Тонкость помола. В зависимости от степени измельчения различают гипсовые вяжущие грубого, среднего и тонкого помола с максимальным остатком на сите с размером ячеек в свету 0,2 мм не более 23, 14 и 2%, соответственно.Чем тоньше размолот гипс, тем больше его реакционная поверхность и тем быстрее протекает схватывание и дальнейшее твердение, но одновременно увеличивается водопотребность. Особое значение тонкость помола имеет для высокообжиговых вяжущих, для них максимальный остаток на сите №008 — не более 15%.
Прочность. Марку низкообжиговых гипсовых вяжущих опре деляют по прочности при сжатии образцов-балочек размеро\ 40x40x160 мм, сформованных из теста нормальной густоты в возрасте 2 часа после затворения водой. ГОСТом установлено 12 марок от Г-2 до Г-25 (цифра в обозначении марки соответствует прочности при сжатии, выраженной в МПа). Наряду с прочностью при сжатии нормируется также прочность при изгибе, которая существенно ниже.
Прочность гипса может быть повышена путем сушки. При этом растворенный двуводный гипс оседает в порах и упрочняет кристаллический сросток. Прочность гипсовых образцов, высушенных при температурах до 60°С, в 2—2,5 раза выше прочности влажных образцов после 2 часов твердения.
У высокообжиговых вяжущих свои методы оценки прочности. Марку ангидритового вяжущего определяют по прочности при сжатии в возрасте 28 суток в образцах из растворов жесткой консистенции состава 1 : 3 (вяжущее : Вольский песок). Предусмотрен выпуск четырех марок вяжущего — 5, 10, 15 и 20 МПа.
Выпускаемый высокообжиговый гипс имеет марки 10, 15 и 20 по прочности при сжатии (МПа) через 28 суток образцов-кубов из раствора пластичной консистенции 1: 0 (без песка). Кроме того, затвердевший высокопрочный гипс отличается повышенным сопротивлением истиранию.
Наряду с гипсовыми вяжущими общестроительного назначения выпускают гипс для фарфоро-фаянсовой и керамической промышленности. Он имеет сроки схватывания, установленные для нормально твердеющего гипса, а остаток на сите с ячейками размером в свету 0,2 мм (№02) не более 1%. К этим вяжущим предъявляются и особые требования: объемное расширение — не более 0,15%, содержание нерастворимых в НС1 примесей — не более 1%, водопоглощение — не менее 30%.
Гипсовые вяжущие твердеют с некоторым увеличением объема (до 1%), благодаря чему гипсовые отливки хорошо заполняют форму и передают ее очертания. При его высыхании трещин не образуется, что позволяет применять гипс без заполнителей.
Posts Tagged ‘методы’
Тонкость помола и прочность
Среда, января 13, 2010Классификация измельченных материалов
Суббота, сентября 19, 2009Классификация — разделение твердых зернистых материалов на фракции ( классы ) по крупности кусков и зерен. Эта операция, с одной стороны, снижает расход энергии на измельчение, а с другой, позволяет получить продукт заданной дисперсности, не содержащий некондиционных фракций. Особенно велика значимость классификации в керамической технологии, где многие изделия получают на основе многофракционных сырьевых смесей со строго определенным соотношением размеров зерен.
Существует два основных вида классификации: механическая (разделение на ситах ) и гидравлическая, основанная на различной скорости осаждения зерен разной крупности в водной или воздушной средах.
Процесс разделения сыпучих материалов на классы по крупности путем просеивания через сита называется грохочением. Грохочение производится на грохотах, рабочий элемент которых — колосниковая решетка, состоящая из отдельных колосников, листовая штампованная решетка (при отверстиях более 3 мм) либо проволочное сито (отверстия менее 3 мм). Материал, подлежащий классификации, перемещается по поверхности решета. Если необходимо получить несколько фракций материала, он последовательно пропускается через набор сит.
При рассеве на каждом сите образуются два продукта: верхний (не прошедший через сито) и нижний (прошедший через сито).
Существует три основных схемы рассева: 1) с последовательным выделением фракций от крупных к мелким; 2) то же, от мелких к крупным; 3) комбинированный. При использовании первой схемы крупность кусков уменьшается и, следовательно, уменьшается износ полотен сит, повышается точность рассева. Однако удаление мелких фракций на последних ступенях рассева значительно увеличивает пыление. Применение второй схемы исключает этот недостаток, но увеличивает износ полотен и понижает точность рассева.
Грохочение достаточно крупных зерен применяется при подготовке фракционированного известняка для обжига в шахтных печах, а также при многостадийном дроблении твердых материалов для отделения кондиционных фракций. Грохочение на проволочных ситах широко используется в стекольной технологии и на керамических заводах.
Сита могут быть вращающимися (барабанными или призматическими), плоскими качающимися и вибрационными. На стекольных заводах часто применяют для одновременной сушки и классификации песка барабанный многогранный грохот (сито-бурат). Такой грохот представляет собой призму, грани которой являются металлическими сетками. Песок подается внутрь вращающегося бурата и просеивается через сетки. Не прошедшие через сетки зерна удаляются с другого конца бурата.
На эффективность рассева влияют влажность материала, угол наклона сит к горизонту, толщина слоя материала, лежащего на сите, форма и расположение отверстий, амплитуда колебаний сит и др. Труднее просеиваются пластинчатые зерна. С повышением влажности эффективность грохочения вначале уменьшается, а затем снова возрастает. Применяют следующие виды грохочения:
• предварительное, при котором из исходной массы выделяется негабаритный материал, либо материал, не требующий дробления;
• контрольное, применяемое для контроля крупности готового продукта и выделения отходов. Зерна, крупнее заданного размера, возвращаются на повторное дробление;
• окончательное — для разделения продукта на товарные фракции.
Эффективность грохочения резко снижается с уменьшением размера частиц. Для тонкодисперсных продуктов используют методы разделения по фракциям, основанные на различии в скорости падения частиц в воздушной или жидкой средах.
Разделение материалов в газовых средах называют воздушной сепарацией, а в жидких — гидравлической классификацией.
Оптимизация в неконсервативных задачах упругой устойчивости
Воскресенье, сентября 13, 2009В предыдущих параграфах данной главы приведены решения задач оптимального проектирования конструкций, для исследования устойчивости которых применимы статические методы. Однако при проектировании существенно неконсервативных систем анализ устойчивости должен основываться на динамических критериях. Применение динамических подходов делает задачи оптимизации более сложными, и к настоящему времени получено решение сравнительно небольшого числа задач [8.14, 8.38, 8.40, 8.73, 8.79,, 8.80, 8.86, 8.89, 8.100].
Учитывая, что исследования в данном направлении находятся в начальной стадии, ограничимся здесь лишь обсуждением некоторых результатов, полученных в работе [8.59].
Изучение устойчивости линейных систем с распределенными параметрами основывается на исследовании уравнения (8.3) для амплитудной функции,, которое с учетом обозначения X = г со записывается в виде
[С + рК + ХВ + Х2А]и = 0. (8.121)
Собственной частоте X — Хяе + iX]m соответствуют комплексные (правая и левая) собственные функции и я v. Оператор К предполагается несамосопряженным. Динамическая потеря устойчивости (флаттер) реализуется, если хотя бы одна из характеристических кривых системы (8.121) в пространстве Хце, Xim, р пересекает ПЛОСКОСТЬ ^Re = 0 При Н6К0-
торых значениях р = рп, XJm = (Х1т)п.
Задача оптимизации заключается в максимизации критического значения параметра нагрузки рц за счет соответствующего выбора переменной проектирования h при заданном значении массы конструкции. От h зависят операторы системы (8.121).
Анализ чувствительности проводится с использованием представлений об обобщенном решении. Уравнение для амплитудной функции записывается в виде скалярного произведения
(у, [С + рК + ХВ + Х2А]и) = 0, (8.122)
причем предполагается дифференцируемость (8.122) по переменной h* Далее вычисляется вариация уравнения (8.122),, обусловленная варьированием переменной проектирования, т. е. заменой h на h + 8hv где 8h — малая вариация функции h. Учитывая, что варьирование осуществляется при критических значениях параметров, будем иметь
Ы № + РпЬК + 1 Ы/i ЬВ + (К1т)Ь 8А] ип) +
(8.123)
+ (vfl,Kufl) 8рп + (vfh [В + 2i (Xlm)fl А] ип) i (8XIm)fl = 0. Вводя обозначения Ане + ibIm = (vfh [8С + pffiK + i (Xlm)fl8В + (XIm)2t 8А]), КЯе + iKim = (vn, Kun), FRe + iFlm = (vfl, [D + 2i(onA] un\ уравнение в вариациях запишем в более компактном виде: Ане + *AIm + (£Re 4- iKlm) брп + (FRe + iFlm) i (8Xlm)n = 0.
Постановки некоторых задач оптимального проектирования
Воскресенье, сентября 13, 2009Задачи оптимизации устойчивости упругих элементов конструкций относятся к числу классических проблем оптимального проектирования. В проведенных исследованиях этих задач [16, 26, 8.9-8.15, 8.21-8.30, 8.32-8.35, 8.38-8.45, 8.50-8.78, 8.81—8.83, 8.85—8.110] было показано, что при оптимизации достигается значительный эффект, и тем самым была обоснована перспективность дальнейших разработок в этом направлении. Следует заметить, что выполненные исследования и разработанные методы в основном относятся к оптимизации устойчивости упругих консервативных систем, описываемых самосопряженными краевыми задачами. Вопросы же оптимального проектирования неконсервативных систем и, в частности, конструкций, нагруженных следящими силами, изучены в меньшей степени [8.14, 8.38, 8.40, 8.76, 8.79, 8.86, 8.89, 8.110].
Рассмотрим постановку задачи оптимального проектирования тонкостенной конструкции, применяя общий динамический подход. Задача оптимального проектирования, заключается в минимизации функционала веса
/ = J h (х) dQ -> min^ (8.8)
при условии, что р задано, а частоты со, определяемые как собственные значения однородной краевой задачи для уравнения (8.3), удовлетворяют условию
Im со (р) > 0. (8.9)
Взаимная задача заключается в максимизации критического параметра потери устойчивости
7?->maxtefih (8.10)
при условии, что вес задан и все частоты удовлетворяют неравенству (8.9).
Задача минимизации веса при заданных значениях критических сил, а также задача максимизации критической силы потери устойчивости при заданном весе относятся к числу сложных нелинейных задач оптимального проектирования.
Теория этих задач, как и эффективные алгоритмы, существенно использующие специфику задач устойчивости, интенсивно разрабатываются в настоящее время.
При применении статического подхода проблема оптимального проектирования может формулироваться как задача максимизации минимального собственного значения р уравнения (8.5) при ограничении на вес конструкции либо как задача предельного снижения веса при заданном первом собственном значении.
Задачи оптимизации упругой устойчивости могут формулироваться и с использованием метода неидеальностей. В этом случае максимизации подлежит параметр нагрузки р из (8.7), для которого прогибы конструкций, определяемые из решения неоднородной краевой задачи, становятся неограниченно большими. С применением метода неидеальностей может быть рассмотрена также взаимная задача минимизации веса при ограничении на силу потери устойчивости. Построение оптимального решения на основе данного подхода сводится к отысканию переменных состояния и проектирования из условия минимума в зависимости от заданных значений сжимающей силы и величины максимального прогиба ио (| и I щ) и последующем устремлении параметра щ к бесконечности.
Динамические задачи оптимизации балок и оболочек при ограничениях на прогибы
Воскресенье, сентября 13, 2009Широкий круг вопросов, связанных с минимизацией весовых характеристик при жесткостных ограничениях, рассматривается при проектировании конструкций, рассчитываемых на .нестационарные воздействия и, в частности, ударные нагрузки. Особенно детально здесь изучались задачи оптимизации элементов конструкций, совершающих вынужденные гармонические колеба-лия. О тематике исследований по динамическим задачам оптимального проектирования, проводившихся до 1972 г., можно получить представление из обзорной статьи [44]. В последнее время число работ по динамической оптимизации значительно увеличилось, и их можно условно разделить на следующие группы: проектирование конструкций при нестационарных нагрузках; проектирование конструкций, совершающих вынужденные гармонические колебания; проектирования конструкций, совершающих свободные колебания; проектирование неконсервативных упругих систем при ограничениях по устойчивости.
Отметим здесь некоторые работы по оптимальному проектированию конструкций при динамических нагрузках, имеющие непосредственное отношение к результатам, излагаемым в данной главе. К первым публикациям по оптимизации конструкций, подверженных нестационарным динамическим воздействиям, можно отнести работы [7.50, 7.51], в которых рассмотрены задачи минимизации максимального прогиба балок переменного сечения. Теория динамической оптимизации упругих систем с распределенными параметрами разрабатывалась с применением метода анализа чувствительности в [24, 31, 7.47, 7.56—7.59]. Оптимальному проектированию одномерных конструкций при нестационарных нагрузках посвящена работа [7.19]. В работах [7.52, 7.55, 7.66, 7.81, 7.98] рассматриваются задачи динамической оптимизации дискретных систем и для последовательного улучшения функционала качества используется метод параметрической оптимизации. В работах [1.3, 1.4] развивается методика решения динамических задач оптимального проектирования, основанная на теории оптимизации систем с распределенными параметрами. Аналитические решения для некоторых одномерных задач оптимального проектирования упругих элементов конструкций, совершающих вынужденные гармонические колебания, построены в [1.26, 1.34, 7.18]. Для решения задач минимизации максимального прогиба балки, лежащей на упругом основании Винклера — Пастернака и совершающей вынужденные гармонические колебания, в [1.20] применены методы математического программирования. Решение двумерных задач оптимизации упругих пластинок, подверженных действию гармонических нагрузок, содержится в [1.8].
Критерии жесткости и их использование в задачах оптимального проектирования
Суббота, сентября 12, 2009Все реальные конструкции характеризуются той или иной степенью деформативности. При приложении внешних нагрузок и в результате действия сил собственного веса в конструкции могут возникнуть значительные деформации и отдельные ее части получат перемещения, недопустимые для надежного функционирования. Поэтому обеспечение жесткости конструкции является одним из основных вопросов в теории проектирования, а задача снижения веса при ограничении на жесткость относится к основным проблемам оптимизации конструкций. Жесткость конструкций может определяться различными способами. В качестве меры жесткости могут рассматриваться смещения характерных точек конструкции или ее частей, величина работы внешних сил или энергия упругих деформаций, величины деформаций и максимальных прогибов тонкостенных \? конструкций.
Задачам минимизации веса конструкций при ограничениях по жесткости, а также родственным зада-^У+дТ* чам минимиза11ИИ жесткости тел за-V " " данного веса посвящено значительное число публикаций [2, 23, 24]. В этих работах численно и аналитически найдены распределения силового материала для ряда элементов рис. 7.1 конструкций. В особенности это от-
носится к задачам с ограничениями на функцию прогибов и к задачам минимизации максимальных прогибов тонкостенных конструкций, для которых развивались эффективные минимаксные методы [4.3, 7.56—7.59]. Наиболее детально исследованы задачи, для которых в качестве жесткостных критериев принимались интегральные меры [7.2, 7.23, 7.24, 7.29 — 7.32, 7.34, 7.37, 7.38, 7.45, 7.48, 7.63, 7.69, 7.70, 7.87-7.91, 7.99-7.101].
Рассмотрим упругое деформируемое тело, занимающее область fi, ограниченную поверхностью Г = Га + Ги (рис. 7.1). На части границы Ги заданы перемещения и, на части границы Га — нагрузки q:
Ыги = Uu (а,уПу)Го = qt, (7.1)
где Uh qt — заданные функции.
Обозначим через Tv часть границы Га(Г„с:Га), свободную от прикладываемых нагрузок (q = 0).
Задача оптимизации заключается в отыскании формы границы Tv, доставляющей минимум функционалу податливости конструкции
/ = -^-^ qudFG-> min-r^, (7.2)
и такой, что удовлетворяются изопериметрическое условие постоянства объема тела
mes Q = 7
Численное решение задачи оптимизации
Суббота, сентября 12, 2009Численное решение задачи оптимизации может быть получено -с применением метода последовательной оптимизации [2]. При этом должны выполняться вычисления следующих двух типов. Вычисления первого типа должны быть связаны с решением задачи жесткопластического анализа. В результате численного решения этой задачи для тела заданной формы находятся величины ои, yph X, \\. Вычисления второго типа связаны с построением улуч-щающих вариаций формы тела. Соответствующие расчеты ведутся с использованием выведенных формул анализа чувствительности и текущих значений величин ог;-, г}?;, А,, и.. Различные методы вариационного исчисления и математического программирования могут применяться при реализации анализа чувствительности. Заметим, что многие известные методы использовались в рамках алгоритма последовательной оптимизации. При этом градиентные методы оказались наиболее перспективными с практической точки зрения J2, 24, 28, 31].
Подход, основанный на применении алгоритма последовательной оптимизации, был развит для решения задач минимизации веса конструкций из упругопластических материалов при учете ограничений на их несущую способность. Результаты некоторых расчетов представлены на рис. 6.21—6.24 для плоских упругопла стических элементов. Предельное поведение этих элементов описывается двумерными уравнениями равновесия и условием пластичности Мизеса. На рис. 6.21 показан улучшенный в результате оптимизации элемент опоры. При расчетах и графическом изобра жении результатов учитывалась симметрия внешних нагрузок, граничных условий и геометрии элемента относительно оси х. Поэтому только половина элемента показана на рис. 6.21 и также на рис. 6.22. Равномерно распределенные сжимающие нагрузки приложены к части границы CD. Искомая часть границы ВС свободна от прикладываемых нагрузок. Форма контура ВС рассматривается в качестве переменной проектирования и улучшается в процессе итераций. Вдоль линии АВ реализуется контакт между сжимаемым элементом опоры и идеально гладким и абсолютно жестким основанием. Другими словами, предполагается, что на АВ трение отсутствует и перемещения в направлении оси х равны нулю. Результаты проектирования элемента опоры из упругопла-стического материала сравнивались с соответствующими результатами, получаемыми при проектировании абсолютно упругого элемента. С этой целью дополнительно решалась задача упругого проектирования, заключающаяся в минимизации веса элемента при ограничении, наложенном на интенсивность напряжений go ((Jij) ^ 1. Представленное на рис. 6.22 решение было получено при помощи алгоритма упругой оптимизации, предложенного в [3.2, 4.2]. При упругом проектировании все расчеты проводились на основе полной системы уравнений теории упругости для тех же значений геометрических, физических и силовых параметров, что и в задаче пластического проектирования. Сравнение численных результатов, соответствующих упругому и пластическому проектам, показывает, что учет пластического механизма разрушения приводит к дополнительному снижению веса, превышающему 6,6%. При этом заметно сглаживаются поля напряжений. Изолинии равных интенсивностей напряжений показаны на рис. 6.21, 6.22. сплошными линиями.
Оптимальное проектирование с учетом пластических свойств материала
Суббота, сентября 12, 2009В предыдущих параграфах данной главы все рассмотрения велись в предположении об идеально упругом поведении материала вплоть до момента разрушения, определяемого некоторым критерием прочности. Однако для многих реальных конструкций еще задолго до исчерпания ими несущей способности поведение материала становится существенно нелинейным. Учет при проектировании нелинейных характеристик материала позволяет добиться существенного снижения расхода материала (веса конструкции) по сравнению с результатами, получаемыми на основе использования расчетной схемы упругого тела. Однако рассмотрение в современных работах по теории проектирования конструкций адекватных механизмов разрушения приводит к сложным математическим проблемам. Этим по-видимому объясняется, почему в настоящее время разработка теории оптимального проектирования конструкций из не вполне упругих материалов еще далека от завершения. Современные исследования в этой области касаются изучения новых постановок задач, в которых учитываются различные типы нелинейного поведения материала, рассматриваются сложные элементы конструкций (пластинки, оболочки, трехмерные тела), развиваются методы анализа чувствительности и другие эффективные численные методы оптимизации.
Отметим некоторые работы по теории оптимального проектирования, основанные на представлениях об исчерпании конструкцией несущей способности. Задачи минимизации веса при заданных критических нагрузках решались в работах [6.67, 6.68, 6.72, 6.64, 6.77, 6.87-6.89, 6.78, 6.95, 6.100, 6.57-6.60] в рамках предложений об упругопластическом поведении материала. Некоторые задачи оптимального проектирования с учетом ограничений на приспособляемость к переменными, в частности, к циклическим нагрузкам рассмотрены в [6.40, 6.75, 6.82, 6.91, 6.90]. Широкий круг вопросов оптимизации конструкций с учетом пластических свойств материалов обсуждается в [18, 21, 25, 6.15,].
6.56, 6.63, 6.77]. Отметим работы [6.4—6.7, 6.21, 6.94], в которых обсуждается применение критериев равнопрочности.
Рассмотрим равновесие деформируемого тела, занимающего область Q и находящегося под действием объемных сил qt и внешних усилий Тi, приложенных к части поверхности тела Г (I = = 1, 2, 3). На остальной части поверхности тела Ти предполагаются выполненными условия жесткого закрепления (Га + Ги = = Г). Эти условия означают обращение в нуль вектора смещений: (и)г = 0. Материал тела считается упругопластическим. Состояние текучести достигается в некоторой точке тела, если в условии 8 (tfjji к) <^ 0 реализуется знак равенства. Выполнение же строгого неравенства означает, что материал ведет себя упруго. Здесь к — константа пластичности; atj — компоненты тензора напряжений; g — заданная функция. Уравнением g (о*^-, к) = 0 в пространстве напряжений задается семейство выпуклых поверхностей, охватывающих начало координат и отвечающих различным значениям к. Эти поверхности стягиваются к началу координат при к -> 0.
В проводимых далее рассмотрениях предполагается, что для прикладываемых нагрузок в отдельных частях тела возникают области текучести. Само появление зон текучести считается допустимым, однако требуется, чтобы пластические деформации не привели к исчерпанию несущей способности и разрушению тела. Под исчерпанием несущей способности и разрушением понимается неограниченное возрастание деформаций при постоянных нагрузках [6.23]. В дальнейшем всюду предполагается, что деформации тела вплоть до разрушения малы.
Методы проектирования, использующие разбиения на подконструкции
Суббота, сентября 12, 2009При проведении расчетов сложных конструкций в современной практике широко применяются методы, использующие разбиение рассматриваемой конструкции на более мелкие подконструкции. На идеях декомпозиции конструкции основываются и многие методы оптимального проектирования. Декомпозиция предполагает наряду с разбиением конструкции на подконструкции разделение всех узлов на граничные и внутренние и соответствующее структурирование матрицы жесткости. По определению, граничными называются узлы, относящиеся одновременно к нескольким подконструкциям. В дальнейшем величины, относящиеся к граничным и внутренним узлам, отмечаются соответственно нижними индексами В и I. Так, перемещения граничных и внутренних узлов будем обозначать через ив, и/.
Пусть проектируемая конструкция условно разделена на е под-конструкций и из компонент вектора и, описывающего перемещения всех узлов, составлены векторы ив, Щ. Задача оптимизации заключается в отыскании вектора переменных проектирования k и соответствующих векторов ив, и/, минимизирующих функцию качества
J = J (ив, uj, fe), (5.61) и таких, что удовлетворяются уравнения равновесия
[Lbb Lbi Lib Ln _ и условия
$i (ив, ии К) < 0, j = 1,2,.. .л кл (5.63)
Элементы подматриц Lbb, Lbi, Lib, Lu и векторов qs, qi будут рассматриваться как функции переменных проектирования.
Для задачи (5.61)—(5.62) проведем анализ чувствительности, основанный на вычислении производных функции качества и функций, задающих ограничения, по переменным проектирования [5.12].
Производные, фигурирующие в (5.64), вычисляются для заданных (невозмущенных) значений h, ив, и\. Вариации Ыь соответствуют вариации бив, 8щ, удовлетворяющие уравнениям
Lbb$ub + LbiSui = XiSfe, (5.65)
Ь1ВЬив'+ Lnbui = Хг^Л» (5.66)
где
dqB 0 q
ll = -dh~~lk (l*b"b) — w(lbiui)<
dqj о 0
^2 = "dh Ж (LibWb) — Ж
Соотношения (5.65), (5.66), задающие линейную связь между величинами див, би/ и б/г, получаются при помощи разложений уравнений (5.62) по 8ив, бг/i, 8h и удержания членов первого порядка малости.
Выражая бг/j из уравнения (5.66) и подставляя результат в (5.65), получим
LB8uB = %8h, LB = ЬВв + LBiQ,
т 1 (5.67)
X = X1 + QTTLv Q = -L-I]LIB.
Подставляя, кроме того, полученное выражение для Ьщ в (5.64), будем иметь
«-(ж«*«.)•*++
Далее определяются векторы сопряженных переменных Я0, tf, I**:
(5.69)
0uB ^ duj ' ™ див 1 x dttj
Определение сопряженных переменных из решения алгебраических задач (5*69) и учет симметричности цодматрицы Ьц и граничной матрицы жесткости LB (Ьц = L/i, LB = Ьв) позволяет в (5.68) исключить слагаемые с множителем 8ив и получить основные соотношения анализа чувствительности, связывающие непосредственно б/, бг|),- с б/i, в виде
б/ = [V*/F6fc, (5.70)
Анализ чувствительности второго порядка
Суббота, сентября 12, 2009Разработанные методы анализа чувствительности основаны на различных схемах вычисления градиентов критериев качества и функций ограничений по отношению к переменным проектирования. Использование формул анализа чувствительности и выражений для градиентов основных характеристик позволяет развить высокоэффективные методы последовательной оптимизации и тем самым существенно ускорить поиск оптимальных проектов. Дополнительное ускорение процесса отыскания оптимального решения может быть достигнуто при наличии эффективных способов оценки производных второго порядка (производные рассматриваемых характеристик по переменным проектирования). Ниже, следуя работе [5.19], изложим некоторые приемы получения указанных производных.
Пусть поведение конструкции описывается системой линейных алгебраических уравнений
где и и q (h) — соответственно /тг-мерные векторы перемещений и нагрузок; h — вектор переменных проектирования размерности п; L — симметричная матрица размерности m x m. Коэффициенты матрицы L (h) дважды дифференцируемы по компонентам вектора проектирования. Для упрощения рассмотрений ограничимся получением выражений производных функций ограничений по двум фиксированным компонентам ht, hj вектора h. Поэтому в приводимых соотношениях будем отмечать только зависимость от ht, hj. Ограничение на поведение конструкции запишем в виде
\[ (и, hh hj) < 0. (5.52)
Дифференцируя выражение, записанное в левой части неравенства (5.52), по hi4 получим
г г г
где компоненты вектора ZT определяются по формулам Zs — dtyl ldus (s — 1, 2,. . ., m). Применяя далее операцию дифференцирования по ht к уравнению (5.51), получим
III
Разрешая уравнение (5.54) относительно dufdhi и подставляя результат в (5.53), приходим к следующему выражению для производной функции ограничений по переменной проектирования:
&--2- + *М-Й:--лН- (5'55)
г г L г i J
Верхний индекс —1 означает обращение матрицы.
Введем в рассмотрение га-мерный вектор сопряженных переменных Я, определив его как решение следующей системы алгебраических уравнений:
LX = Z. (5.56)
На основе использования (5.55), (5.56) с учетом симметрии матрицы L получим формулу анализа чувствительности первого порядка
г г L i г J
Подхбд к вычислению производных, использующий введение сопряженного вектора Я, требует решения системы уравнений (5.56) для каждого рассматриваемого ограничения на поведение конструкции. Непосредственное же вычисление производных на основе соотношений (5.54), (5.55) приводит к необходимости решения системы уравнений (5.54) для каждой переменной проектирования. Поэтому подход, использующий введение сопряженных переменных, имеет преимущества, когда число переменных проектирования превышает число ограничений на поведение конструкции.