Posts Tagged ‘методы’

« Older Entries
Newer Entries »

Постановки некоторых задач оптимального проектирования

Воскресенье, сентября 13, 2009

Задачи оптимизации устойчивости упругих элементов конструкций относятся к числу классических проблем оптимального проектирования. В проведенных исследованиях этих задач [16, 26, 8.9-8.15, 8.21-8.30, 8.32-8.35, 8.38-8.45, 8.50-8.78, 8.81—8.83, 8.85—8.110] было показано, что при оптимизации достигается значительный эффект, и тем самым была обоснована перспективность дальнейших разработок в этом направлении. Следует заметить, что выполненные исследования и разработанные методы в основном относятся к оптимизации устойчивости упругих консервативных систем, описываемых самосопряженными краевыми задачами. Вопросы же оптимального проектирования неконсервативных систем и, в частности, конструкций, нагруженных следящими силами, изучены в меньшей степени [8.14, 8.38, 8.40, 8.76, 8.79, 8.86, 8.89, 8.110].
Рассмотрим постановку задачи оптимального проектирования тонкостенной конструкции, применяя общий динамический подход. Задача оптимального проектирования, заключается в минимизации функционала веса
/ = J h (х) dQ -> min^ (8.8)

при условии, что р задано, а частоты со, определяемые как собственные значения однородной краевой задачи для уравнения (8.3), удовлетворяют условию
Im со (р) > 0. (8.9)
Взаимная задача заключается в максимизации критического параметра потери устойчивости
7?->maxtefih (8.10)
при условии, что вес задан и все частоты удовлетворяют неравенству (8.9).
Задача минимизации веса при заданных значениях критических сил, а также задача максимизации критической силы потери устойчивости при заданном весе относятся к числу сложных нелинейных задач оптимального проектирования.
Теория этих задач, как и эффективные алгоритмы, существенно использующие специфику задач устойчивости, интенсивно разрабатываются в настоящее время.
При применении статического подхода проблема оптимального проектирования может формулироваться как задача максимизации минимального собственного значения р уравнения (8.5) при ограничении на вес конструкции либо как задача предельного снижения веса при заданном первом собственном значении.
Задачи оптимизации упругой устойчивости могут формулироваться и с использованием метода неидеальностей. В этом случае максимизации подлежит параметр нагрузки р из (8.7), для которого прогибы конструкций, определяемые из решения неоднородной краевой задачи, становятся неограниченно большими. С применением метода неидеальностей может быть рассмотрена также взаимная задача минимизации веса при ограничении на силу потери устойчивости. Построение оптимального решения на основе данного подхода сводится к отысканию переменных состояния и проектирования из условия минимума в зависимости от заданных значений сжимающей силы и величины максимального прогиба ио (| и I щ) и последующем устремлении параметра щ к бесконечности.

Tags: , , , , , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

Динамические задачи оптимизации балок и оболочек при ограничениях на прогибы

Воскресенье, сентября 13, 2009

Широкий круг вопросов, связанных с минимизацией весовых характеристик при жесткостных ограничениях, рассматривается при проектировании конструкций, рассчитываемых на .нестационарные воздействия и, в частности, ударные нагрузки. Особенно детально здесь изучались задачи оптимизации элементов конструкций, совершающих вынужденные гармонические колеба-лия. О тематике исследований по динамическим задачам оптимального проектирования, проводившихся до 1972 г., можно получить представление из обзорной статьи [44]. В последнее время число работ по динамической оптимизации значительно увеличилось, и их можно условно разделить на следующие группы: проектирование конструкций при нестационарных нагрузках; проектирование конструкций, совершающих вынужденные гармонические колебания; проектирования конструкций, совершающих свободные колебания; проектирование неконсервативных упругих систем при ограничениях по устойчивости.
Отметим здесь некоторые работы по оптимальному проектированию конструкций при динамических нагрузках, имеющие непосредственное отношение к результатам, излагаемым в данной главе. К первым публикациям по оптимизации конструкций, подверженных нестационарным динамическим воздействиям, можно отнести работы [7.50, 7.51], в которых рассмотрены задачи минимизации максимального прогиба балок переменного сечения. Теория динамической оптимизации упругих систем с распределенными параметрами разрабатывалась с применением метода анализа чувствительности в [24, 31, 7.47, 7.56—7.59]. Оптимальному проектированию одномерных конструкций при нестационарных нагрузках посвящена работа [7.19]. В работах [7.52, 7.55, 7.66, 7.81, 7.98] рассматриваются задачи динамической оптимизации дискретных систем и для последовательного улучшения функционала качества используется метод параметрической оптимизации. В работах [1.3, 1.4] развивается методика решения динамических задач оптимального проектирования, основанная на теории оптимизации систем с распределенными параметрами. Аналитические решения для некоторых одномерных задач оптимального проектирования упругих элементов конструкций, совершающих вынужденные гармонические колебания, построены в [1.26, 1.34, 7.18]. Для решения задач минимизации максимального прогиба балки, лежащей на упругом основании Винклера — Пастернака и совершающей вынужденные гармонические колебания, в [1.20] применены методы математического программирования. Решение двумерных задач оптимизации упругих пластинок, подверженных действию гармонических нагрузок, содержится в [1.8].

Tags: , , , , , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

Критерии жесткости и их использование в задачах оптимального проектирования

Суббота, сентября 12, 2009

Все реальные конструкции характеризуются той или иной степенью деформативности. При приложении внешних нагрузок и в результате действия сил собственного веса в конструкции могут возникнуть значительные деформации и отдельные ее части получат перемещения, недопустимые для надежного функционирования. Поэтому обеспечение жесткости конструкции является одним из основных вопросов в теории проектирования, а задача снижения веса при ограничении на жесткость относится к основным проблемам оптимизации конструкций. Жесткость конструкций может определяться различными способами. В качестве меры жесткости могут рассматриваться смещения характерных точек конструкции или ее частей, величина работы внешних сил или энергия упругих деформаций, величины деформаций и максимальных прогибов тонкостенных \? конструкций.
Задачам минимизации веса конструкций при ограничениях по жесткости, а также родственным зада-^У+дТ* чам минимиза11ИИ жесткости тел за-V " " данного веса посвящено значительное число публикаций [2, 23, 24]. В этих работах численно и аналитически найдены распределения силового материала для ряда элементов рис. 7.1 конструкций. В особенности это от-
носится к задачам с ограничениями на функцию прогибов и к задачам минимизации максимальных прогибов тонкостенных конструкций, для которых развивались эффективные минимаксные методы [4.3, 7.56—7.59]. Наиболее детально исследованы задачи, для которых в качестве жесткостных критериев принимались интегральные меры [7.2, 7.23, 7.24, 7.29 — 7.32, 7.34, 7.37, 7.38, 7.45, 7.48, 7.63, 7.69, 7.70, 7.87-7.91, 7.99-7.101].
Рассмотрим упругое деформируемое тело, занимающее область fi, ограниченную поверхностью Г = Га + Ги (рис. 7.1). На части границы Ги заданы перемещения и, на части границы Га — нагрузки q:
Ыги = Uu (а,уПу)Го = qt, (7.1)
где Uh qt — заданные функции.
Обозначим через Tv часть границы Га(Г„с:Га), свободную от прикладываемых нагрузок (q = 0).
Задача оптимизации заключается в отыскании формы границы Tv, доставляющей минимум функционалу податливости конструкции
/ = -^-^ qudFG-> min-r^, (7.2)
и такой, что удовлетворяются изопериметрическое условие постоянства объема тела
mes Q = 7

Tags: , , , , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

Численное решение задачи оптимизации

Суббота, сентября 12, 2009

Численное решение задачи оптимизации может быть получено -с применением метода последовательной оптимизации [2]. При этом должны выполняться вычисления следующих двух типов. Вычисления первого типа должны быть связаны с решением задачи жесткопластического анализа. В результате численного решения этой задачи для тела заданной формы находятся величины ои, yph X, \\. Вычисления второго типа связаны с построением улуч-щающих вариаций формы тела. Соответствующие расчеты ведутся с использованием выведенных формул анализа чувствительности и текущих значений величин ог;-, г}?;, А,, и.. Различные методы вариационного исчисления и математического программирования могут применяться при реализации анализа чувствительности. Заметим, что многие известные методы использовались в рамках алгоритма последовательной оптимизации. При этом градиентные методы оказались наиболее перспективными с практической точки зрения J2, 24, 28, 31].
Подход, основанный на применении алгоритма последовательной оптимизации, был развит для решения задач минимизации веса конструкций из упругопластических материалов при учете ограничений на их несущую способность. Результаты некоторых расчетов представлены на рис. 6.21—6.24 для плоских упругопла стических элементов. Предельное поведение этих элементов описывается двумерными уравнениями равновесия и условием пластичности Мизеса. На рис. 6.21 показан улучшенный в результате оптимизации элемент опоры. При расчетах и графическом изобра жении результатов учитывалась симметрия внешних нагрузок, граничных условий и геометрии элемента относительно оси х. Поэтому только половина элемента показана на рис. 6.21 и также на рис. 6.22. Равномерно распределенные сжимающие нагрузки приложены к части границы CD. Искомая часть границы ВС свободна от прикладываемых нагрузок. Форма контура ВС рассматривается в качестве переменной проектирования и улучшается в процессе итераций. Вдоль линии АВ реализуется контакт между сжимаемым элементом опоры и идеально гладким и абсолютно жестким основанием. Другими словами, предполагается, что на АВ трение отсутствует и перемещения в направлении оси х равны нулю. Результаты проектирования элемента опоры из упругопла-стического материала сравнивались с соответствующими результатами, получаемыми при проектировании абсолютно упругого элемента. С этой целью дополнительно решалась задача упругого проектирования, заключающаяся в минимизации веса элемента при ограничении, наложенном на интенсивность напряжений go ((Jij) ^ 1. Представленное на рис. 6.22 решение было получено при помощи алгоритма упругой оптимизации, предложенного в [3.2, 4.2]. При упругом проектировании все расчеты проводились на основе полной системы уравнений теории упругости для тех же значений геометрических, физических и силовых параметров, что и в задаче пластического проектирования. Сравнение численных результатов, соответствующих упругому и пластическому проек­там, показывает, что учет пластического механизма разрушения приводит к дополнительному снижению веса, превышающему 6,6%. При этом заметно сглаживаются поля напряжений. Изоли­нии равных интенсивностей напряжений показаны на рис. 6.21, 6.22.  сплошными линиями.

Tags: , , , , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

Оптимальное проектирование с учетом пластических свойств материала

Суббота, сентября 12, 2009

В предыдущих параграфах данной главы все рассмотрения велись в предположении об идеально упругом поведении материала вплоть до момента разрушения, определяемого некоторым критерием прочности. Однако для многих реальных конструкций еще задолго до исчерпания ими несущей способности поведение материала становится существенно нелинейным. Учет при проектировании нелинейных характеристик материала позволяет добиться существенного снижения расхода материала (веса конструкции) по сравнению с результатами, получаемыми на основе использования расчетной схемы упругого тела. Однако рассмотрение в современных работах по теории проектирования конструкций адекватных механизмов разрушения приводит к сложным математическим проблемам. Этим по-видимому объясняется, почему в настоящее время разработка теории оптимального проектирования конструкций из не вполне упругих материалов еще далека от завершения. Современные исследования в этой области касаются изучения новых постановок задач, в которых учитываются различные типы нелинейного поведения материала, рассматриваются сложные элементы конструкций (пластинки, оболочки, трехмерные тела), развиваются методы анализа чувствительности и другие эффективные численные методы оптимизации.
Отметим некоторые работы по теории оптимального проектирования, основанные на представлениях об исчерпании конструкцией несущей способности. Задачи минимизации веса при заданных критических нагрузках решались в работах [6.67, 6.68, 6.72, 6.64, 6.77, 6.87-6.89, 6.78, 6.95, 6.100, 6.57-6.60] в рамках предложений об упругопластическом поведении материала. Некоторые задачи оптимального проектирования с учетом ограничений на приспособляемость к переменными, в частности, к циклическим нагрузкам рассмотрены в [6.40, 6.75, 6.82, 6.91, 6.90]. Широкий круг вопросов оптимизации конструкций с учетом пластических свойств материалов обсуждается в [18, 21, 25, 6.15,].
6.56, 6.63, 6.77]. Отметим работы [6.4—6.7, 6.21, 6.94], в которых обсуждается применение критериев равнопрочности.
Рассмотрим равновесие деформируемого тела, занимающего область Q и находящегося под действием объемных сил qt и внешних усилий Тi, приложенных к части поверхности тела Г (I = = 1, 2, 3). На остальной части поверхности тела Ти предполагаются выполненными условия жесткого закрепления (Га + Ги = = Г). Эти условия означают обращение в нуль вектора смещений: (и)г = 0. Материал тела считается упругопластическим. Состояние текучести достигается в некоторой точке тела, если в условии 8 (tfjji к) <^ 0 реализуется знак равенства. Выполнение же строгого неравенства означает, что материал ведет себя упруго. Здесь к — константа пластичности; atj — компоненты тензора напряжений; g — заданная функция. Уравнением g (о*^-, к) = 0 в пространстве напряжений задается семейство выпуклых поверхностей, охватывающих начало координат и отвечающих различным значениям к. Эти поверхности стягиваются к началу координат при к -> 0.
В проводимых далее рассмотрениях предполагается, что для прикладываемых нагрузок в отдельных частях тела возникают области текучести. Само появление зон текучести считается допустимым, однако требуется, чтобы пластические деформации не привели к исчерпанию несущей способности и разрушению тела. Под исчерпанием несущей способности и разрушением понимается неограниченное возрастание деформаций при постоянных нагрузках [6.23]. В дальнейшем всюду предполагается, что деформации тела вплоть до разрушения малы.

Tags: , , , , , , ,
Posted in Критерии прочности, жесткости, устойчивости и веса в оптимальном проектировании | Обсуждение закрыто

Методы проектирования, использующие разбиения на подконструкции

Суббота, сентября 12, 2009

При проведении расчетов сложных конструкций в современной практике широко применяются методы, использующие разбиение рассматриваемой конструкции на более мелкие подконструкции. На идеях декомпозиции конструкции основываются и многие методы оптимального проектирования. Декомпозиция предполагает наряду с разбиением конструкции на подконструкции разделение всех узлов на граничные и внутренние и соответствующее структурирование матрицы жесткости. По определению, граничными называются узлы, относящиеся одновременно к нескольким подконструкциям. В дальнейшем величины, относящиеся к граничным и внутренним узлам, отмечаются соответственно нижними индексами В и I. Так, перемещения граничных и внутренних узлов будем обозначать через ив, и/.
Пусть проектируемая конструкция условно разделена на е под-конструкций и из компонент вектора и, описывающего перемещения всех узлов, составлены векторы ив, Щ. Задача оптимизации заключается в отыскании вектора переменных проектирования k и соответствующих векторов ив, и/, минимизирующих функцию качества
J = J (ив, uj, fe), (5.61) и таких, что удовлетворяются уравнения равновесия
[Lbb Lbi Lib Ln _ и условия
$i (ив, ии К) < 0, j = 1,2,.. .л кл (5.63)
Элементы подматриц Lbb, Lbi, Lib, Lu и векторов qs, qi будут рассматриваться как функции переменных проектирования.
Для задачи (5.61)—(5.62) проведем анализ чувствительности, основанный на вычислении производных функции качества и функций, задающих ограничения, по переменным проектирования [5.12].
Производные, фигурирующие в (5.64), вычисляются для заданных (невозмущенных) значений h, ив, и\. Вариации Ыь соответствуют вариации бив, 8щ, удовлетворяющие уравнениям
Lbb$ub + LbiSui = XiSfe, (5.65)
Ь1ВЬив'+ Lnbui = Хг^Л» (5.66)
где
dqB 0 q
ll = -dh~~lk (l*b"b) — w(lbiui)<
dqj о 0
^2 = "dh Ж (LibWb) — Ж
Соотношения (5.65), (5.66), задающие линейную связь между величинами див, би/ и б/г, получаются при помощи разложений уравнений (5.62) по 8ив, бг/i, 8h и удержания членов первого порядка малости.
Выражая бг/j из уравнения (5.66) и подставляя результат в (5.65), получим
LB8uB = %8h, LB = ЬВв + LBiQ,
т 1 (5.67)
X = X1 + QTTLv Q = -L-I]LIB.
Подставляя, кроме того, полученное выражение для Ьщ в (5.64), будем иметь
«-(ж«*«.)•*++
Далее определяются векторы сопряженных переменных Я0, tf, I**:
(5.69)
0uB ^ duj ' ™ див 1 x dttj
Определение сопряженных переменных из решения алгебраических задач (5*69) и учет симметричности цодматрицы Ьц и граничной матрицы жесткости LB (Ьц = L/i, LB = Ьв) позволяет в (5.68) исключить слагаемые с множителем 8ив и получить основные соотношения анализа чувствительности, связывающие непосредственно б/, бг|),- с б/i, в виде
б/ = [V*/F6fc, (5.70)

Tags: , , , ,
Posted in Теории и методы оптимизации конструкций | Обсуждение закрыто

Анализ чувствительности второго порядка

Суббота, сентября 12, 2009

Разработанные методы анализа чувствительности основаны на различных схемах вычисления градиентов критериев качества и функций ограничений по отношению к переменным проектирования. Использование формул анализа чувствительности и выражений для градиентов основных характеристик позволяет развить высокоэффективные методы последовательной оптимизации и тем самым существенно ускорить поиск оптимальных проектов. Дополнительное ускорение процесса отыскания оптимального решения может быть достигнуто при наличии эффективных способов оценки производных второго порядка (производные рассматриваемых характеристик по переменным проектирования). Ниже, следуя работе [5.19], изложим некоторые приемы получения указанных производных.
Пусть поведение конструкции описывается системой линейных алгебраических уравнений
где и и q (h) — соответственно /тг-мерные векторы перемещений и нагрузок; h — вектор переменных проектирования размерности п; L — симметричная матрица размерности m x m. Коэффициенты матрицы L (h) дважды дифференцируемы по компонентам вектора проектирования. Для упрощения рассмотрений ограничимся получением выражений производных функций ограничений по двум фиксированным компонентам ht, hj вектора h. Поэтому в приводимых соотношениях будем отмечать только зависимость от ht, hj. Ограничение на поведение конструкции запишем в виде
\[ (и, hh hj) < 0. (5.52)
Дифференцируя выражение, записанное в левой части неравенства (5.52), по hi4 получим
г г г
где компоненты вектора ZT определяются по формулам Zs — dtyl ldus (s — 1, 2,. . ., m). Применяя далее операцию дифференцирования по ht к уравнению (5.51), получим
III
Разрешая уравнение (5.54) относительно dufdhi и подставляя результат в (5.53), приходим к следующему выражению для производной функции ограничений по переменной проектирования:
&--2- + *М-Й:--лН- (5'55)
г г L г i J
Верхний индекс —1 означает обращение матрицы.
Введем в рассмотрение га-мерный вектор сопряженных переменных Я, определив его как решение следующей системы алгебраических уравнений:
LX = Z. (5.56)
На основе использования (5.55), (5.56) с учетом симметрии матрицы L получим формулу анализа чувствительности первого порядка
г г L i г J
Подхбд к вычислению производных, использующий введение сопряженного вектора Я, требует решения системы уравнений (5.56) для каждого рассматриваемого ограничения на поведение конструкции. Непосредственное же вычисление производных на основе соотношений (5.54), (5.55) приводит к необходимости решения системы уравнений (5.54) для каждой переменной проектирования. Поэтому подход, использующий введение сопряженных переменных, имеет преимущества, когда число переменных проектирования превышает число ограничений на поведение конструкции.

Tags: , , , , ,
Posted in Теории и методы оптимизации конструкций | Обсуждение закрыто

Проектирование конструкций при однотипных ограничениях, наложенных на их элементы

Суббота, сентября 12, 2009

В ряде проблем проектирования сложных конструкций оптимальный результат достигается при учете только одного (критического) ограничения для каждого элемента. В других задачах проектирования конструкций учет ограничений одного типа для каждого элемента и последующая проверка ограничений другого типа позволяет получать близкие к оптимальным квазиоптимальные решения. Поэтому приобретают значение методы оптимального проектирования конструкций при однотипных ограничениях, таких, например, как ограничения на напряжения или перемещения.
Рассмотрим задачу минимизации веса стержневой конструкции при ограничениях на напряжения в элементах, причем число этих ограничений равно количеству элементов. Заметим, что для более сложных конструкций, включающих балочные, пластинчатые и мембранные элементы, количество ограничений на напряжения больше числа элементов. Запишем ограничения на напряжения ai7 действующие в г-м элементе, следующим образом:
r|)f = at — at < 1, Oj = TilhiA i = 1, 2, . . .„ ft,
где o°i — максимальные допустимые напряжения; к — число стержней в конструкции; Ть — продольное сжимающее или растягивающее усилие для i-то стержня. Дифференцируя далее \|);- по ht и подставляя в первое соотношение (5.19), получим
Т 1 dh. РЛ-Я^ + -^Х^ = 0. (5.23)
1 j=i 3
В общем случае производные дТjldlii могут быть найдены в результате выполнения анализа чувствительности включающего расчеты напряженно-деформированного состояния конструкции. Исключение составляют статически определимые конструкции, для которых усилия, возникающие в стержнях, не зависят от площадей поперечных сечений и указанные производные равны нулю. Далее при рассмотрении статически неопределимых конструкций используем дополнительное предположение о слабой зависимости усилий от площадей поперечных сечений и полагаем ОТу Idhi = 0. При этом фигурирующие в условиях оптимальности. (5.23) под знаками суммирования группы членов (количество членов соответствует числу активных ограничений и не превышает числа стержней) обращается в нуль. Имеем
9ilt - K(Ti/ti) = 0. (5.24)
Если напряжения в каждом стержне достигают максимальных допускаемых значений (о, = а?), то множители Лагранжа определяется по формулам Xt = р^/^/о?, а условия оптимальности (5.24) преобразуются к виду
1 = TJhiGl (5.25)
Равенства (5.25) представляют собой критерий полностью напряженного проекта.
Заметим, что полностью напряженные проекты статически неопределимых конструкций могут существенно отличаться от оп-тимальныху если не малы чувствительности усилий к вариациям толщин стержней.
Перейдем теперь к конструкциям, при проектировании которых из условия минимума веса непосредственно учитываются только ограничения на интегральную жесткость:
^=Хтг -х0==0' <5-26>
где hi — площадь поперечного сечения t-ro стержня; Пг-//ьг- — энергия упругих деформаций. Ограничимся рассмотрением статически определимой системы.

Tags: , , , ,
Posted in Теории и методы оптимизации конструкций | Обсуждение закрыто

Методы, основанные на критериях оптимальности

Суббота, сентября 12, 2009

В литературе по оптимальному проектированию под названием «методы, основанные на критериях оптимальности» понимается целая группа методов [5.26, 5.27, 5.30]. Для этих методов характерно выполнение следующих операций. Сначала выводится условие оптимальности. С этой целью либо используются формальные математические преобразования, либо привлекаются интуитивные соображения. Затем разрабатывается алгоритм, целенаправленно изменяющий текущий проект, так, чтобы удовлетворить условиям оптимальности. Заметим, что в названии методов по смыслу следовало бы использовать термин «условия оптимальности» вместо термина «критерии оптимальности». Учитывая, что данное название устоялось в литературе, в дальнейшем применяются оба термина.
Методы, основанные на критериях оптимальности, относятся к группе непрямых методов оптимизации. В математическом отношении «критерий» или условия оптимальности эквивалентны условиям Куна—Таккера из нелинейного программирования. Использование данных условий в алгоритмах оптимизации приводит к итерационным процедурам. Обусловленно это нелинейностью задачи и, в частности, нелинейностью ограничений по отношению к переменным проектирования. Вычисления, выполняемые на каждой итерации, четко разделены на две части. В первой части приводится прямой расчет конструкции и определяется ее поведение под прикладываемыми нагрузками. Во второй части осуществляется модификация переменных проектирования на основе рекуррентных соотношений* вытекающих из критериев оптимальности. Если внутренние силы в конструкции не зависят от толщин или других параметров ее элементов, как это имеет место для ста тически определимых конструкций, или почти не зависят, как в большинстве хорошо спроектированных конструкций, то одна или несколько итераций по выбору размеров приводят к оптимальному или почти оптимальному решению [5.27].
Число итераций, необходимых для обеспечения оптимума, виртуально не зависит от числа элементов конструкции. Это обстоятельство делает рассматриваемые методы хорошо приспособленными для оптимизации сложных конструкций. Однако, если усилия, возникающие в конструкции, чувствительны к размерам элементов, как это имеет место для некоторого типа ферм, то для сходимости алгоритма требуется существенно большее число итераций.
Варьирование переменных проектирования, производимое в процессе решения задачи, основывается на рекуррентных соотношениях. Рекуррентные соотношения включают в себя в качестве неизвестных величин градиенты ограничений и множители Лагранжа. Градиенты могут быть оценены при помощи вариационных принципов, а множители Лагранжа находятся с использованием итерационных методов. В частном случае задачи с одним ограничением множитель Лагранжа может быть найден в виде явного выражения. Для задач со многими ограничениями и для нелинейных задач этого, как правило, сделать нельзя.

Tags: , , ,
Posted in Теории и методы оптимизации конструкций | Обсуждение закрыто

Применение метода граничных интегральных уравнений

Суббота, сентября 12, 2009

При решении задач оптимального проектирования с применением вариационно-разностных методов и метода конечных элементов функции, описывающие напряженно-деформированное состояние, и сопряженные переменные вычисляются для всех элементов, т. е. во всем объеме конструкции. Знание перемещений и напряжений во внутренних точках тела представляется полезным, поскольку эта информация используется для полного анализа конструкции. Но при построении оптимальных форм конструкций в ряде случаев знание этих величин может и не потребоваться. Это объясняется тем, что для широкого круга проблем в формулах анализа чувствительности и условиях оптимальности фигурируют только граничные значения функций состояния и сопряженных переменных. Для расчета НДС в таких задачах целесообразно использовать методы граничных интегральных уравнений (ГИУ) и граничных элементов (МГЭ). Применение МГЭ, основанного на ГИУ, позволяет существенно сократить объем вычислений, выполняемых при использовании МКЭ и вариационно-разностных методов. Метод граничных интегральных уравнений основан на сведении краевых задач для дифференциальных уравнений к интегральным уравнениям на границе области [4.8, 4.10]. Размерность исходной задачи при этом снижается на единицу. Одним из способов получения граничных интегральных уравнений является применение аналогов третьего тождества Грина для дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа. Тождества Грина, записанные для функций состояния и сопряженных переменных, связывают значения указанных величин в точке области с интегралами от этих же функций и их производных по области и ее границе [4.8, 4.10]. Осуществляя предельный переход посредством устремления точки, в которой определены рассматриваемые функции, к границе, получим ГИУ, которые связывают значения функции, ее производных на границе. Для решения граничных интегральных уравнений применяется МГЭ, который заключается в выполнении следующих операций. Граница области разбивается на отдельные элементы, а граничные функции раскладываются по системе базисных функций, причем коэффициенты разложения рассматриваются в качестве искомых величин. Матрица влияния находится путем интегрирования ядра граничного интегрального уравнения по всем граничным элементам. Затем системы линейных алгебраических уравнений решаются относительно аппроксимационных параметров. Существуют и другие способы составления граничных (сингулярных и регулярных) уравнений, основанные на методах распределенных особенностей локальных источников, потенциалов, компенсирующих нагрузок.

Tags: , , , , ,
Posted in Теории и методы оптимизации конструкций | Обсуждение закрыто

« Older Entries
Newer Entries »