На переменную проектирования в задачах оптимизации конструкций часто накладываются явные ограничения, не зависящие от функции состояния и рассматриваемых функционалов. Так, при отыскании оптимальных распределений толщин h балки, пластинки или оболочки выставляется ограничение /г>0, вытекающее из физического смысла рассматриваемой переменной проектирования. В тех задачах оптимизации, для которых оптимальное распределение толщин обращается в нуль во внутренних точках или внутренних линиях области определения Q, учет этого неравенства оказывается затруднительным. Поэтому представляются полезными специальные приемы, основанные н& идеях Валентайна введения вспомогательных функций, позволяющие «автоматически» учитывать указанное условие. Например, если ввести новую переменную проектирования ф, связанную с h соотношением h = ф2, то, очевидно, для любых действительных значений ф будет выполнено неравенство h > 0.
При решении конкретных задач оптимизации был предложен целый ряд способов введения вспомогательных переменных проектирования, существенно упрощающих процесс построения оптимального решения. В книге [2.13] для ограничения на переменную проектирования вида
0<*
Ф = ^niax | Sin ф |, Ф = hmay | COS ф |,
Ф = V2 /lmax (1 + (2/я) arctg ф);
Ф = V2 йщах (1+ (2/л) arcctg ф), Ф = (2/я) /*тах | arctg ф |,
Ф = Йтах^2; Ф = ^max (1 - ^2), Ф = ЛщахНЧ
Ф = ^max (1 - e-W). (2.2)
Заметим что при помощи обратных тригонометрических функций вспомогательные управляющие переменные вводились в [2.9].
Несколько более общие условия, накладываемые на управляющую функцию (распределение толщин), имеют вид
Amin < h (tf, у) < AJnax. (2.3>
Методы учета этих неравенств разрабатывались во многих работах по оптимальному проектированию. Укажем здесь лишь-тригонометрический способ учета неравенств (2.3) [2, 2.3]
h = а + р sin ф, (2 4)
а = 1/2 (Л-шах + ^min)> Р = XU (^max — ^min)i
широко использовавшийся при решении прикладных задач. Нетрудно проверить, что подстановка h из (2.4) в (2.3) приводит к неравенствам, которые выполняются для любых значений а.
Кроме неравенств (2.4), в задачах оптимального проектирования часто рассматриваются изопериметрические условия вида
§AdQ = l.
Это условие также можно исключить из рассмотрения, если ввести вспомогательную управляющую функцию ф, связанную с h соотношением
Л = ср /JcpdQ. (2.6)
Непосредственной подстановкой h из (2.6) в (2.5) убеждаемся, что рассматриваемое равенство оказывается выполненным для любых значений ф.
Заметим, что более общее интегральное ограничение
$XAdQ = l, (2.7)
где у — заданная функция, можно исключить из рассмотрения при помощи следующей подстановки:
Л = (1/ц($2)х) (1 -*-<•). (2.8)
Через |я (Q) обозначена мера множества Q.
Завершая краткое рассмотрение различных способов исключения ограничений, отметим, что введение вспомогательной переменной проектирования можно произвести неединственным образом. Этим обстоятельством можно пользоваться при численном решении задач для улучшения сходимости алгоритмов.
Posts Tagged ‘балки’
Введение вспомогательных переменных проектирования
Воскресенье, мая 9, 2010Требования, предъявляемые к конструкции
Суббота, апреля 17, 2010Требования, предъявляемые к конструкции, приводят к ограничениям, накладываемым на управляющие переменные и функции состояния. Эти ограничения составляют систему неравенств, записываемых в векторной форме:
я|) (х, и, h, q, Jx, . . ., /г)<0. (1.4)
Компоненты вектора г^^^^, . . являются заданными
функциями аргументов. Различные формы записи ограничений (1.4) обсуждаются в параграфе 2.2. В конкретных задачах в качестве неравенств (1.4) могут выступать ограничения разных типов на напряжения, деформации, перемещения, интегральную жесткость или податливость, а также на собственные частоты колебаний и значения критических параметров потери устойчивости.
Один из рассматриваемых функционалов или их функция f (Jx, . . ., Jг) принимается в качестве оптимизируемого функционала.
Задача оптимизации заключается в отыскании функции h(x), доставляющей минимум (максимум) функционалу
J = f(Ji, • • Jr) (1.5)
и удовлетворяющей соотношениям (1.1)—(1.4).
Заметим, что число рассматриваемых функционалов и накладываемых ограничений, которые предполагаются непротиворечивыми, может быть в принципе сколь угодно большим. Оптимизируемый функционал или критерий качества конструкции в каждой конкретной задаче вида (1.1)—(1.5) только один. Так, например, при изгибе балки переменной толщины могут быть поставлены задачи минимизации веса балки при ограничении на прогибы или минимизации максимального прогиба при заданном весе. Однако задача одновременной минимизации двух указанных функционалов при использовании классического определения оптимальности смысла не имеет. Корректная постановка задач оптимизации с векторным критерием качества становится возможной при использовании понятия оптимальности в смысле Парето или других понятий многокритериальной оптимизации. Основные представления многокритериальной оптимизации изложены в большом числе пуб-ликаций[49,1.32, 1.39, 1.40]. Однако подходы к оптимальному проектированию конструкций, основывающиеся на неклассическом определении экстремума, еще только начинают развиваться.
В современных исследованиях по оптимальному проектированию было выяснено, что формулировки задач оптимизации в виде (1.1) — (1.5) в ряде случаев оказываются ограничительными. Это объясняется тем, что при определенных условиях для задач проектирования не существует оптимальное решение А*, гг*, хотя и существует минимальное значение критерия качества /*. Кроме того, при проектировании часто наибольший интерес представляет не отыскание А* и и*, а выявление тенденций в формировании оптимального решения и чувствительности функциональных характеристик к вариациям параметров. Поэтому представляют интерес расширенные постановки задач проектирования, более корректные с математической точки зрения и позволяющие проследить весь процесс формирования решения на основе использования современных методов анализа чувствительности.
Геометрические аспекты выбора расчетной схемы
Суббота, апреля 3, 2010Касаясь геометрических аспектов выбора расчетной схемы, отметим только наиболее широко применяемые в теории оптимального проектирования схематизации: сплошное трехмерное тело, характерные размеры которого во всех трех направлениях имеют одинаковый порядок; тела, один из размеров которых много больше двух других (балки, колонны, арки и стержневые системы); тела, один из размеров которых много меньше двух других (оболочки и пластинки).
В теории оптимального проектирования различные ситуации возникают в зависимости от того, проектируется ли традиционная или принципиально новая конструкция. В первом случае имеется полезная информация о прототипах и накопленный опыт может использоваться в виде «опорных» решений и начальных приближений для процесса оптимального проектирования. В этом случае незначительное число параметров проектирования является искомым и оптимизация конструкции сопряжена с обсчетом сравнительно небольшого числа вариантов. Во втором случае конструкция характеризуется большим числом параметров проектирования и процесс оптимизации связан с рассмотрением значительного числа допустимых вариантов (проектов).
Степень фиксации или, наоборот, незаданность параметров, определяющих облик или внутреннюю структуру конструкций,— существенный фактор формирования расчетной схемы. Этап выделения в расчетной схеме искомых управляющих переменных является чрезвычайно ответственным, и им во многом определяется эффект оптимизации. Введение параметров проектирования часто обусловливает дополнительные требования к расчетной схеме. Поясним сказанное на примере оптимального проектирования упругих оболочек переменной толщины. Пусть при оптимизации используется классическая теория тонких упругих оболочек. Если в результате оптимизации получаются распределения толщин, имеющие большие градиенты по пространственным переменным или другие особенности (разрывы, «нулевые» или «бесконечные» толщины), то классическая расчетная схема перестает быть надежной и требуется внесение соответствующих коррекций. Возможно осуществление коррекций двух типов.
1. Явное введение в расчетную схему ограничений, диктуемых принятой теорией и их учет при проектировании. Эта операция приводит к «стеснению» множества проектов.
2. Расширение и обобщение классических расчетных схем, учитывающее тенденции изменения проектов и позволяющее анализировать более широкий класс конструкций.
Важную роль при выборе расчетной схемы для задачи оптимального проектирования играет априорная информация о свойствах искомого решения. Информация о модели, знание принципиальных свойств решения, а также учет гипотез, положенных в ее основу, позволяют при постановке задач оптимизации выделить существенные ограничения и отбросить «второстепенные» и тем самым привести задачу к такому виду, что ее можно решить имеющимися численными ими даже аналитическими методами. Поэтому большая часть результатов в оптимальном проектировании относится к хорошо изученным расчетным схемам. Часто, однако, оказывается затруднительным «угадать» заранее свойства искомого оптимального решения и задача оптимизации оказывается сформулированной таким образом, что получаемые решения нарушают гипотезы, положенные в основу самой модели. Так, в ряде решавшихся задач проектирования пластин искомое распределение толщин обладало большими градиентами, что нарушает предположения, положенные в основу теории Кирхгофа. Другие известные особенности при использовании классических моделей пластин и оболочек связаны с появлением на оптимальных решениях нулевых и бесконечных толщин. Поэтому при выявлении отклонений от модели и нарушении гипотез, положенных в основу расчетной схемы, требуется введение в систему соотношений, используемых при проектировании дополнительных ограничений, например в задаче об изгибе пластинки — дополнительных ограничений на толщины. Выход из указанной ситуации возможен и на основе обобщения модели, заключающегося в «смягчении» гипотез и построении расчетной схемы для более широкого класса конструкций, включающего ранее недопустимые проекты. Таким образом, выбор модели и ее развитие представляют собой важные аспекты процесса проектирования.
Выбор расчетной схемы в теории оптимального проектирования
Пятница, марта 26, 2010В теории оптимального проектирования изучаются вопросы наилучшего выбора силовой схемы, формы, свойств материалов и условий работы конструкции, исследуются общие закономерности экстремальных решений и развиваются эффективные методы оптимизации. В результате исследований по оптимальному проектированию выясняются предельные возможности улучшения конструкций, оценивается качество традиционных (неоптимальных) сооружений и выявляются наиболее эффективные способы их совершенствования. Теорию оптимального проектирования отличает широкое разнообразие постановок задач [2, 24, 37— 41]. Это объясняется тем, что и уравнения, определяющие нагру-жение и деформирование конструкции, и требования, предъявляемые к ее механическим характеристикам, существенно отличаются при рассмотрении различных типов конструкций (балки, колонны, криволинейные стержни, пластинки, оболочки), реологических свойств (упругость, пластичность, ползучесть), внешних воздействий (поверхностные и объемные силы, статические и динамические нагрузки, „мертвые силы" и силы, зависящие от поведения самой конструкции, тепловые воздействия), видов управляющих переменных (форма конструкции), предположений о степени полноты информации об условиях работы конструкции (задачи с неполной информацией о виде внешних воздействий и способах закрепления конструкции). Точность модели и исходных данных также влияет на постановку задач.
Вопрос о выборе расчетной схемы (модели) является основным как при анализе конструкции, так и при ее оптимизации. Поэтому оптимальное проектирование невозможно без предварительной выработки представлений о существенных и несущественных аспектах поведения конструкции, схематизации условий функционирования и различного рода упрощений, сохраняющих адекватность схемы реальной конструкции. Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы. Такое определение расчетной схемы дается в курсах сопротивления материалов [19]. Выбор расчетной схемы, по существу, неединствен.
В некоторых случаях несколько различных схем может быть предложено для одного и того же объекта. В то же время одной расчетной схеме может ставиться в соответствие много реальных объектов.
При оптимальном проектировании конструкций стремятся применять расчетные схемы, позволяющие единственным образом определить как существенные величины напряженно-деформированного состояния, так и искомые переменные проектирования. Однако этого не всегда удается достигнуть из-за отсутствия точной информации о внешних воздействиях, несовершенств изготовления изделия, разброса параметров, характеризующих материал конструкции и других факторов неполноты информации. Для адекватной схематизации в этой ситуации целесообразно смягчение требований к точности описания реального объекта и принятие либо схемы расчета конструкции на наихудший случай, либо схемы стохастического описания конструкции. Это так называемые гарантированный и вероятностный подходы.
Оптимальное проектирование балки под действием нестационарной нагрузки
Воскресенье, сентября 13, 2009Для решения задач оптимизации используем результаты, приведенные в параграфе 3.6. Рассмотрим задачу оптимального проектирования балки под действием нестационарной нагрузки q (ху t). Уравнения движения, граничные и начальные условия для шар-нирно опертой балки запишем в следующем виде:
(aEh2uxx)xx + phutt = g, (7.147) и (0, t) = и (Z, t) = uxx (0, t) = uxx (Z, t) = 0, и (xy 0) = щ (xy 0) = 0,
где и (xy t) — функция прогибов; h (x) — площадь поперечного сечения; p и E — плотность и модуль Юнга материала балки. Нижними индексами t, х обозначается дифференцирование по времени и координате, измеряемой вдоль недеформированной оси балки (t е [0, Г], х Ег [0, Z], Г, Z — заданные величины).
Оптимизационная задача заключается в отыскании такого распределения h (х), чтобы реализовался минимум массы балки
I Т I
/=JpAds = -Tp-JJ ph&x&t-+minh, (7.148)
0 0 0
было выполнено ограничение на максимальный прогиб
/х = maxX)f \ и (х, t) \ = сх (7.149)
и удовлетворялись ограничения на минимальное и максимальное допустимые значения управляющей переменной
hmin
т 1
-^r\j^\u(x,t)\pdxdt) =ci. (7.151) о о
Сопряженная переменная и (х, t) определяется как решение следующей краевой задачи:
(aEh*vxx)xx + 9hvtt = ~4г ("ТТ")""1» (7Л52)
и (О, t) = v (Z, t) = vxx (О, t) = vxx(h t) = 0, v (x, T) = vt (x, T) = 0
Динамические задачи оптимизации балок и оболочек при ограничениях на прогибы
Воскресенье, сентября 13, 2009Широкий круг вопросов, связанных с минимизацией весовых характеристик при жесткостных ограничениях, рассматривается при проектировании конструкций, рассчитываемых на .нестационарные воздействия и, в частности, ударные нагрузки. Особенно детально здесь изучались задачи оптимизации элементов конструкций, совершающих вынужденные гармонические колеба-лия. О тематике исследований по динамическим задачам оптимального проектирования, проводившихся до 1972 г., можно получить представление из обзорной статьи [44]. В последнее время число работ по динамической оптимизации значительно увеличилось, и их можно условно разделить на следующие группы: проектирование конструкций при нестационарных нагрузках; проектирование конструкций, совершающих вынужденные гармонические колебания; проектирования конструкций, совершающих свободные колебания; проектирование неконсервативных упругих систем при ограничениях по устойчивости.
Отметим здесь некоторые работы по оптимальному проектированию конструкций при динамических нагрузках, имеющие непосредственное отношение к результатам, излагаемым в данной главе. К первым публикациям по оптимизации конструкций, подверженных нестационарным динамическим воздействиям, можно отнести работы [7.50, 7.51], в которых рассмотрены задачи минимизации максимального прогиба балок переменного сечения. Теория динамической оптимизации упругих систем с распределенными параметрами разрабатывалась с применением метода анализа чувствительности в [24, 31, 7.47, 7.56—7.59]. Оптимальному проектированию одномерных конструкций при нестационарных нагрузках посвящена работа [7.19]. В работах [7.52, 7.55, 7.66, 7.81, 7.98] рассматриваются задачи динамической оптимизации дискретных систем и для последовательного улучшения функционала качества используется метод параметрической оптимизации. В работах [1.3, 1.4] развивается методика решения динамических задач оптимального проектирования, основанная на теории оптимизации систем с распределенными параметрами. Аналитические решения для некоторых одномерных задач оптимального проектирования упругих элементов конструкций, совершающих вынужденные гармонические колебания, построены в [1.26, 1.34, 7.18]. Для решения задач минимизации максимального прогиба балки, лежащей на упругом основании Винклера — Пастернака и совершающей вынужденные гармонические колебания, в [1.20] применены методы математического программирования. Решение двумерных задач оптимизации упругих пластинок, подверженных действию гармонических нагрузок, содержится в [1.8].
Проектирование подкрепленных составных балок
Воскресенье, сентября 13, 2009При проектировании составнод конструкции, состоящей из отдельных конструктивных элементов, в процессе перераспределения материала меняются усилия в элементах и могут существенно измениться связи между элементами и сам характер их закрепления. Поэтому при оптимизации конструкции в целом возникает вопрос о возможности использования результатов предварительной оптимизации каждого из ее элементов в отдельности. Ниже на примере проектирования составных подкреплен-
РИС. 7.4
ных балок обсуждается эффективность применения оптимальных элементов и дополнительных подкреплений [7.12].
Рассмотрим конструкцию, состоящую из N + 1 шарнирно скрепленных стержней переменной жесткости.Стержни шарнирно -закреплены в концевых точках х0 = О и xn+1 = I и в промежуточных точках х = Xi (i = 1,. . ., N) оси х. Шарнирное закрепление в промежуточных точках осуществляется при помощи абсолютно жестких подпорок, препятствующих смещению стержней в вертикальном направлении (рис. 7.4). Поэтому граничные условия в «онцевых и промежуточных точках имеют вид w = ETwxx = О, тде Е — ^модуль Юнга; / — момент инерции поперечного сечения -стержня. Рассмотрим стержни нескольких типов, ограничиваясь три этом зависимостями
/ (х) = CkS* {х), к « 1, 2, 3,
между моментом инерции / и площадью поперечного сечения S (см. параграф 1.4). Фигурирующий здесь коэффициент Ск зависит от формы поперечного сечения стержня и не зависит от х.
Распределение жесткостей в стержнях (распределение площадей сечений ?), а также количество и положение подпорок рассматриваются в качестве переменных проектирования. Роль функционала стоимости конструкции в проводимых рассмотрениях играет величина
n+1
J = \iN + p 2 V{. (7,25)
i=l
Параметры р., р считаются заданными константами и могут ?быть стоимостными или весовыми характеристиками. Пусть р — стоимость единицы объема материала стержня; \i — стоимость одной подпорки; Vt — объем i-ro стержня, определяемый формулой
xi+l
V{= jj S(x)dx.
Предположим, что к рассматриваемой конструкции может быть приложена любая односторонняя нагрузка q (х) с равнодействующей, не превосходящей заданной величины Р, т. е.
i
ff(*)>0, \q{x)dx^P. (7.26) о
В частности, к каждому пролету балки может прикладываться сосредоточенная сила Р. Если нагрузка подвижная, перемещающаяся квазистатически, то в процессе эксплуатации конструкции: сила будет последовательно приложена в каждой точке х ЕЕ [О, 1]г в том числе к середине каждого пролета.
Оценка эффективности оптимального решения
Воскресенье, сентября 13, 2009Оценим эффективность оптимального решения, проводя сравнение с балкой постоянной толщины. Для балки постоянной толщины и того же объема / = w (0) = Р1ЧЗАгУ, и, следовательно, относительный выигрыш по функционалу для оптимальной балки равен (/ — /*)// = 1/4, т. е. 25%.
При тех же предположениях рассмотрим случай сплошной балки переменной высоты h (х) поперечного сечения. Полагая а=3 (см. параграф 1.4) и используя условие оптимальности (7.21), преобразуем уравнение изгиба и граничные условия к виду (Wxx)xx = 0 ПРИ — Z < # < 0, 0 < # < Z и iv (—I) = iv (Z) = = и>хх (—Z) = wxx (I) = 0. Добавляя к этим соотношениям условие wx(0) = 0,получим замкнутую краевую задачу для определения функции прогибов. Краевое условие wx (0) = 0 вытекает из симметрии задачи относительно точки х = 0 и предположения h (0) Ф 0. С учетом указанной симметрии определим все искомые величины на интервале 0 < х < Z. Интегрируя уравнение (wxt)xx = 0 и вычисляя три постоянные интегрирования на основании условий wx (0) = 0, w (I) = wXx (I) = 0, получим выражение для w, содержащее одну неизвестную константу. Для отыскания распределения толщин, постоянной X и указанной константы
РИС. 7.2 РИС. 7.3
применим условие оптимальности, равенство (7.22) и изоперимет-рическое условие (7.20) (Bs = Ь). Будем иметь
г__ (7.24)
МРЪЧ5
IV =
(i-T-){*-2Vi-i-)' °<х<1-
Функция h (х) и w (х) показаны на рис. 7.3 (I = 1, 37/46 = 0,1, 64P63/8L43F3 = 0,3).
Оптимальное распределение толщин сплошной упругой балки, так же как и трехслойной, достигает максимума в центре балки (х = 0) и обращается в нуль у ее концов. Однако если в случае, а = 1 толщина h убывала пропорционально расстоянию до края балки, то при а = 3 функция h ведет себя как ]Л?, где t = I — х Имеется качественное отличие и в поведении функций прогибов при а = 1 и а = 3. Кривизна осевой линии сплошной балки меняется вдоль пролета и неограниченно возрастает при приближении к шарнирно закрепленным концам.
Сопоставляя величину прогиба w (0) из (7.24) со значением w (Q) = 4Р63/6/ЗЛ 3F3, вычисленным для балки постоянной толщины и того же объема, находим, что выигрыш за счет оптимизации составляет 40,7%.
Оптимизация жесткости балок
Воскресенье, сентября 13, 2009Исследования в области оптимизации конструкций восходят к классической работе Галилея, посвященной проектированию формы балок. В последствии было решено значительное число задач, относящихся к оптимизации балок при изгибе. Тем не менее и в большей части современных исследований по оптимальному проектированию используется модель балки. Уравнения изгиба балок являются одними из простейших в сопротивлении материалов и удобны для рассмотрения новых постановок задач, сравнения различных алгоритмов и методик. В данном и после дующем параграфе в рамках балочной модели рассматриваются характерные вопросы оптимизации жесткостных характеристик.
Пусть балка шарнирно закреплена в точке х = ± locus, х и изгибается под действием поперечной сосредоточенной нагрузки* приложенной в точке х = О, т. е. q = Р8 (х). Длина балки 21 и ее-объем V считаются заданными, что накладывает ограничение на возможные распределения площадей поперечных сечений S.
Рассмотрим задачу минимизации величины прогиба w в точка приложения силы (х = 0) за счет наилучшей профилировки балкиг т. е. задачу отыскания управляющей функции h (#), задание которой полностью определяет величины S и D = EI (S = BJfit D = EI = Aaha; см. параграф 1.4).
Здесь Е — модуль Юнга; / — момент инерции сечения балкк относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба и проходящей через нейтральную линию; Аа, Ва — константы, зависящие-от типа сечения балки; а — параметр, принимающий значения 1,. 2, 3. Приведем основные соотношения задачи:
(Dwxx)xx = g, (w)x=±J = (Dwxx)x=±i = 0, i
J Sdx = V, J~w(0)->minh. (7.20) -i
Заметим, что взаимной к задаче (7.20) является задача минимизации объема балки при заданной величине прогиба w (0). Условие оптимальности (см. параграф 3.1) как для прямой, так и для двойственной задачи имеет вид
h^wlx = X2, (7.21)
где X2 — неизвестная константа. Для определения X воспользуемся равенством работы, совершаемой при нагружении балки* энергии упругих деформаций
А„ \ 9 АпШ
^twK^W" (7-22>
-I
Рассмотрим случай а = 1, соответствующий трехслойным балкам с переменной толщиной h/2 армирующих слоев. В этом* случае под S понимается площадь поперечного сечения армирующих слоев, т. е. S = ЬА, где Ъ — ширина прямоугольной балки Вопросы оптимального проектирования трехслойных конструкций впервые изучались в работе [3.17], где было обращено внимание на интересное обстоятельство, связанное с тем, что условие оптимальности трехслойных конструкций (балок, пластин) не зависит явно от управляющей функции.
Оценивание жесткости тонкостенных конструкций
Воскресенье, сентября 13, 2009Это способ, сводящийся к расчетам смещений при действии сосредоточенных нагрузок [2, 7.5]. Пусть функция прогибов w тонкостенной конструкции определяется как решение краевой задачи для дифференциального уравнения
L(h)w = q (7.11 (
с некоторыми заданными граничными условиями и характеризуется вариационным принципом, согласно которому для w реализуется минимум функционала
$[П(а?,Л)— 2gw] dQ. (7.12)
Через Q, fe, g, L, П в (7.11), (7.12) обозначены соответственно срединная поверхность конструкции, распределение толщин,, внешнее воздействие, положительно определенный дифференциальный оператор, плотность потенциальной энергии упругих деформаций. Рассмотрим класс возможных воздействий
?(*)>(), J?(*)dQ
Здесь P — заданная константа.
Приведем доказательство следующих свойств критерия (7.13), (7.14), позволяющих упростить расчеты, необходимые для оценки жесткости.
Свойство 1. При любом распределении толщин нагрузка, реализующая максимальный прогиб, является сосредоточенной.
Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть два равновесных распределения прогибов w и wп, отвечающих соответственно распределенной нагрузке q (х) из (7.13) и сосредоточенной силе величины Р, приложенной в точке х1 максимума w. Значения фукций w и w° в точке х1 обозначим через wl и wic. Для распределения прогибов с учетом (7.13) получим следующую оценку:
\qw dQ < (maxx w) \q dQ < w1P. (7.15)
Q Q
Используя далее (7.15) и принцип минимума полной энергии, приходим к следующим неравенствам:
J П {w\ h) dQ — 2Pwci < J П (w, h) dQ — IPw1 <
Q Q
< [ {П (a?, h) — 2qw) dQ. (7.16)
Энергетические соотношения
Pwcl = J П {w\ h) dQ, J qw dQ = J П (ш, h) dQ,
Q Q
выражающие условие равенства работы внешних сил и энергии упругих деформаций, позволяют упростить неравенства (7.16)
/V*> 2PW1— JtfwdQ >$gwdQ. (7.17)
Q Q
Из неравенств (7.17) вытекает, что wcl > wl. Таким образом, показано, что для любой нагрузки д, удовлетворяющей условиям (7.13), можно указать положение сосредоточенной силы Р, для которой прогиб балки в точке приложения силы не меньше максимального прогиба от распределенной нагрузки q(x). Свойство 1 доказано.