самосопряженной и полностью определенной задачи на собственные значения справедлива теорема о минимуме отношения Рэлея [1.11, 1.12, 8.1]. При применении основанного на этой теореме энергетического метода исследования устойчивости критическая нагрузка находится из решения вариационной задачи о минимуме неаддитивного функционала J uCu dQ
p = min—r . (8.6)
ft
Минимум поив (8.6) разыскивается на достаточно гладких функциях, удовлетворяющих граничным условиям.
К группе статических методов исследования упругой устойчивости относится также метод неидеальностей. Этот метод заключается во введении в однородные уравнения равновесия (уравнения продольного изгиба стержней и пластин, уравнения выпучивания оболочек) малых дополнительных слагаемых, делающих эти уравнения неоднородными. Эти дополнительные члены уравнений могут быть, например, обусловлены наличием эксцентриситета при приложении к колонне сжимающей нагрузки, действием поперечных сил на сжатые в своей плоскости пластинки, предварительным искривлением работающих на сжатие панелей, неоднородностью распределения силового материала в оболочках. С учетом указанных неидеальностей, описываемых функцией ?, основное уравнение равновесия примет вид
Си - рКи + ? = 0. (8.7)
В отличие от бифуркационного уравнения (8.5) уравнение (8.7) имеет однозначно определенное нетривиальное решение и (|| и \\ Ф Ф 0) для сколь угодно малых значений параметра нагрузки р. При увеличении р максимальное значение (амплитуда) функции прогибов возрастает. Этот максимум стремится к бесконечности при приближении параметра нагрузки к некоторому критическому значению. Это значение совпадает с эйлеровой величиной нагрузки, определяемой как первое собственное значение бифуркационной задачи (8.5). Поэтому исследование упругой устойчивости возможно с применением метода неидеальностей, приводящего к задаче отыскания величины силы (параметра р), для которой прогибы неидеальной системы становятся бесконечно большими.
Оптимальное проектирования упругих пластинок
Воскресенье, сентября 13, 2009Рассмотрим некоторые примеры оптимального проектирования упругих пластинок, прямоугольных в плане (0 <; х ^ а, 0 <^
у Ъ). Пусть пластинка оперта по контуру Г и нагружена в точке (|, г|) (0 < \ < а, 0 < г] <С Ъ) сосредоточенной нагрузкой, т. е. q = Р8 (х — у — г)). Предполагая толщину пластинки постоянной, запишем сопряженное уравнение (7.132) и граничные условия (7.133) для функций и:
DA2v = К (ф -Р6(Х-Ъ, у- г,), (7.137)
(v)x=0 = (v)x=a = (u)ys=0 - (v)y=b = 0, (7.138)
(vxx)x=o = (vxx)x=a = (vyy)y=0 = (руу)у=Ъ = О-
Предполагается, что к краям пластинки приложены равномерно распределенные растягивающие напряжения ох = ууу = = о1 при х = 0, х = а и оу — ц)хх = о2 при у = 0, у = Ъ, где ai> а2 — заданные константы. В этом случае выражение для К (ф)у запишется следующим образом: hoxvxx + ho2uyy.
Решение краевой задачи (7.137), (7.138) приведено в [6.48]:
v= 21 "m-sin-^ein-^L, (7.139)
пг,
4Р . тлЕ, . ппц
Vmn = ^" Утп Sin —— Sin —f- ,
Г г. / т2л2 , и2л2 \2 . . / т2л2 . и2л2 1 -1
Решение краевой задачи Дирихле (7.127), (7.136) в случае прямоугольной области Q дается формулами
f = -xlG(x,y,t,s)K{
G(x,y,t,s) = -^F PmnSin— sillsin-j-sin-j-,
m, n=l
ft _ / ™2 , n2 Y1
Pmn — -f- "^2- j ,
где G (x, y, t, s) — функция Грина. Подставим выражение (7.139) для и в формулу (7.140) и выполним элементарные вычисления и преобразования. Константу X определим при помощи изопе-риметрического условия (7.126). Будем иметь
оо
е ХГ\ е . тпх . пли
/= 2^ /mnSin-^-sm-/-,
m, n=i
г 2 у о . тл: . плг)
7тп—bmnPmn sin ~ sin—g— X
Х l^is — *><))
к, 1=1
т2л2 , и2л2
{jB^fflltfA--,-?--,-TLr.
Ь2
«. 7 ( т2я2 .
Для оптимально спроектированной пластинки функция распределения прогибов w (х, у) и величина оптимизируемого функционала запишутся в виде
оо
I
тля . ппу
w = у wmnsm sin—г-
т, n—1
j 4Р . тлЕ, . илг] 7 / т2л2 . л2л2 \" W = Ymn [-^ sin — sin -?-1 -А (ах — + а2 -55-)_
оо
тлЕ . ият) mnsin—— sin-—
m, n=l
Рассмотрим изгиб предварительно искривленной пластины,, лежащей на упругом винклеровском основании с коэффициентом податливости с. Пластина нагружена действием поперечных сил q (х, у) и не подвержена действию сил в плоскости ху. Используя предположения и обозначения, аналогичные тем, которые делались при отсутствии упругого основания, получим выражение для силы реакции основания с [w (х, у) + / (х, у)] и уравнение изгиба
Lw = q (х, у) + clw (х,у) + / (я, у)]. (7.141)
Предварительно изогнутые пластинки максимальной жесткости
Воскресенье, сентября 13, 2009Следуя работе [7.49], рассмотрим изгиб предварительно изогнутой пластинки, закрепленной вдоль контура Г в плоскости ху и нагруженной действием поперечных сил q (х, у), а также сил, действующих в плоскости ху и приложенных к ее краям (см. рис. 7.14). На части границы пластинки реализовано жесткое защемление края, а на остальной части Г2 — шарнирное опирание (Гх + Г2 = Г). Контур Г ограничивает в плоскости ху область Q. Обозначим через / (х, у) форму срединной поверхности предварительно искривленной пластинки при отсутствии действия внешних нагрузок. Пусть w (х, у) — функция, описывающая смещение точек срединной поверхности пластинки в направлении оси z,
Lw- К (<р)н> = q + К (Ф)/,
Иг=о, о, D[^-
вызванные действием нагрузок. Будем отсчитывать величины смещений w (х, у) от срединной поверхности предварительно изогнутой пластинки. Тогда полное отклонение срединной поверхности от плоскости ху описывается функцией w (х, у) + / (х, у). Предположим, что смещения являются малыми, т. е. что характерные смещения меньше, чем толщина пластинки. Тогда уравнение равновесия и граничные условия запишутся в виде
-1 =0, (7.122)
(7.121)
1 — v dw
где dwldn, i?, Д, ф — производная функции w (х, у) по внешней нормали к контуру, радиус кривизны контура, оператор Лапласа, функция напряжений, действующих в плоскости пластинки. Цилиндрическая жесткость пластинки D = D (х, у) считается заданной функцией координат х и у. Через L и К обозначены линейные дифференциальные операторы, применяемые к функции:
Lw = (Dwxx)xx + (Dwyy)yy + v {Dwxx)yy +
+ v (Dwyy)xx + 2 (1 - v) (Dwxy)xy, (7.123)
K(y)w==h (%ywxx + yxxwyy — 2yxywxy).