Классификация — разделение твердых зернистых материалов на фракции ( классы ) по крупности кусков и зерен. Эта операция, с одной стороны, снижает расход энергии на измельчение, а с другой, позволяет получить продукт заданной дисперсности, не содержащий некондиционных фракций. Особенно велика значимость классификации в керамической технологии, где многие изделия получают на основе многофракционных сырьевых смесей со строго определенным соотношением размеров зерен.
Существует два основных вида классификации: механическая (разделение на ситах ) и гидравлическая, основанная на различной скорости осаждения зерен разной крупности в водной или воздушной средах.
Процесс разделения сыпучих материалов на классы по крупности путем просеивания через сита называется грохочением. Грохочение производится на грохотах, рабочий элемент которых — колосниковая решетка, состоящая из отдельных колосников, листовая штампованная решетка (при отверстиях более 3 мм) либо проволочное сито (отверстия менее 3 мм). Материал, подлежащий классификации, перемещается по поверхности решета. Если необходимо получить несколько фракций материала, он последовательно пропускается через набор сит.
При рассеве на каждом сите образуются два продукта: верхний (не прошедший через сито) и нижний (прошедший через сито).
Существует три основных схемы рассева: 1) с последовательным выделением фракций от крупных к мелким; 2) то же, от мелких к крупным; 3) комбинированный. При использовании первой схемы крупность кусков уменьшается и, следовательно, уменьшается износ полотен сит, повышается точность рассева. Однако удаление мелких фракций на последних ступенях рассева значительно увеличивает пыление. Применение второй схемы исключает этот недостаток, но увеличивает износ полотен и понижает точность рассева.
Грохочение достаточно крупных зерен применяется при подготовке фракционированного известняка для обжига в шахтных печах, а также при многостадийном дроблении твердых материалов для отделения кондиционных фракций. Грохочение на проволочных ситах широко используется в стекольной технологии и на керамических заводах.
Сита могут быть вращающимися (барабанными или призматическими), плоскими качающимися и вибрационными. На стекольных заводах часто применяют для одновременной сушки и классификации песка барабанный многогранный грохот (сито-бурат). Такой грохот представляет собой призму, грани которой являются металлическими сетками. Песок подается внутрь вращающегося бурата и просеивается через сетки. Не прошедшие через сетки зерна удаляются с другого конца бурата.
На эффективность рассева влияют влажность материала, угол наклона сит к горизонту, толщина слоя материала, лежащего на сите, форма и расположение отверстий, амплитуда колебаний сит и др. Труднее просеиваются пластинчатые зерна. С повышением влажности эффективность грохочения вначале уменьшается, а затем снова возрастает. Применяют следующие виды грохочения:
• предварительное, при котором из исходной массы выделяется негабаритный материал, либо материал, не требующий дробления;
• контрольное, применяемое для контроля крупности готового продукта и выделения отходов. Зерна, крупнее заданного размера, возвращаются на повторное дробление;
• окончательное — для разделения продукта на товарные фракции.
Эффективность грохочения резко снижается с уменьшением размера частиц. Для тонкодисперсных продуктов используют методы разделения по фракциям, основанные на различии в скорости падения частиц в воздушной или жидкой средах.
Разделение материалов в газовых средах называют воздушной сепарацией, а в жидких — гидравлической классификацией.
Posts Tagged ‘метод’
Классификация измельченных материалов
Суббота, сентября 19, 2009Измельчение материалов
Суббота, сентября 19, 2009Важнейшим технологическим переделом подготовки минерального сырья, позволяющим перевести его в химически активное состояние и подготовить к химическому взаимодействию при дальнейшей тепловой обработке, является измельчение. Конечная цель этой операции — получение тонкодисперсного однородного по составу материала или гомогенной смеси разнородных материалов.
Эффективность измельчения характеризуют степенью измельчения (/), которая представляет собой отношение диаметра самых крупных кусков, поступающих на измельчение (D), к диаметру самых крупных кусков, прошедших измельчение (d): i — D/d. В зависимости от типа измельчителя и свойств измельчаемого материала степень измельчения может меняться от 2—5 до 50—100 и более. Выбор схемы измельчения определяется свойствами материала. В большинстве случаев измельчение производится в два этапа: грубое (дробление) и тонкое (помол). Каждый из этих этапов может реализовываться в несколько стадий.
Измельчение — это разрушение твердого тела под действием внешней механической нагрузки. Оно может производиться несколькими методами — раздавливанием, раскалыванием, ударом, изломом и истиранием (рис. 2.3).
Раздавливание материала наступает после перехода напряжений за предел прочности на сжатие. Раскалывание кусков происходит в результате их расклинивания и последующего разрыва вследствие возникновения в них напряжений растяжения. Ударное измельчение — результат действия динамических нагрузок с возникновением в материале сжимающих, растягивающих, изгибающих и сдвиговых напряжений. Излом куска происходит в результате его изгиба. При истирании внешние слои куска подвергаются деформации сдвига и постепенно срезаются скользящими рабочими поверхностями измельчителя вследствие перехода касательных напряжений за предел прочности. В зависимости от физико-механических свойств материалов выбирают следующие способы измельчения.
При любом виде деформаций процесс разрушения можно представить следующим образом. Внешние механические силы вызывают в материале накопление внутренней энергии упругих деформаций. Напряжение в куске возрастает до тех пор, пока в каком-либо месте вследствие концентрации напряжений, вызванных местными дефектами, они не превысят предела прочности. При этом начинается развитие трещины, сопровождающееся перераспределением энергии упругих деформаций, часть которых превращается в поверхностную энергию вновь образованных поверхностей. Последняя и является полезной энергией измельчения. Остальная энергия расходуется главным образом на упругие деформации сжатия и рассеивается в виде теплоты и других видов энергии.
Полная работа внешних сил при измельчении выражается уравнением П.А. Ребиндера
W= Wg + Wn = к-AV + а • AS,
где W — работа упругого деформирования объема разрушаемого куска; W — работа образования новых поверхностей; AV— изменение объема разрушаемого куска; AS— величина вновь образованной поверхности; км а — коэффициенты.
При больших размерах тела можно пренебречь работой образования поверхности и тогда уравнение,упрощается: W= к- AV, или W= кх • сР. Эти уравнения могут использоваться для анализа работы дробления как первого этапа измельчения до сравнительно крупных размеров кусков материала, на котором работа разрушения определяется работой упругого деформирования.
При малых размерах можно пренебречь работой упругого деформирования куска. Уравнение приобретает вид: Wn = ст • AS = = к2а • d2. Это уравнение может быть использовано для анализа тонкого измельчения.
На первой стадии сопротивляемость размолу определяется в основном пористостью материала, на второй — микроструктурой и минералогическим составом вещества (разрушение кристаллов). На третьей стадии сопротивляемость размолу увеличивается с ростом удельной поверхности и в дальнейшем подчиняется экспоненциальному закону вследствие агрегирования тонких частиц и их налипания на рабочие поверхности.
Образующиеся при измельчении частицы — сложные пространственные электрические системы, которые взаимодействуют с внешней средой. Образование новой поверхности обычно сопровождается появлением электрических зарядов, знак и величина которых зависят от природы измельчаемого вещества и размера частицы. По мере измельчения энергетические потенциалы частиц настолько возрастают, что происходит их самопроизвольное агрегирование с уменьшением удельной поверхности и увеличением комковатости и неоднородности продукта. В результате на третьей стадии измельчения большая часть энергии затрачивается не на измельчение исходного материала, а на разрушение вновь образованных агломератов.
Добыча и транспортировка сырья
Суббота, сентября 19, 2009Все операции, связанные с извлечением (добычей) полезных ископаемых из недр земли, называются горными работами. Они производятся открытым или подземным способом. Открытый способ предусматривает добычу непосредственно с земной поверхности, при этом часто приходится предварительно снимать слои пустых пород (вскрышу). Удаляют вскрышные породы экскаваторами, иногда скреперами. По объему перемещаемых масс вскрышные работы составляют одну из основных расходных статей карьерного хозяйства. Подземный способ используют, когда полезное ископаемое находится под большим слоем пустой породы, при этом добыча ведется без съема последней в шахтах (шахтный способ).
В силикатной технологии сырье, как правило, добывают открытым способом. Открытая выработка горных пород со всеми устройствами и приспособлениями называется карьером. Выбор способа ведения горных работ и подбор необходимых машин зависят от степени его добываемости, которая определяется твердостью, хрупкостью и вязкостью породы.
Стекольные заводы своих карьеров не имеют и работают на привозном сырье. Керамические заводы, как правило, располагаются возле карьеров глин. Наиболее мощные карьеры — у цементных заводов. Это предприятия современного типа, оснащенные необходимой техникой для механизации основных операций по добыче и переработке сырья.
Карьеры сырья разрабатывают при открытом способе одним или несколькими уступами. Высоту уступа задают, исходя из физико-механических свойств разрабатываемых пород и применяемого оборудования. Она составляет для твердых пород 10—20, а для мягких — 8—10 м.
Твердые породы (известняк, мрамор) добывают с помощью буровзрывных работ. Скважины для заряда взрывчатки располагают в шахматном порядке в 1—3 ряда по глубине при расстоянии между ними 3—10 м. Бурение скважин осуществляют буровыми машинами ударно-канатного или вращательного бурения. Разрабатываемую породу грузят на транспортные средства экскаваторами.
Добычу мягких пород (мел, глина и др.) производят экскаваторами, которые выполняют сразу две функции — отделение породы от пласта и погрузку готового сырья. На керамических и цементных заводах используют либо одноковшовые, либо многоковшовые (роторные) экскаваторы. Использование последних наиболее целесообразно при добыче глины вследствие того, что они одновременно усредняют сырье, так как снимают его тонкой стружкой по всей толщине уступа.
Для добычи мела используют мощные роторные экскаваторы производительностью около 1000 м3/ч. Они могут работать в комплексе с самоходным агрегатом для приготовления сырьевой суспензии и ее гидротранспортировки. Передвижной комплекс имеет производительность до 700—800 т/Ч, что обеспечивает непрерывность технологического процесса в забое и создает предпосылки для внедрения автоматического управления с выполнением производственных процессов без постоянного присутствия рабочих.
Организация добычи мягких пород зависит от климатических условий, так как при низких зимних температурах иногда приходится и при добыче глины применять взрывной метод. Карьеры керамических заводов могут на зиму утепляться. Вскрышные работы всегда проводят только в теплое время года с опережением по производительности на 6—8 месяцев.
Для доставки сырья на завод используют автомобильный и железнодорожный транспорт, воздушно-канатные дороги, ленточные транспортеры, гидротранспорт, а при больших объемах перевозок — железнодорожный транспорт. Применение большегрузных составов обеспечивает наименьший расход рабочей силы на 1 м3 перевозимых материалов, а также наиболее низкий относительный расход электроэнергии при электровозной тяге. Автомобильный транспорт целесообразно применять для перевозки материалов при сложном рельефе поверхности, малых объемах перевозок, а также при небольших (до 8 км) расстояниях, когда удорожание стоимости перевозок незначительно. Мягкие, рыхлые и мелкокусковые породы можно доставлять на завод при расстоянии 1—6 км в благоприятных климатических условиях ленточными транспортерами. Воздушно-канатные транспортеры применяют для транспортирования сырья по сильно пересеченной местности.
Численное решение задачи проектирования колонны сжатой следящей силой
Воскресенье, сентября 13, 2009Рассмотрим в качестве примера численное решение задачи проектирования колонны сжатой следящей силой величины р (рис. 8.14). Уравнение для амплитудной функции прогибов колонны в случае ее малых колебаний имеет вид
(Е1ихх)хх + рихх + Ь| (EIuxx)xx + \*ти = 0„ (8.126)
где EI — изгибная жесткость; rj — коэффициент вязкости; т — погонная масса.
В уравнении (8.126) внутреннее демпфирование введено в соответствии с законом Кельвина—Фойхта. В рассматриваемом случае соотношение (8.122) запишется следующим образом:
i
J (v*xEIuxx + v*puxx + 'Щи*ххЕ1ихх + X2v*mu) dx = 0. (8.127) о
Звездочка у переменной и в (8.127) означает комплексное сопряжение. Наилучшее распределение материала, т. е. распределение массы т (я), разыскивалось для колонны единичной длины 1 — 1 при коэффициенте вязкости г) = 0,01,, причем считалось, что EI = га2. Улучшающие итерации строились по методу проектирования градиентов с учетом постоянства общей массы колонны. В качестве исходного начального приближения бралось постоянное распределение масс по длине колонны (га (х) == 1). Численные результаты, относящиеся к начальному приближению и к улучшенной (после проведения 18 итераций) колонне, показаны соответственно на рис. 8.15, 8.16. Распределение масс для спроектированной колонны представлено на рис. 8.17. Для показанного проекта величина силы потери устойчивости возрастает более чем на 250% по сравнению с исходной колонной постоянной толщины.
Оптимизация в неконсервативных задачах упругой устойчивости
Воскресенье, сентября 13, 2009В предыдущих параграфах данной главы приведены решения задач оптимального проектирования конструкций, для исследования устойчивости которых применимы статические методы. Однако при проектировании существенно неконсервативных систем анализ устойчивости должен основываться на динамических критериях. Применение динамических подходов делает задачи оптимизации более сложными, и к настоящему времени получено решение сравнительно небольшого числа задач [8.14, 8.38, 8.40, 8.73, 8.79,, 8.80, 8.86, 8.89, 8.100].
Учитывая, что исследования в данном направлении находятся в начальной стадии, ограничимся здесь лишь обсуждением некоторых результатов, полученных в работе [8.59].
Изучение устойчивости линейных систем с распределенными параметрами основывается на исследовании уравнения (8.3) для амплитудной функции,, которое с учетом обозначения X = г со записывается в виде
[С + рК + ХВ + Х2А]и = 0. (8.121)
Собственной частоте X — Хяе + iX]m соответствуют комплексные (правая и левая) собственные функции и я v. Оператор К предполагается несамосопряженным. Динамическая потеря устойчивости (флаттер) реализуется, если хотя бы одна из характеристических кривых системы (8.121) в пространстве Хце, Xim, р пересекает ПЛОСКОСТЬ ^Re = 0 При Н6К0-
торых значениях р = рп, XJm = (Х1т)п.
Задача оптимизации заключается в максимизации критического значения параметра нагрузки рц за счет соответствующего выбора переменной проектирования h при заданном значении массы конструкции. От h зависят операторы системы (8.121).
Анализ чувствительности проводится с использованием представлений об обобщенном решении. Уравнение для амплитудной функции записывается в виде скалярного произведения
(у, [С + рК + ХВ + Х2А]и) = 0, (8.122)
причем предполагается дифференцируемость (8.122) по переменной h* Далее вычисляется вариация уравнения (8.122),, обусловленная варьированием переменной проектирования, т. е. заменой h на h + 8hv где 8h — малая вариация функции h. Учитывая, что варьирование осуществляется при критических значениях параметров, будем иметь
Ы № + РпЬК + 1 Ы/i ЬВ + (К1т)Ь 8А] ип) +
(8.123)
+ (vfl,Kufl) 8рп + (vfh [В + 2i (Xlm)fl А] ип) i (8XIm)fl = 0. Вводя обозначения Ане + ibIm = (vfh [8С + pffiK + i (Xlm)fl8В + (XIm)2t 8А]), КЯе + iKim = (vn, Kun), FRe + iFlm = (vfl, [D + 2i(onA] un\ уравнение в вариациях запишем в более компактном виде: Ане + *AIm + (?Re 4- iKlm) брп + (FRe + iFlm) i (8Xlm)n = 0.
Метод Ритца—Галеркина
Воскресенье, сентября 13, 2009Приближенное решение задачи устойчивости оболочки находилось в [8.29] методом Ритца—Галеркина с использованием тензорного произведения кубических сплавов и тригонометрических полиномов. В результате получено, что критическое усилие рх= = 4„3»10tt Н/м. Потеря устойчивости по окружной координате происходит с образованием трех волн.
Далее для рассматриваемой оболочки была решена задача максимизации критической нагрузки. Толщина оболочки отыскивалась в классе кусочно-линейных непрерывных функций, зависящих от осевой координаты (h = h (я)), симметричных относительно середины оболочки с количеством параметров оптимизации N = = 20 при ограничениях /amin = 0,02 м, Лтах = 0,08 м. Задача нелинейного программирования методом штрафных функций сводилась к следующей последовательности задач безусловной минимизации функций:
20
F* (А) = - pi (h) + C$V (h) + С? 2 (h),
j=l
V(k):
0, P
(P-V(h))\ р<У(Л),
П
[(hj — Amin)2, hj < Amin,
где hj — значения толщины оболочки в узлах по осевой координате
z; Ср\ — коэффициенты штрафа,, для которых с$\ $ > 0
cf < № < <#+1>-(i = 0, 1, ...); оо при ^ оо.
Последние решались методом покоординатного спуска в сечении с одномерным поиском по Фибоначчи.
На рис. 8.12 сплошной линией изображено оптимальное распределение толщины оболочки, вес которой равен весу оболочки с постоянным распределением толщин, показанным штриховой линией. Критические нагрузки при оптимизации повышаются примерно в 2 раза. Приведенное распределение показывает, что материал оптимальной оболочки концентрируется вблизи жестко защемленных торцов и в центральной части в виде «трех симметрично расположенных шпангоутов».
На рис. 8.13 показаны зависимости критической нагрузки рх от количества волн п по окружной координате т> для оболочки постоянной (кривая 1) и переменной (кривая 2) толщины. Минимальное значение рг достигается при п = 3, 7, 8, 9, 10. В этом случае имеется одна общая форма потери устойчивости и одиннадцать местных. Общая происходит с образованием трех волн по окружной координате, по две местные при п = 7; п = 10, четыре при п = 8 и три при п = 9. Местной формой потери устойчивости на зывается
такая форма, для которой существует подобласть Qx G: Йя где и = 0.
Приведенные результаты работы [8.29] согласуются с результатами, которые получены при оптимальном проектировании подкрепленных шпангоутами цилиндрических оболочек постоянной толщины,, работающих в условиях равномерного внешнего давления, когда оптимальная подкрепленная оболочка является «равно-устойчивой по двум формам потери устойчивости — местной и общей» [8.19].
Из представленных в [8.29] данных следует, что при решении рассмотренной задачи оптимизации оболочки кратность первого собственного значения повышается и оболочка становится чувствительной к большему числу форм потери устойчивости по мере приближения к оптимальному решению. В свою очередь это может привести к тому, что оптимальная оболочка станет более чувствительной к внешним несовершенствам.
Итерационный метод
Воскресенье, сентября 13, 2009Решение прямых задач по определению функций у (х), z (х) и критических моментов М основывается в [8.12] на применении итерационного метода. Для удобства вводится комплексная функция w (х) = у (х) + iz (х) и соотношения итерационного процесса решения краевой задачи на собственные значения (8.85) записываются следующим образом:
(a (x)wxx)xx + Pwxx = — iw°xxx,
wj (0) = wl (0) = W* (I) = wjx (I) = 0, (Й*ЙУ)
где i — мнимая единица; / — номер итерации (/ = 1, 2, 3, . . .). Для подсчета функционала используется следующая формула: i
ReJ(a (х) wxxwxl-Pwxwx*) dx
Mj (S) = °- } . (8.90)
0
Соотношения (8.89) после двойного интегрирования записы-
ваются в виде
a (x)wjxx + Pwj = - iwi"1 + Схх + С2. (8.91)
Через d, С2 в (8.91) обозначены произвольные комплексные постоянные. Далее вводятся функции w1 (х), w2 (х), w3 (х), удовлетворяющие граничным условиям Wi(0) = wt(l) = 0 (i = 1т 2, 3) и являющиеся решениями дифференциального уравнения (8.91), правая часть которого заменена соответственно на —х, 1. С использованием свойства линейности дифференциального уравнения (8.91), его общее решение представляется в виде линейной комбинации
wj (х) = w{ (х) + СМ (х) + C2wl (х). (8.92)
Фигурирующие в (8,91), (8.92) неизвестные константы Сц Сг определяются из условий wx(0) = wx(l) = 0. В силу определения функций w\ (х) и констант Сх, С2 функция w* (х) является решением краевой задачи (8.89). Таким образом, отыскание решения краевой задачи на собственные значения (8.89) с использованием описанного приема сводится к решению трех вспомогательных краевых задач более низкого порядка (для функций w\ (х)), решение которых эффективно находится методом прогонки. & Полученные в результате расчетов (в безразмерных переменных) распределения площадей S (х) представлены на рис. 8.9. Ввиду
имеющейся симметрии относительно середины стержня (т. х = = 1/2) все распределения показаны при 0 <^ х <^ 1/2. На графиках кривые 1,2,3 соответствуют случаям Р = 0; 15,8; 31,6. Найденные решения показывают, что для оптимального жестко защемленного стержня основная масса материала концентрируется в средней его части и на краях, причем с увеличением Р этот эффект становится более заметным. Зависимость критического момента от значений параметра Р для оптимальных стержней оказывается практически линейной. Для рассчитанных вариантов эффект от оптимизации, оцениваемый по формуле ((Л/* — М0)/М0)-100%, при увеличении Р меняется от 3,7 до 28%.
Проектирование в случае совместного сжатия и кручения упругих стержней
Воскресенье, сентября 13, 2009Пусть теперь прямолинейный упругий стержень защемлен в точках х = 0 и х = I прямоугольной системы координат xyz и к его концам приложены скручивающие моменты М и сжимающие силы величины Р. Предполагая, что стержень обладает одинаковыми жесткостями на изгиб в различных плоскостях (Е1у = = Е12 = а), представим зависимость жесткости а от величины площади поперечного сечения S в виде а (х) = kS2{x), где константа к определяется видом поперечного сечения. При исследовании устойчивости стержня и вычислении критических величин скручивающих моментов учтем консервативность рассматриваемой задачи и применим статический метод Эйлера [8.17, 8.48]. Уравнения равновесия и граничные условия для скрученного сжатого стержня имеют вид
(azxx)xx — Р%хх My уху,
(аухх)хх = - Рухх + Mzxxx, (8.85) У(0) =ух{0) =г(0) = zx(0) =0, У (I) = УХ(1) = z (I) = zx(l) =0.
Выполняя сложение левых и правых частей уравнений (8.85) и интегрирование в пределах от х = 0 до х = Z, получим выражение для величины критического момента потери устойчивости
}(«(*) (йх+4>+
М=-^ j (8.86)
о
при заданном значении сжимающей нагрузки.
Задача оптимизации заключается в отыскании распределения площадей поперечных сечений, доставляющего максимум величине (8.86) критического момента потери устойчивости и такого, что удовлетворяется ограничение на объем материала и допустимые значения толщин стержня i
[s{x)&x = V. (8.87) о
Задача (8.85)—(8.87), как и задачи, рассмотренные в данной главе, относится к классу самосопряженных задач оптимизации и не требует введения сопряженных переменных.
Решение задачи находилось в [8.12] численно с применением алгоритма последовательной оптимизации. Выражение для улучшающей вариации 8S, получаемое по методу проектирования градиентов, имеет вид
i
8S = тл|), г|> = Л-4-$Ла*,
ч ° (8.88)
Л = (Uxx + zlx), Т =\ (У**** ~ У*2™) d*'
О
где т > 0 — заданная константа. Соотношения (8.88) обеспечивают положительность вариации ЬМ и выполнение проварьирован-ного условия (8.87).
Устойчивость и проектирование скручиваемых стержней
Воскресенье, сентября 13, 2009Пусть прямолинейный упругий стержень длины I расположен вдоль оси х прямоугольной системы координат xyz, защемлен в точках х = 0, х = I и скручивается под действием момента М, приложенного к концу стержня (рис. 8.6).
Предполагается, что стержень обладает одинаковыми жесткос-тями на изгиб в различных плоскостях, поэтому EIy = EIZ = а, где Е — модуль Юнга материала; 1у, 1у — моменты инерции поперечного сечения относительно осей, проходящих через нейтральную линию стержня и параллельных осям г/, z. При исследовании устойчивости стержня и вычислении критических величин скручивающих моментов применяется статический метод Эйлера. Обозначим через у = у (х), z = z (х) функции, определяющие положение осевой линии искривленного стержня, и запишем соответствующие уравнения равновесия и граничные условия
(ау*х)хх = Mzxxx, (azxx)xx = - Муххх, р™. 8.6
(8.72)
У (0) = Ух (0) = z (0) = zx (0) = 0, у (I) = ух (I) =z(l)= zx (I) =0.
Заметим, что использованные уравнения (8.72) справедливы при предположении малости деформаций. Функции у (х) = z (х) = = 0, описывающие неискривленное положение осевой линии, удовлетворяют уравнениям и граничным условиям (8.72) при любых значениях М. Согласно концепции Эйлера величина критической нагрузки и форма потери устойчивости определяются как минимальное собственное значение и соответствующие ему собственные функции у (х) ф0, z (х) ф 0 краевой задачи (8.72).
Для частного случая постоянного распределения жесткостей а = const определения величины момента потери устойчивости сводится, как известно [8.17], к отысканию минимального положительного корня уравнения tg (М1/2а) = М1/2а. Величина критического момента равна ±8,988 а/1. Получим, следуя работе [8.11], аналог этого уравнения для общего случая, когда распределение жесткостей а — произвольная функция переменной х. Для этого выполним двукратное интегрирование системы уравнений (8.72). Умножим втрое из проинтегрированных уравнений на i (i — мнимая единица) и сложим почленно эти уравнения. Полученное равенство и граничные условия после введения комплексной функции w (х) — у (х) + iz (х) примут вид
awxx = — iMwx + cxx + с2, (8.73)
10 Н. В. Баничук
273
где сг, с2 — комплексные постоянные интегрирования. Интегрируя линейное дифференциальное уравнение (8.73) дважды и удовлетворяя приведенным граничным условиям, получим
х t
w=^ е-ш
и соотношения, которым подчинены константы
l L
d [ —eiM
о о
(8.75)
1 Х 1 Х «Ж /44
С С* f Г» (* ИМф(*)
Cl ^ e-irnw \^ егм<м) ^ dx + c2 } e~iM<»W J ^jy- * = 0.
Оптимизация устойчивости упругих стержней при тепловых нагрузках
Воскресенье, сентября 13, 2009Рассмотрим задачу об устойчивости прямолинейной формы равновесия нагретого стержня. Предположим, что стержень переменной толщины расположен вдоль оси х и шарнирно закреплен в точках х = 0 и х = I. В исходном ненагретом состоянии длина стержня равна I. Поэтому до нагрева осевые напряжения в стержне отсутствуют. Обозначим через Ф приращение температуры при нагреве стержня. Так как положение концов стержня на оси х фиксировано, то в точках крепления при нагреве будут действовать сжимающие реакции р, предотвращающие тепловое расширение стержня. Величина реакции р связана с приращением температуры ft соотношением i
Р = Р*Я/($-§^\ (8.55)
0
где р, Е — соответственно коэффициент линейного расширения и модуль Юнга материала стержня, а через S = S (х) обозначено распределение площадей поперечных сечений.
С увеличением температуры ft увеличивается сила сжатия р и при некоторой критической величине т> сжимающая нагрузка достигает значения, при котором теряется устойчивость прямолинейной формы равновесия и происходит изгиб стержня. Согласно методу Эйлера величина критической силы р определяется как минимальное собственное однородной краевой задачи
EIuxx + pu = 0, (8.56) u (0) = u (I) = 0. [(8.57)
Как и в предыдущих параграфах, здесь рассматриваются стержни, для которых зависимость момента инерции / от площади поперечного сечения может быть представлена в виде EI = AaSa, а = 1, 2, 3. Для заданного типа поперечного сечения и при фиксированном распределении S = S (х) на основе решения краевой задачи (8.56), (8.57) и использования соотношения (8.55) может быть найдена величина критической температуры д, при которой теряется устойчивость, и соответствующее распределение прогибов.
От распределения площадей поперечных сечений (толщин) S (х) зависит величина реакции р (см. (8.55)) и изгибная жесткость. Варьирование распределения S (х) влечет изменение указанных характеристик и тем самым приводит к изменению величины критической температуры. В связи с этим представляет интерес задача максимизации критической температуры за счет отыскания наилучшего распределения толщин. Приведем точную формулировку задачи оптимизации [8.2].