Большинство задач теории оптимального проектирования конструкций, в частности задачи, обсуждавшиеся в предыдущих параграфах, рассматривались в рамках детерминированного подхода, т. е. предполагались полностью известными вид прикладываемых к телу нагрузок, свойства материалов, из которых изготовлена конструкция, граничные условия. Для решения этих задач применимы методы вариационного исчисления и методы оптимизации систем с распределенными параметрами. Принципиально отличными по постановке и методам исследования оказываются задачи проектирования оптимальных конструкций при неполной информации. Обсуждая здесь различные подходы к задачам оптимизации с неполной информацией и их специфику, для определенности будем иметь в виду задачу отыскания форм упругих тел, обладающих минимальным весом и удовлетворяющих заданным ограничениям на прочность и жесткость. Формулировка и решение оптимизационных задач на основе детерминированного подхода приводит к оптимальным формам, которые, как правило, обладают тем свойством, что даже при незначительных изменениях внешних условий (например, при изменении положения точки приложения силы) конструкция данной формы уже не будет удовлетворять прочностным и геометрическим ограничениям. А так как в ряде случаев либо не имеется полной информации относительно прикладываемых нагрузок, либо известно, что на конструкцию последовательно могут действовать различные силы, то наряду с детерминированными постановками представляет интерес рассмотрение более общих задач оптимизации конструкций, в которых оптимизация проводится в расчете на целые классы сил.
Posts Tagged ‘материал’
Проектирование при неполной информации.
Пятница, июля 30, 2010Двойственные задачи оптимизации
Воскресенье, июля 4, 2010Преобразования двойственности и изучение двойственных задач приобретают значение в теории оптимального проектирования. Рассмотрение двойственных задач позволяет предложить методы построения оценок величины глобального экстремума и оценить предельные возможности оптимизации. В ряде случаев удается определить проекты, для которых значения функционала качества близки, а иногда и равны величине глобального экстремума. Следуя работе [2.10], дальнейшие рассмотрения проведем применительно к задаче оптимизации тонких пластин, совершающих свободные колебания. Заметим, что в [2.10] методы теории двойственной оптимизации применяются также к задачам оптимизации для трехмерной упругой среды (задаче минимизации массы материала при ограничениях на напряжения и задаче минимизации энергии упругой деформации при ограничениях на массу материала).
Пусть срединная поверхность пластинки занимает область Q с контуром Г в плоскости я, у. Для определения основной частоты со и собственной функции свободных колебаний имеем следующие соотношения:
h dQ = hm mes Q, hm\n
0 <^ ^min "\ hm
По определению двойственной к исходной называется задача [2.12] отыскания /ц, w%, таких, что
J w*) = inf sup J (h, w). (2.67)
wtEV ЛеЯ
Очевидно, что справедливо неравенство
sup inf / (h, w) <; inf sup J (h, w), (2.68)
Лея гиеУ w^V heH
которое может быть использовано для построения оценки сверху величины супремума в задаче (2.66). Обозначим
J0 = sup / (h, Wo), (2.69) лея
где Wo — некоторая произвольная функция из множества V. Из соотношений (2.67)—(2.69) вытекает, что величиной /0 функционал качества оценивается сверху:
sup inf / (h, w) < inf sup / (h, w) < sup / (h, w0) = Jo-
Лея №?У w^v Лея Лея
Нахождение J0 основывается на построении функции h0, такой, что / (h0, wo) = Jq.
В [2.10] доказано, что промежуточный режим hmin << h < hmax в задаче (2.69) невозможен. Укажем следствие, вытекающее из данного утверждения. Введем управляющую функцию
% = (Umax — h) I (femax — hmin). Тогда
J (Ax + В) ф (wo) dQ
Jo = sup / (x, wo), J = ° ? , (2.70)
хем J (C% + D) ф (w0) dQ
-4 = femin — uaxi -6 = hm3iy, С = femin ^max»
D = ^max-
Гарантированный подход
Понедельник, июня 7, 2010Одним из возможных подходов к постановке и решению этих задач (задач с «неполной информацией») является минимаксный подход. При использовании минимаксного (или гарантированного) подхода предполагается заданным множество, содержащее все возможные реализации внешних сил, а разыскивается форма конструкции минимального веса, удовлетворяющая прочностным и геометрическим условиям для всех возможных реализаций сил.
Конструкция данной формы является оптимальной, если для любой другой конструкции меньшего веса можно указать такую реализацию сил из заданного класса, при которой будут нарушены условия прочности или геометрические ограничения. При решении задач на основе указанного подхода реализуется одна из двух возможностей. Либо оказывается, что в рассматриваемом классе существует «наихудшая» нагрузка, для которой конструкция минимального веса, найденная в расчете только на эту нагрузку, удовлетворяет условиям прочности и жесткости и для всех остальных реализаций сил из заданного класса. Конструкция данной формы и является оптимальной для класса сил, т. е. решением исходной задачи, либо не существует «наихудшей нагрузки» и оптимальное для класса сил решение не является оптимальным ни для какой в отдельности реализации нагрузок из данного множества. В [2, 28] содержатся примеры того и другого вида. Заметим, что минимаксный подход можно также применить к задачам с неполной информацией о граничных условиях и свойствах материала, из которого изготовляется конструкция.
Пусть полная система уравнений и граничных условий, описывающих равновесие конструкции и связывающих переменные состояния, проектирования и внешнее воздействие записана в операторной форме:
L (х, и, h, q) = 0. (1.35)
Вид прикладываемой к телу нагрузки заранее не фиксируется, а предполагается заданным множество Rq, содержащее все возможные реализации внешних сил, т. е.
q^Rq. (1-36)
При дальнейшем рассмотрении задачи проектирования будем допускать к рассмотрению только силы из (1.36). Если, к примеру, объект оптимизации — пластинка, а внешние воздействия —-односторонние поперечные нагрузки, результирующая которых не превосходит Р, то множество Rq имеет вид
где Q — область, ограниченная контуром пластинки.
При заданных q и h краевая задача (1.35) предполагается однозначно разрешимой относительно переменной состояния и.
Задача оптимизации заключается в отыскании функции h(x), минимизирующей функционал / (h) (вес тела) и удовлетворяющей при любых q из (1.36) прочностным и жесткостным ограничениям:
я|) (х, и, h, g, Jx , . . ., Jr) < 0, (1-37)
где яр — заданная вектор-функция. Условия (1.37) представляют собой систему скалярных неравенств.
О постановках задач оптимизации конструкции
Суббота, апреля 10, 2010Рассматриваемые в теории оптимального проектирования задачи заключаются в определении формы, внутренних свойств и условий работы конструкций, доставляющих экстремум (минимум или максимум) выбранной характеристики конструкций при ряде дополнительных ограничений. Строгая постановка задач оптимизации конструкций включает формулировку основных определяющих уравнений (выбор модели), оптимизируемого функционала, ограничений на функции состояния и искомые управляющие переменные. С математической точки зрения эти задачи могут быть классифицированы в зависимости от типов рассматриваемых уравнений и граничных условий, вида оптимизируемых функционалов и учитываемых ограничений, размерности задачи, способов вхождения переменных проектирования в основные соотношения (управление коэффициентами и границами областей), полноты информации об исходных данных (задачи с полной и неполной информацией), характера экстремума (одноэкстре-мальные и многоэкстремальные задачи) и способа определения оптимума (однокритериальные и многокритериальные задачи) и других обстоятельств.
В этом параграфе рассмотрим классические постановки задач оптимального проектирования. Некоторые обобщения будут изложены в параграфах 1.5—1.8. Существенным элементом постановки задачи является, как уже отмечалось выше, выбор механической модели. Сначала выбираются переменные состояния и и уравнения
Цх, и, h, g)=0, (1.1)
связывающие эти переменные с физическими и геометрическими параметрами конструкции и внешними воздействиями. Здесь гг = = {^(д:), . . ., ит(х)} — вектор-функция, определяющая состояние конструкции. Независимая переменная х={хг, . . ., хе} принимает значения из области Q. Через Lb (1.1) обозначен дифференциальный оператор по пространственным координатам xt. Равенство (1.1) можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений в общем случае нелинейных. Основное внимание в книге уделяется теориям, в которых предполагаются выполненными условия геометрической и физической линейности. В этих предположениях поведение конструкций описывается операторами, линейными относительно переменных состояния.
Оператор L зависит от вектор-функции проектирования h — = {h1(x),. . ,,hn(x)}n вектор-функции внешних воздействий q. Натуральные числа т, п, е заданы. Здесь предполагается, что граничные условия, определяющие способ закрепления и нагру-жения конструкций, включены в оператор L.
Система уравнений при заданных нагрузках и параметрах конструкции должна быть замкнутой и определять переменные состояния, характеризующие напряженное и деформированное состояние конструкций. Отыскание переменных состояния при заданных функциях проектирования будем называть прямой задачей.
Если уравнения, определяющие состояние конструкции, являются отражением физических закономерностей, то выбор переменных проектирования рассматриваемых функционалов, в том числе оптимизируемого функционала (критерия качества) и системы ограничений, диктуется назначением и условиями работы конструкции, технологическими возможностями ее создания.
Функции ht(x) определяют форму и физико-механические свойства материала конструкции. В качестве ht(x) могут, например, выбираться распределения толщин и площадей сечений тела, функции, определяющие положение срединных поверхностей криволинейных стержней и оболочек, распределение концентрации армирующего материала по конструкции, углы, задающие ориентацию осей анизотропии в каждой точке упругого тела.
Кроме функций состояния и управляющих переменных, в задачах оптимального проектирования фигурируют функциональные характеристики — функционалы, зависящие от и, h, q: Jx — =J1(u,?i, q), . . ., Jr=Jr(u, h, q). В оптимальном проектировании рассматриваются функционалы двух типов: интегральные функционалы
Ji=lh (х> и> h> 9) dQ, i = 1, ..., гь (1.2)
и локальные функционалы
Jj = mdiXx fj(x, и(х), h (x), q (*)), ; = n+l, . . ., r±+r2. (1.3)
Через fi обозначены заданные дифференциальные выражения, ari> г2— заданные целые числа, причем r1+r2 = r. Интегрально или посредством комбинации интегралов вида (1.2) представляются такие характеристики конструкции, как вес, энергия упругих деформаций (податливость), частоты собственных колебаний, критическая нагрузка, под действием которой конструкция теряет устойчивость [1.11, 1.12, 1.17, 1.18]. Локальными характеристиками являются величина максимального прогиба, интенсивность напряжений [3, 28, 32].
Выбор расчетной схемы в теории оптимального проектирования
Пятница, марта 26, 2010В теории оптимального проектирования изучаются вопросы наилучшего выбора силовой схемы, формы, свойств материалов и условий работы конструкции, исследуются общие закономерности экстремальных решений и развиваются эффективные методы оптимизации. В результате исследований по оптимальному проектированию выясняются предельные возможности улучшения конструкций, оценивается качество традиционных (неоптимальных) сооружений и выявляются наиболее эффективные способы их совершенствования. Теорию оптимального проектирования отличает широкое разнообразие постановок задач [2, 24, 37— 41]. Это объясняется тем, что и уравнения, определяющие нагру-жение и деформирование конструкции, и требования, предъявляемые к ее механическим характеристикам, существенно отличаются при рассмотрении различных типов конструкций (балки, колонны, криволинейные стержни, пластинки, оболочки), реологических свойств (упругость, пластичность, ползучесть), внешних воздействий (поверхностные и объемные силы, статические и динамические нагрузки, „мертвые силы" и силы, зависящие от поведения самой конструкции, тепловые воздействия), видов управляющих переменных (форма конструкции), предположений о степени полноты информации об условиях работы конструкции (задачи с неполной информацией о виде внешних воздействий и способах закрепления конструкции). Точность модели и исходных данных также влияет на постановку задач.
Вопрос о выборе расчетной схемы (модели) является основным как при анализе конструкции, так и при ее оптимизации. Поэтому оптимальное проектирование невозможно без предварительной выработки представлений о существенных и несущественных аспектах поведения конструкции, схематизации условий функционирования и различного рода упрощений, сохраняющих адекватность схемы реальной конструкции. Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы. Такое определение расчетной схемы дается в курсах сопротивления материалов [19]. Выбор расчетной схемы, по существу, неединствен.
В некоторых случаях несколько различных схем может быть предложено для одного и того же объекта. В то же время одной расчетной схеме может ставиться в соответствие много реальных объектов.
При оптимальном проектировании конструкций стремятся применять расчетные схемы, позволяющие единственным образом определить как существенные величины напряженно-деформированного состояния, так и искомые переменные проектирования. Однако этого не всегда удается достигнуть из-за отсутствия точной информации о внешних воздействиях, несовершенств изготовления изделия, разброса параметров, характеризующих материал конструкции и других факторов неполноты информации. Для адекватной схематизации в этой ситуации целесообразно смягчение требований к точности описания реального объекта и принятие либо схемы расчета конструкции на наихудший случай, либо схемы стохастического описания конструкции. Это так называемые гарантированный и вероятностный подходы.
Введение в оптимизацию конструкций
Пятница, марта 19, 2010Теория оптимального проектирования получила в последнее время значительное развитие в связи с решением стоящих перед механикой важных задач снижения материалоемкости конструкций и улучшения их механических характеристик. Расширились и сами представления о наилучших в том или ином смысле конструкциях и условиях их функционирования. Были разработаны методы численной оптимизации, позволяющие эффективно оценивать чувствительность основных характеристик конструкций к изменениям параметров проектирования и анализировать способы формирования оптимальных решений. Достигнутые результаты позволили, в частности, широко использовать методы оптимизации при разработке систем автоматизированного проектирования. Однако еще многие проблемы оптимального проектирования не получили решения и по ним в настоящее время ведутся интенсивные исследования.
В книге наряду с изложением основных понятий делается попытка отразить современное состояние теории оптимального проектирования. Книга состоит из двух разделов. Первый раздел служит введением в теорию и методы оптимального проектирования. Здесь излагаются постановки задач оптимизации конструкций и способы их преобразования, необходимые условия оптимальности, аналитические и численные методы оптимизации конструкций с распределенными параметрами, методы оптимизации дискретных систем. Обсуждаются вопросы многоцелевого проектирования конструкций, проектирования при неполной информации, основные понятия многокритериальной оптимизации. Второй раздел книги посвящен применению в оптимальном проектировании критериев прочности, жесткости, устойчивости и веса. Здесь рассматриваются полученные с использованием указанных критериев оптимальные решения для балок, криволинейных стержней, ферм, пластинок и оболочек, массивных тел.
В книге отражены результаты исследований, выполненных в Лаборатории оптимизации конструкций Института проблем механики АН СССР. Основная часть материала книги использовалась в лекциях, которые автор читал студентам Московского физико-технического института.
Твердение гипсовых вяжущих
Суббота, февраля 27, 2010Как и любое вяжущее вещество, гипсовые вяжущие при смешении с водой образуют пластичное тесто, которое превращается со временем в камневидное тело вследствие ряда физико-химических процессов. Эти изменения протекают постепенно и непрерывно, однако условно различают следующие периоды:
• период текучести (время до начала схватывания), когда масса обладает подвижностью и текучестью;
• период схватывания, когда масса утрачивает свою подвижность, оставаясь при этом достаточно пластичной, т.е. способной деформироваться под действием внешних воздействий;
• конец схватывания, т.е. момент, соответствующий превращению массы в камневидное тело, после которого деформатив-ное воздействие на материал приводит к необратимой потере прочности.
Далее развивается процесс нарастания прочности в материале. Особенности отдельных этапов твердения должны учитываться при изготовлении изделий, так как приготовление массы, формо1 вание, транспортировка сырца и т.д. могут осуществляться только в течение определенного времени.
Твердение низкообжиговых гипсовых вяжущих происходит в результате гидратации полугидрата с образованием двуводного сернокислого кальция
CaS04 ? 0,5H2O + l,5ff2O^> CaS04 ? 2Н20.
Существует несколько теорий, объясняющих механизм твердения вяжущих веществ. На примере гипса рассматривать и сравнивать эти теории особенно удобно, так как это вяжущее мономинерально.
Кристаллохимическая теория была предложена Ле-Шателье в 1882 г. Она объясняла твердение вяжущего возникновением кристаллического сростка гидратных новообразований, выпадающих из раствора. Вяжущее растворяется с образованием раствора, который быстро достигает концентрации насыщения по отношению к соединениям его составляющим. Возникающие в результате гидратации новообразования менее растворимы, чем исходные вещества, следовательно, по отношению к ним раствор оказывается пересыщенным, что и влечет за собой их кристаллизацию.
При твердении строительного гипса в связи с тем, что растворимость двуводного сернокислого кальция составляет около 2 г/л, а растворимость исходного полугидрата — около 8 г/л, раствор оказывается пересыщенным по отношению к двугидрату, в результате чего из него выпадают мелкие кристаллы. При этом раствор обедняется сульфатом кальция, что обеспечивает растворение новых количеств полугидрата и кристаллизацию двугидрата. По этой схеме процесс продолжается до полной перекристаллизации всего исходного CaS04 ? 0,5Н20. При высокой концентрации вяжущего в воде возникающие при твердении кристаллогидраты тесно соприкасаются друг с другом и срастаются, образуя прочные структуры твердения.
В 1892 г. появилась коллоидно-химическая теория В. Михаэли-са, которая объясняла твердение вяжущих образованием коллоидного «студня» новообразований (гелей), склеивающего частицы вяжущего и заполнителя. Согласно этой теории при твердении полуводного гипса гидратация CaS04 ? 0,5Н20 идет не в растворе, а на поверхности частиц вяжущего. Двуводный гипс, образующийся таким образом, не может перейти в пересыщенный раствор и образует коллоидную массу. Упрочнение камня происходит вследствие отсоса воды из геля внутренними частями зерен вяжущего, сопровождаемого появлением дополнительных количеств двугидрата, и обусловленного этим повышения плотности. Таким образом, процесс протекает в основном топохимически, т.е. на поверхности зерна и без перехода минералов вяжущего в жидкую фазу. На более поздних сроках твердения коллоидная масса превращается в кристаллический сросток.
Свойства и применения гипсовых вяжущих
Суббота, февраля 20, 2010Водопотребность. Для получения пластичного гипсового теста необходимо значительно большее количество воды, чем для протекания реакции гидратации полуводного гипса (стехиометричес-кое количество воды - 186 г на 1 кг гипса). Чтобы получить литые изделия из 1 кг а-полугидрата, необходимо добавить 350-400 г воды, а из 1 кг р-полугидрата - 600-800 г воды. Избыточная вода остается в затвердевшем материале и в дальнейшем испаряется, обуславливая высокую пористость гипсового камня (50—60%). Чем ниже водопотребность вяжущего, тем плотнее и прочнее изделия на его основе, и именно поэтому а-модификация полуводного гипса дает более качественный и высокопрочный строительный материал.
Высокообжиговые гипсовые вяжущие имеют еще более плотную структуру и, соответственно, водопотребность их меньше, чем у низкообжиговых. Причем чем выше температура обжига, тем ниже водопотребность: у ангидритового вяжущего - 30-40%,у эстрих-гипса — 25—35%. Изделия из эстрих-гипса отличаются высокой морозостойкостью, повышенной водостойкостью и меньшей склонностью к пластическим деформациям, поэтому иногда его называют «гидравлическим» гипсом.
По срокам схватывания различают следующие виды гипсовых вяжущих:
• быстро твердеющие — с началом схватывания не ранее 2 мин и концом схватывания — не позднее 13 мин;
• нормально твердеющие — с началом схватывания не ранее 6 мин и концом схватывания — не позднее 30 мин;
• медленно твердеющие — с началом схватывания не ранее 20 мин и ненормированным концом схватывания.
Низкообжиговые гипсовые вяжущие относятся к быстро схва-тывающимся вяжущим веществам. Как правило, они схватываются уже через 5—15 мин. При этом увеличение тонкости помола, а также повышение температуры значительно сокращают сроки схватывания. Начавшие схватываться, а тем более схватившиеся растворы, нельзя подвергать механическим воздействиям во избежание разрушения формирующегося кристаллического каркаса. Короткие сроки схватывания гипса неудобны в технологическом процессе. Поэтому в состав гипса могут вводиться специальные добавки — замедлители схватывания. Обычно ими являются поверхностно-активные вещества (сульфитно-дрожжевая бражка, известково-клеевой и кератиновый замедлители), которые, адсор-бируясь на частичках полугидрата, образуют защитные пленки и замедляют взаимодействие вяжущего с водой. Замедлителями схватывания гипсовых вяжущих могут также служить неорганические вещества: бура, борная кислота, фосфат натрия и др.
В ряде случаев необходимо, наоборот, ускорить схватывание, например, для быстрого извлечения изделий из формы. Для этого используют добавки — ускорители схватывания — двуводный гипс, поваренную соль, серную кислоту и др.
Высокообжиговые гипсовые вяжущие относятся к медленно схватывающимся: ангидритовое вяжущее — начало схватывания не ранее 30 мин и конец схватывания — не позднее 24 ч; высокообжиговый гипс — начало схватывания не ранее 2 час и конец схватывания - не нормирован, но обычно вяжущее полностью схватывается в течение 12—36 ч.
Применение гипсовых вяжущих материалов
Суббота, февраля 6, 2010Гипс среди эффективных строительных материалов занимает одно из ведущих мест. Это обусловлено большими запасами гипсового сырья, низкой топливо- и энергоемкостью производства, технологичностью материалов и конструкций и высокими их эксплуатационными и эстетическими свойствами. На изготовление 1 т изделий из гипса удельных капитальных вложений требуется в два раза, а электроэнергии в четыре раза меньше, чем на получение 1 т изделий из цемента.
Основная масса выпускаемых гипсовых вяжущих используется в строительстве. Их применяют при производстве штукатурки, перегородочных стеновых плит и панелей, вентиляционных коробов, работающих при относительной влажности воздуха менее 65%. Гипсовые изделия обладают невысокой плотностью, негорючестью и рядом других ценных свойств.
Большие объемы гипса используются для изготовления штукатурных и кладочных растворов. Особенно перспективно использование сухой гипсовой штукатурки. ГЦПВ вследствие его повышенной водостойкости применяют для изготовления санитарно-технических кабин, ванных комнат, вентиляционных каналов. Ангидритовое вяжущее используют для изготовления бесшовных полов, в качестве подстилающего слоя под линолеум, а также для получения легких бетонов, искусственного мрамора, для проведения декоративно-отделочных работ. Высокообжиговый гипс применяют для настила тепло- и звукоизолирующих полов, изготовления подстилающего слоя под линолеум, а также для кладочных и штукатурных растворов и для искусственного мрамора. Марки гипсовых вяжущих от Г-5 до Г-25 тонкого помола с нормальными сроками твердения служат для изготовления форм и моделей в керамической, машиностроительной, литейной промышленности, а также в медицине.
Производство известковых вяжущих материалов
Суббота, января 30, 2010Строительной известью называют группу минеральных вяжущих веществ, получаемых в результате обжига ниже температуры спекания кальциево-магниевых карбонатных горных пород. Строительная известь делится на воздушную и гидравлическую.
Воздушная известь при затворении водой схватывается, твердеет и сохраняет прочность в воздушно-сухих условиях.
Гидравлическая известь, затворенная водой, схватывается на воздухе, но твердеет и сохраняет прочность камня не только на воздухе, но и под водой. В сырье для ее производства содержится до 20% глинистых примесей. Применение гидравлической извести — одного из старейших вяжущих веществ — в настоящее время ограничено, поскольку по свойствам она значительно уступает портландцементу.
В зависимости от вариантов дальнейшей обработки обожженного продукта различают несколько видов воздушной извести: негашеную комовую известь—кипелку, состоящую главным образом ) из СаО; негашеную молотую известь — порошкообразный продукт помола комовой извести; гидратную известь—пушонку — тонкий порошок, получаемый в результате гашения комовой извести определенным количеством воды и состоящий в основном из Са(ОН)2; известковое тесто — тестообразный продукт гашения комовой извести, состоящей в основном из Са(ОН)2и механически примешанной воды; известковое молоко — белая суспензия, в которой гидроксид кальция находится частично в растворенном, а частично во взвешенном состоянии.