Опишем вариационный подход, используемый при получении условий оптимальности и сведении оптимизационной задачи к замкнутой краевой задаче для дифференциальных уравнений.
Пусть вектор-функция и = {иг (х), . . ., ит (х)} удовлетворяет в области Q системе дифференциальных уравнений
L (К) и = q (3.1)
и краевым условиям на границе Г области Q
{N{h)u)v =0, (3.2)
где h = {hx (х), . . ., hn(x)} — вектор переменных проектирования; х = {хц . . ., хе} — вектор независимых переменных; L (К), N (h) — дифференциальные операторы, коэффициенты которых не зависят от h; q (х) — заданные вектор-функции внешних воздействий. Системы уравнений вида (3.1) с граничными условиями (3.2) применяются при проектировании линейно-упругих тонкостенных конструкций. Независимость q от и и h имеет место при рассмотрении «мертвых» сил и внешних воздействий, не зависящих от геометрических и структурных характеристик конструкции. Заметим, что результаты данного параграфа могут применяться и в случае нагрузок, зависящих линейно от деформаций и перемещений конструкций, представляемых вектором и. Для этого достаточно формального включения выражений, отражающих линейную зависимость q от и, в левую часть уравнения (3.1).
Обозначим через / (и, h, q) и Jt (и, h q) (i = 1, 2, . . ., г) интегральные функционалы:
/ = w, /г, q) dQ, Ji = \li{x, и, h, q) dQ,
(3.3)
где /, ft — заданные функции аргументов x, и, h, q, и рассмотрим задачу минимизации функционала J:
= min/, / (и, h, g), (3.4)
при интегральных ограничениях, наложенных на переменные проектирования и функции состояния:
А (щ h, q) - с4 < 0, i = 1, . . ., г. (3.5) Здесь Ci — заданные константы.
Получим условия оптимальности в задаче (3.1) — (3.5). С этой целью выпишем выражения для первых вариаций интегралов (3.3) и уравнения в вариациях, соответствующие (3.1), (3.2):
8J = J ("и"8и + Ж bh) dQ' 6/i = \{жЬи + ЖЬк) dQ,
(3.6)
L (h) 8u + M {u, h) 8 h = 0, (3.7)
(Л) бы + T (u, h) 8 h = 0, (3.8)
где df I ди = {df I дщ, . . ., 5/ / дггт}; / ди = {dft I дих, . . .
dfi I дит}. Вариации б /, 8Ji зависят как от вариации функции состояния, так и от вариации переменной проектирования. Последние связаны линейными относительно 8и и 8h соотношениями
(3.7) , (3.8). Уравнения в вариациях (3.7) и граничное условие
(3.8) получаются путем подстановки в (3.1), (3.2) вместо и и h величин и + 8и, h + 8h и выделения членов линейных относительно 8и и 8h. Через М {и, h), Т (и, h) обозначены операторы, применяемые к вектору 8h.
Posts Tagged ‘конструкции’
Необходимые условия оптимальности для простейших задач с линейными уравнениями, определяющими поведение конструкции
Среда, июня 30, 2010Условия экстремума для задач с неаддитивными функционалами
Четверг, июня 24, 2010Наряду с отысканием экстремума некоторых интегралов (при дополнительных ограничениях) в теории оптимального проектирования рассматриваются более общие вопросы минимизации или максимизации неаддитивных функционалов, являющихся заданными функциями от нескольких интегралов J±1 . . ., /г. К задачам с неаддитивными функционалами приходим, например, при оптимизации собственных частот колебаний упругих систем и при максимизации критических нагрузок, для которых упругий элемент конструкции теряет устойчивость. К задачам с неаддитивными функционалами приходим также при рассмотрении локальных характеристик конструкции и использовании способа замены их интегралами, описанного в параграфе 2.3. Ограничения на фазовые функции и управляющие переменные в ряде случаев также представляются в виде нелинейных функционалов.
Приведем необходимые условия оптимальности для задач с неаддитивными функционалами, когда минимизируемый (максимизируемый) критерий качества и ограничения представлены в виде функций от интегральных характеристик:
J = f (Л, .. ., /г), (3.19)
ft (Л, .... /г)<0, * = 1, 2.....А, (3.20)
где
Ji=lfi(x,u,h,q)&Q. (3.21)
Здесь и = {иг (я), . . ит (ж)}, A = {Ах (я), . . fen(*)}» я = {л?!, . . ., хе}. При получении необходимых условий минимума (максимума) функционала / при ограничениях (3.20) и дифференциальных связях (3.1), (3.2), наложенных на функции состояния и и переменные проектирования А, используем формулы параграфа 3.1 и разложение функции
к
0* = f + 2 hfi (3.22)
i=i
в ряд по 8Jt с удержанием членов первого порядка малости.
i:^=uj^ [?б„+^бфа. ,3.23)
г=1 1 Q I г=1 >
Через кг в (3.22) обозначены множители Лагранжа. При помощи вспомогательных переменных (Х| (i = 1, 2, . . ., &), как и в предыдущем параграфе, преобразуем ограничения типа неравенств (3.20) в ограничения типа равенств
ft (Ji, Jr) + |4 = 0. (3.24)
Не приводя здесь подробных выкладок, полностью аналогичных тем, которые делались в предыдущем параграфе, укажем лишь окончательные формулы. Выражение для вариации функционала / с учетом дифференциальных связей (3.1), (3.2), граничных условий, накладываемых на сопряженную переменную:
(N*(h)v)r = 0, (3.25)
а также условий (3.24) и формулы (3.23) может быть представлено в виде
a i=i 1
т к
+ Г М* (и, h)v + i? 8h] dQ + 2 ? Х^бщ,
i=i 1 i=i
(3.26)
где dfildu = {dfjdui, д^/дит},
(dfjdh) 8h = (dh/dhi) 6hi + ... + (dft/dhj bhn.
Потребуем, чтобы множители перед 8и и бр, обратились в нуль. Получим уравнение (векторное) для сопряженной переменной и условие, наложенное на величины |хг-,
1=1 1
рА = 0; i = 1, 2, . . ., Л. (3.28)
Для «неактивных» ограничений \it Ф 0, а соответствующие множители Лагранжа А,,, как это видно из (3.28), равны нулю. Если i-e ограничение активно, то kt Ф 0, р, = 0. Таким образом, если функция состояния и переменная проектирования удовлетворяют краевым задачам (3.1), (3.2) и (3.25), (3.27), а величины р^, ki подчинены условиям (3.24), (3.28), то вариация б/ связана с 6fe соотношением
т
б/ = $ [м* (A, u)v + ?"Ж"] б/гdQ' <3'2'9)
a i=i 1
Формула (3.29) может эффективно применяться при решении задачи оптимизации для построения «улучшающих» вариаций; при проведении анализа чувствительности. Из этого же соотношения между б/ и 8h вытекает необходимое условие оптимальности
M*(u,h)v+1?i^^ = 0. (3.30)
1=1 1
Заметим, что коэффициенты в необходимых условиях экстре-мума^ так же как и в уравнениях для сопряженных переменных, вычисляются при значениях функционалов Ju . . .,/ry соответствующих экстремали оптимизационной задачи, поэтому (3.27)* (3.30) есть интегродифференциальные уравнения. Вывод условий экстремума для вариационных задач с неаддитивными функционалами приведен в [3.5, 3.14].
Гарантированный подход
Понедельник, июня 7, 2010Одним из возможных подходов к постановке и решению этих задач (задач с «неполной информацией») является минимаксный подход. При использовании минимаксного (или гарантированного) подхода предполагается заданным множество, содержащее все возможные реализации внешних сил, а разыскивается форма конструкции минимального веса, удовлетворяющая прочностным и геометрическим условиям для всех возможных реализаций сил.
Конструкция данной формы является оптимальной, если для любой другой конструкции меньшего веса можно указать такую реализацию сил из заданного класса, при которой будут нарушены условия прочности или геометрические ограничения. При решении задач на основе указанного подхода реализуется одна из двух возможностей. Либо оказывается, что в рассматриваемом классе существует «наихудшая» нагрузка, для которой конструкция минимального веса, найденная в расчете только на эту нагрузку, удовлетворяет условиям прочности и жесткости и для всех остальных реализаций сил из заданного класса. Конструкция данной формы и является оптимальной для класса сил, т. е. решением исходной задачи, либо не существует «наихудшей нагрузки» и оптимальное для класса сил решение не является оптимальным ни для какой в отдельности реализации нагрузок из данного множества. В [2, 28] содержатся примеры того и другого вида. Заметим, что минимаксный подход можно также применить к задачам с неполной информацией о граничных условиях и свойствах материала, из которого изготовляется конструкция.
Пусть полная система уравнений и граничных условий, описывающих равновесие конструкции и связывающих переменные состояния, проектирования и внешнее воздействие записана в операторной форме:
L (х, и, h, q) = 0. (1.35)
Вид прикладываемой к телу нагрузки заранее не фиксируется, а предполагается заданным множество Rq, содержащее все возможные реализации внешних сил, т. е.
q^Rq. (1-36)
При дальнейшем рассмотрении задачи проектирования будем допускать к рассмотрению только силы из (1.36). Если, к примеру, объект оптимизации — пластинка, а внешние воздействия —-односторонние поперечные нагрузки, результирующая которых не превосходит Р, то множество Rq имеет вид
где Q — область, ограниченная контуром пластинки.
При заданных q и h краевая задача (1.35) предполагается однозначно разрешимой относительно переменной состояния и.
Задача оптимизации заключается в отыскании функции h(x), минимизирующей функционал / (h) (вес тела) и удовлетворяющей при любых q из (1.36) прочностным и жесткостным ограничениям:
я|) (х, и, h, g, Jx , . . ., Jr) < 0, (1-37)
где яр — заданная вектор-функция. Условия (1.37) представляют собой систему скалярных неравенств.
Вероятностный подход
Воскресенье, мая 30, 2010Наряду с минимаксным (гарантированным) подходом возможен также вероятностный подход к задачам с неполной информацией. Пусть внешние воздействия зависят от случайной величины I, т. е. q = q (х, Е). Функция плотности распределения вероятностей величины ? считается известной.
Поведение проектируемой конструкции, описываемое уравнениями (1.35), зависит через посредство функций qm случайной величины ?. Поэтому случайный характер будут иметь и функции состояния и и функции г|), записанные в левых частях неравенств (1.37).
Задание функции распределения вероятностей величины ? позволяет в принципе определять моменты случайных величин и, в частности, их математические ожидания и дисперсии. Это обстоятельство позволяет контролировать вероятность нарушения ограничений (прочностных, жесткостных и др.) и рассмотреть следующую задачу оптимального проектирования, заключающуюся в отыскании функции h, минимизирующей функционал / (h) (вес тела) и удовлетворяющей с учетом (1.35) системе неравенств
Ш ^ (х, h, и) < 0, (1.38)
25 г|> (х, h, и) < е, (1.39)
где $ и S) — операции вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины, а е>0 — достаточно малое число. Условия (1.38), (1.39) означают, что на выбор управляющей переменной h наложены требования, чтобы прочностные и жесткост-ные условия (1.37) удовлетворялись в «среднем» и разброс случайной величины \|) не превышал заданного достаточно малого значения.
Понятие оптимальности в смысле Парето
Воскресенье, мая 16, 2010Применение понятия оптимальности в смысле Парето позволяет сформулировать следующую общую задачу проектирования. Пусть поведение конструкции описывается краевой задачей (1.1) и системой г функциональных характеристик Jh (и, h, q), к = = 1, 2, ... г. На переменные проектирования h = {hl4 . . ., hn} и функции состояния и = {и,!, . . ит) наложены ограничения (1.4), отражающие требования, предъявляемые к проектируемой конструкции. Векторный критерий качества конструкции ,f включает s скалярных функционалов и т. е. f = {fn . : ., §s). Скалярные функционалы представляют собой заданные функции от рассматриваемых функциональных характеристик
$i = ^«(Л, • • •> ^г), « = 1, 2, . . s. (1.43)
Многокритериальная задача проектирования конструкции заключается в отыскании множества переменных проектирования, таких, что
f -> min/,. (1.44)
Для задач' многокритериальной оптимизации характерным является существование не единственного решения, а целого множества оптимальных в указанном смысле решений, так называемого множества Парето. Построение множества Парето дает важную информацию о возможностях совершенствования конструкций и позволяет выявить скрытые резервы оптимизации.
Вопрос о выборе на множестве Парето единственной функции проектирования может быть решен при использовании соответствующих представлений многоуровней оптимизации. Так, например, при двухуровневой оптимизации на первом уровне решается многокритериальная задача и находится множество функций проектирования (оптимальных в смысле Парето решений). На втором же уровне при помощи дополнительно введенного скалярного критерия на полученном множестве находится единственное оптимальное решение.
Заметим, что задачи, в которых часть функционалов $ г, • • • .. должна быть минимизирована, а часть . . .,,fs — максимизирована, также формально представляются в виде (1.1), (1.4), (1.43), (1.44) с векторным функционалом, все компоненты которого подлежат минимизации. Для этого достаточно по указанным скалярным функционалам J'i, . . ., !fs определить векторный критерий качества следующим образом:
.f = {.fi* fh -fin,.. —&*}- (1-45)
Очевидно, что минимизация функционала (1.45) при указанных выше дополнительных условиях будет эквивалентна задаче минимизации функционалов $х, . . ., §г и максимизации функционалов .f /4-1 ,. . ., fs.
Способы формализации ограничений
Суббота, мая 1, 2010В теории оптимального проектирования на поведение оптимизируемой конструкции накладываются как ограничения, записываемые в виде неравенств, так и ограничения типа равенств. Современные методы оптимального проектирования позволяют в принципе учитывать ограничения обоих типов. Однако наиболее просто реализуем во многих методах учет ограничений типа равенств, и поэтому в большинстве работ по оптимизации конструкций применяется сведение неравенств к ограничениям типа равенств. С этой целью применяются специальные преобразования и введение вспомогательных переменных. Укажем некоторые способы, наиболее часто используемые в теории оптимального проектирования.
Применение операции вычисления абсолютного значения величины позволяет записать ограничения типа неравенств (1.4) в эквивалентном виде:
Ь + \Ъ\=0. (2.9)
Индекс / здесь и ниже в данном параграфе принимает значения от 1 до к.
Система равенств
1 + sign ypj = 0 (2.10)
эквивалентна соотношениям (1.4).
Нетрудно заметить, что если ограничения на поведение конструкции заданы не в каноническом виде (1.4), а в виде двусторонних неравенств 0<^tyj^Cj(cj — заданные константы), то прием, аналогичный (2.9), приводит к равенствам
?/-|Ф/1 = 0, (2.11)
% - cj + | Ь — cj\= 0, а прием, сходный с (2.10),— к равенствам
1 - sign ypj = 0, (2.12)
1 + Sign (l|); — Cj) = 0.
Другая группа приемов сведения ограничений типа неравенств к ограничениям типа равенств основана на введении вспомогательных переменных. Введением вспомогательных переменных % ограничения типа неравенств (1.4) могут быть записаны в виде
% + х! = 0, (2.13)
где %j (х) — подлежащие определению неизвестные вещественные функции (— оо < Xj < °°)-
Для системы ограничений в виде двухсторонних неравенств
Ifcmin < %max (2.14)
следующий способ введения вспомогательных переменных %у позволяет осуществить преобразование к ограничениям типа равенств (—оо <^ %j <; оо):
— *jmin) (%max ~ fy) — Xi = °- (2Л5)
Можно указать и другие способы сведения ограничения типа неравенств к ограничениям типа равенств, использовавшиеся в работах по оптимальному управлению и оптимизации конструкций. Обсуждавшиеся в данном параграфе приемы сведения неравенств к равенствам позволяют применять для исследования развитые методы классического вариационного исчисления.
О замене локальных характеристик интегральными функционалами
Суббота, апреля 24, 2010Задачи оптимизации конструкций можно условно разделить по типу оптимизируемых функционалов и виду ограничений на две группы. К первой группе отнесем задачи оптимизации, для которых критерий качества и ограничения выражаются через интегралы от искомых функций. При этом ограничения имеют вид «изопериметрических» равенств и неравенств. Наиболее часто в работах по оптимальному проектированию встречаются такие интегральные характеристики, как вес, энергия деформации (податливость), сила потери устойчивости, частота собственных колебаний. Отнесем задачи оптимизации ко второй группе, если критерий качества и рассматриваемые ограничения имеют локальный (неинтегральный) характер. К этой группе отнесем смешанные задачи, когда в рассмотрение принимаются как интегральные, так и локальные характеристики конструкции. Типичными локальными функционалами, минимизируемыми при оптимальном проектировании конструкций, являются, например, максимальное смещение в деформируемом теле и максимальное значение интенсивности напряжений.
Большая часть результатов, полученных в теории оптимального проектирования, относится к задачам первой группы. Это объясняется прежде всего тем, что для решения задач с интегральными функционалами существуют известные методы классического вариационного исчисления и нелинейного программирования. Применение этих методов позволило для ряда задач выполнить аналитические и численные исследования и обнаружить интересные закономерности.
Для некоторых типов задач с интегральными функционалами исследования существенно упрощаются за счет того обстоятельства, что уравнения равновесия оказываются «естественными» для рассматриваемых функционалов и допускается исключение дифференциальных связей [2, 2.2, 3.17].
Меньшее число работ посвящено исследованию двумерных задач с локальными функционалами. Главной причиной этого является отсутствие достаточно общих эффективных методов решения для задач второй группы. Типичные трудности решения этих -задач заключаются в следующем. Например, если решается задача минимизации максимального прогиба пластинки и отыскания оптимального распределения ее толщин, то вывод необходимых условий оптимальности и их численная реализация осложнены тем, что заранее неизвестна точка максимального прогиба. Положение же этой точки существенно зависит не только от вида нагрузки, но и от искомого распределения толщин (переменной проектирования). Если же рассматриваются задачи оптимизации с ограничениями типа неравенств, наложенными на локальные характеристики, то аналогичные трудности связаны с определением положения точек или областей, для которых в рассматриваемых ограничениях реализуется знак строгого равенства. Существенные упрощения при решении задач второй группы достигаются в тех случаях, когда задано положение точек, в которых вычисляется значение локальных характеристик конструкции или положение точки экстремума функционала заранее известно, например, из условий симметрии задачи.
Заметим, что, проводя сопоставление интегральных и локаль ных функционалов, мы прежде всего имеем в виду неодномерные задачи оптимального проектирования.
Требования, предъявляемые к конструкции
Суббота, апреля 17, 2010Требования, предъявляемые к конструкции, приводят к ограничениям, накладываемым на управляющие переменные и функции состояния. Эти ограничения составляют систему неравенств, записываемых в векторной форме:
я|) (х, и, h, q, Jx, . . ., /г)<0. (1.4)
Компоненты вектора г^^^^, . . являются заданными
функциями аргументов. Различные формы записи ограничений (1.4) обсуждаются в параграфе 2.2. В конкретных задачах в качестве неравенств (1.4) могут выступать ограничения разных типов на напряжения, деформации, перемещения, интегральную жесткость или податливость, а также на собственные частоты колебаний и значения критических параметров потери устойчивости.
Один из рассматриваемых функционалов или их функция f (Jx, . . ., Jг) принимается в качестве оптимизируемого функционала.
Задача оптимизации заключается в отыскании функции h(x), доставляющей минимум (максимум) функционалу
J = f(Ji, • • Jr) (1.5)
и удовлетворяющей соотношениям (1.1)—(1.4).
Заметим, что число рассматриваемых функционалов и накладываемых ограничений, которые предполагаются непротиворечивыми, может быть в принципе сколь угодно большим. Оптимизируемый функционал или критерий качества конструкции в каждой конкретной задаче вида (1.1)—(1.5) только один. Так, например, при изгибе балки переменной толщины могут быть поставлены задачи минимизации веса балки при ограничении на прогибы или минимизации максимального прогиба при заданном весе. Однако задача одновременной минимизации двух указанных функционалов при использовании классического определения оптимальности смысла не имеет. Корректная постановка задач оптимизации с векторным критерием качества становится возможной при использовании понятия оптимальности в смысле Парето или других понятий многокритериальной оптимизации. Основные представления многокритериальной оптимизации изложены в большом числе пуб-ликаций[49,1.32, 1.39, 1.40]. Однако подходы к оптимальному проектированию конструкций, основывающиеся на неклассическом определении экстремума, еще только начинают развиваться.
В современных исследованиях по оптимальному проектированию было выяснено, что формулировки задач оптимизации в виде (1.1) — (1.5) в ряде случаев оказываются ограничительными. Это объясняется тем, что при определенных условиях для задач проектирования не существует оптимальное решение А*, гг*, хотя и существует минимальное значение критерия качества /*. Кроме того, при проектировании часто наибольший интерес представляет не отыскание А* и и*, а выявление тенденций в формировании оптимального решения и чувствительности функциональных характеристик к вариациям параметров. Поэтому представляют интерес расширенные постановки задач проектирования, более корректные с математической точки зрения и позволяющие проследить весь процесс формирования решения на основе использования современных методов анализа чувствительности.
О постановках задач оптимизации конструкции
Суббота, апреля 10, 2010Рассматриваемые в теории оптимального проектирования задачи заключаются в определении формы, внутренних свойств и условий работы конструкций, доставляющих экстремум (минимум или максимум) выбранной характеристики конструкций при ряде дополнительных ограничений. Строгая постановка задач оптимизации конструкций включает формулировку основных определяющих уравнений (выбор модели), оптимизируемого функционала, ограничений на функции состояния и искомые управляющие переменные. С математической точки зрения эти задачи могут быть классифицированы в зависимости от типов рассматриваемых уравнений и граничных условий, вида оптимизируемых функционалов и учитываемых ограничений, размерности задачи, способов вхождения переменных проектирования в основные соотношения (управление коэффициентами и границами областей), полноты информации об исходных данных (задачи с полной и неполной информацией), характера экстремума (одноэкстре-мальные и многоэкстремальные задачи) и способа определения оптимума (однокритериальные и многокритериальные задачи) и других обстоятельств.
В этом параграфе рассмотрим классические постановки задач оптимального проектирования. Некоторые обобщения будут изложены в параграфах 1.5—1.8. Существенным элементом постановки задачи является, как уже отмечалось выше, выбор механической модели. Сначала выбираются переменные состояния и и уравнения
Цх, и, h, g)=0, (1.1)
связывающие эти переменные с физическими и геометрическими параметрами конструкции и внешними воздействиями. Здесь гг = = {^(д:), . . ., ит(х)} — вектор-функция, определяющая состояние конструкции. Независимая переменная х={хг, . . ., хе} принимает значения из области Q. Через Lb (1.1) обозначен дифференциальный оператор по пространственным координатам xt. Равенство (1.1) можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений в общем случае нелинейных. Основное внимание в книге уделяется теориям, в которых предполагаются выполненными условия геометрической и физической линейности. В этих предположениях поведение конструкций описывается операторами, линейными относительно переменных состояния.
Оператор L зависит от вектор-функции проектирования h — = {h1(x),. . ,,hn(x)}n вектор-функции внешних воздействий q. Натуральные числа т, п, е заданы. Здесь предполагается, что граничные условия, определяющие способ закрепления и нагру-жения конструкций, включены в оператор L.
Система уравнений при заданных нагрузках и параметрах конструкции должна быть замкнутой и определять переменные состояния, характеризующие напряженное и деформированное состояние конструкций. Отыскание переменных состояния при заданных функциях проектирования будем называть прямой задачей.
Если уравнения, определяющие состояние конструкции, являются отражением физических закономерностей, то выбор переменных проектирования рассматриваемых функционалов, в том числе оптимизируемого функционала (критерия качества) и системы ограничений, диктуется назначением и условиями работы конструкции, технологическими возможностями ее создания.
Функции ht(x) определяют форму и физико-механические свойства материала конструкции. В качестве ht(x) могут, например, выбираться распределения толщин и площадей сечений тела, функции, определяющие положение срединных поверхностей криволинейных стержней и оболочек, распределение концентрации армирующего материала по конструкции, углы, задающие ориентацию осей анизотропии в каждой точке упругого тела.
Кроме функций состояния и управляющих переменных, в задачах оптимального проектирования фигурируют функциональные характеристики — функционалы, зависящие от и, h, q: Jx — =J1(u,?i, q), . . ., Jr=Jr(u, h, q). В оптимальном проектировании рассматриваются функционалы двух типов: интегральные функционалы
Ji=lh (х> и> h> 9) dQ, i = 1, ..., гь (1.2)
и локальные функционалы
Jj = mdiXx fj(x, и(х), h (x), q (*)), ; = n+l, . . ., r±+r2. (1.3)
Через fi обозначены заданные дифференциальные выражения, ari> г2— заданные целые числа, причем r1+r2 = r. Интегрально или посредством комбинации интегралов вида (1.2) представляются такие характеристики конструкции, как вес, энергия упругих деформаций (податливость), частоты собственных колебаний, критическая нагрузка, под действием которой конструкция теряет устойчивость [1.11, 1.12, 1.17, 1.18]. Локальными характеристиками являются величина максимального прогиба, интенсивность напряжений [3, 28, 32].
Геометрические аспекты выбора расчетной схемы
Суббота, апреля 3, 2010Касаясь геометрических аспектов выбора расчетной схемы, отметим только наиболее широко применяемые в теории оптимального проектирования схематизации: сплошное трехмерное тело, характерные размеры которого во всех трех направлениях имеют одинаковый порядок; тела, один из размеров которых много больше двух других (балки, колонны, арки и стержневые системы); тела, один из размеров которых много меньше двух других (оболочки и пластинки).
В теории оптимального проектирования различные ситуации возникают в зависимости от того, проектируется ли традиционная или принципиально новая конструкция. В первом случае имеется полезная информация о прототипах и накопленный опыт может использоваться в виде «опорных» решений и начальных приближений для процесса оптимального проектирования. В этом случае незначительное число параметров проектирования является искомым и оптимизация конструкции сопряжена с обсчетом сравнительно небольшого числа вариантов. Во втором случае конструкция характеризуется большим числом параметров проектирования и процесс оптимизации связан с рассмотрением значительного числа допустимых вариантов (проектов).
Степень фиксации или, наоборот, незаданность параметров, определяющих облик или внутреннюю структуру конструкций,— существенный фактор формирования расчетной схемы. Этап выделения в расчетной схеме искомых управляющих переменных является чрезвычайно ответственным, и им во многом определяется эффект оптимизации. Введение параметров проектирования часто обусловливает дополнительные требования к расчетной схеме. Поясним сказанное на примере оптимального проектирования упругих оболочек переменной толщины. Пусть при оптимизации используется классическая теория тонких упругих оболочек. Если в результате оптимизации получаются распределения толщин, имеющие большие градиенты по пространственным переменным или другие особенности (разрывы, «нулевые» или «бесконечные» толщины), то классическая расчетная схема перестает быть надежной и требуется внесение соответствующих коррекций. Возможно осуществление коррекций двух типов.
1. Явное введение в расчетную схему ограничений, диктуемых принятой теорией и их учет при проектировании. Эта операция приводит к «стеснению» множества проектов.
2. Расширение и обобщение классических расчетных схем, учитывающее тенденции изменения проектов и позволяющее анализировать более широкий класс конструкций.
Важную роль при выборе расчетной схемы для задачи оптимального проектирования играет априорная информация о свойствах искомого решения. Информация о модели, знание принципиальных свойств решения, а также учет гипотез, положенных в ее основу, позволяют при постановке задач оптимизации выделить существенные ограничения и отбросить «второстепенные» и тем самым привести задачу к такому виду, что ее можно решить имеющимися численными ими даже аналитическими методами. Поэтому большая часть результатов в оптимальном проектировании относится к хорошо изученным расчетным схемам. Часто, однако, оказывается затруднительным «угадать» заранее свойства искомого оптимального решения и задача оптимизации оказывается сформулированной таким образом, что получаемые решения нарушают гипотезы, положенные в основу самой модели. Так, в ряде решавшихся задач проектирования пластин искомое распределение толщин обладало большими градиентами, что нарушает предположения, положенные в основу теории Кирхгофа. Другие известные особенности при использовании классических моделей пластин и оболочек связаны с появлением на оптимальных решениях нулевых и бесконечных толщин. Поэтому при выявлении отклонений от модели и нарушении гипотез, положенных в основу расчетной схемы, требуется введение в систему соотношений, используемых при проектировании дополнительных ограничений, например в задаче об изгибе пластинки — дополнительных ограничений на толщины. Выход из указанной ситуации возможен и на основе обобщения модели, заключающегося в «смягчении» гипотез и построении расчетной схемы для более широкого класса конструкций, включающего ранее недопустимые проекты. Таким образом, выбор модели и ее развитие представляют собой важные аспекты процесса проектирования.