Наряду с отысканием экстремума некоторых интегралов (при дополнительных ограничениях) в теории оптимального проектирования рассматриваются более общие вопросы минимизации или максимизации неаддитивных функционалов, являющихся заданными функциями от нескольких интегралов J±1 . . ., /г. К задачам с неаддитивными функционалами приходим, например, при оптимизации собственных частот колебаний упругих систем и при максимизации критических нагрузок, для которых упругий элемент конструкции теряет устойчивость. К задачам с неаддитивными функционалами приходим также при рассмотрении локальных характеристик конструкции и использовании способа замены их интегралами, описанного в параграфе 2.3. Ограничения на фазовые функции и управляющие переменные в ряде случаев также представляются в виде нелинейных функционалов.
Приведем необходимые условия оптимальности для задач с неаддитивными функционалами, когда минимизируемый (максимизируемый) критерий качества и ограничения представлены в виде функций от интегральных характеристик:
J = f (Л, .. ., /г), (3.19)
ft (Л, .... /г)<0, * = 1, 2.....А, (3.20)
где
Ji=lfi(x,u,h,q)&Q. (3.21)
Здесь и = {иг (я), . . ит (ж)}, A = {Ах (я), . . fen(*)}» я = {л?!, . . ., хе}. При получении необходимых условий минимума (максимума) функционала / при ограничениях (3.20) и дифференциальных связях (3.1), (3.2), наложенных на функции состояния и и переменные проектирования А, используем формулы параграфа 3.1 и разложение функции
к
0* = f + 2 hfi (3.22)
i=i
в ряд по 8Jt с удержанием членов первого порядка малости.
i:^=uj^ [?б„+^бфа. ,3.23)
г=1 1 Q I г=1 >
Через кг в (3.22) обозначены множители Лагранжа. При помощи вспомогательных переменных (Х| (i = 1, 2, . . ., &), как и в предыдущем параграфе, преобразуем ограничения типа неравенств (3.20) в ограничения типа равенств
ft (Ji, Jr) + |4 = 0. (3.24)
Не приводя здесь подробных выкладок, полностью аналогичных тем, которые делались в предыдущем параграфе, укажем лишь окончательные формулы. Выражение для вариации функционала / с учетом дифференциальных связей (3.1), (3.2), граничных условий, накладываемых на сопряженную переменную:
(N*(h)v)r = 0, (3.25)
а также условий (3.24) и формулы (3.23) может быть представлено в виде
a i=i 1
т к
+ Г М* (и, h)v + i? 8h] dQ + 2 ? Х^бщ,
i=i 1 i=i
(3.26)
где dfildu = {dfjdui, д^/дит},
(dfjdh) 8h = (dh/dhi) 6hi + ... + (dft/dhj bhn.
Потребуем, чтобы множители перед 8и и бр, обратились в нуль. Получим уравнение (векторное) для сопряженной переменной и условие, наложенное на величины |хг-,
1=1 1
рА = 0; i = 1, 2, . . ., Л. (3.28)
Для «неактивных» ограничений \it Ф 0, а соответствующие множители Лагранжа А,,, как это видно из (3.28), равны нулю. Если i-e ограничение активно, то kt Ф 0, р, = 0. Таким образом, если функция состояния и переменная проектирования удовлетворяют краевым задачам (3.1), (3.2) и (3.25), (3.27), а величины р^, ki подчинены условиям (3.24), (3.28), то вариация б/ связана с 6fe соотношением
т
б/ = $ [м* (A, u)v + ?"Ж"] б/гdQ' <3'2'9)
a i=i 1
Формула (3.29) может эффективно применяться при решении задачи оптимизации для построения «улучшающих» вариаций; при проведении анализа чувствительности. Из этого же соотношения между б/ и 8h вытекает необходимое условие оптимальности
M*(u,h)v+1?i^^ = 0. (3.30)
1=1 1
Заметим, что коэффициенты в необходимых условиях экстре-мума^ так же как и в уравнениях для сопряженных переменных, вычисляются при значениях функционалов Ju . . .,/ry соответствующих экстремали оптимизационной задачи, поэтому (3.27)* (3.30) есть интегродифференциальные уравнения. Вывод условий экстремума для вариационных задач с неаддитивными функционалами приведен в [3.5, 3.14].
Posts Tagged ‘анализ’
Условия экстремума для задач с неаддитивными функционалами
Четверг, июня 24, 2010Требования, предъявляемые к конструкции
Суббота, апреля 17, 2010Требования, предъявляемые к конструкции, приводят к ограничениям, накладываемым на управляющие переменные и функции состояния. Эти ограничения составляют систему неравенств, записываемых в векторной форме:
я|) (х, и, h, q, Jx, . . ., /г)<0. (1.4)
Компоненты вектора г^^^^, . . являются заданными
функциями аргументов. Различные формы записи ограничений (1.4) обсуждаются в параграфе 2.2. В конкретных задачах в качестве неравенств (1.4) могут выступать ограничения разных типов на напряжения, деформации, перемещения, интегральную жесткость или податливость, а также на собственные частоты колебаний и значения критических параметров потери устойчивости.
Один из рассматриваемых функционалов или их функция f (Jx, . . ., Jг) принимается в качестве оптимизируемого функционала.
Задача оптимизации заключается в отыскании функции h(x), доставляющей минимум (максимум) функционалу
J = f(Ji, • • Jr) (1.5)
и удовлетворяющей соотношениям (1.1)—(1.4).
Заметим, что число рассматриваемых функционалов и накладываемых ограничений, которые предполагаются непротиворечивыми, может быть в принципе сколь угодно большим. Оптимизируемый функционал или критерий качества конструкции в каждой конкретной задаче вида (1.1)—(1.5) только один. Так, например, при изгибе балки переменной толщины могут быть поставлены задачи минимизации веса балки при ограничении на прогибы или минимизации максимального прогиба при заданном весе. Однако задача одновременной минимизации двух указанных функционалов при использовании классического определения оптимальности смысла не имеет. Корректная постановка задач оптимизации с векторным критерием качества становится возможной при использовании понятия оптимальности в смысле Парето или других понятий многокритериальной оптимизации. Основные представления многокритериальной оптимизации изложены в большом числе пуб-ликаций[49,1.32, 1.39, 1.40]. Однако подходы к оптимальному проектированию конструкций, основывающиеся на неклассическом определении экстремума, еще только начинают развиваться.
В современных исследованиях по оптимальному проектированию было выяснено, что формулировки задач оптимизации в виде (1.1) — (1.5) в ряде случаев оказываются ограничительными. Это объясняется тем, что при определенных условиях для задач проектирования не существует оптимальное решение А*, гг*, хотя и существует минимальное значение критерия качества /*. Кроме того, при проектировании часто наибольший интерес представляет не отыскание А* и и*, а выявление тенденций в формировании оптимального решения и чувствительности функциональных характеристик к вариациям параметров. Поэтому представляют интерес расширенные постановки задач проектирования, более корректные с математической точки зрения и позволяющие проследить весь процесс формирования решения на основе использования современных методов анализа чувствительности.
Геометрические аспекты выбора расчетной схемы
Суббота, апреля 3, 2010Касаясь геометрических аспектов выбора расчетной схемы, отметим только наиболее широко применяемые в теории оптимального проектирования схематизации: сплошное трехмерное тело, характерные размеры которого во всех трех направлениях имеют одинаковый порядок; тела, один из размеров которых много больше двух других (балки, колонны, арки и стержневые системы); тела, один из размеров которых много меньше двух других (оболочки и пластинки).
В теории оптимального проектирования различные ситуации возникают в зависимости от того, проектируется ли традиционная или принципиально новая конструкция. В первом случае имеется полезная информация о прототипах и накопленный опыт может использоваться в виде «опорных» решений и начальных приближений для процесса оптимального проектирования. В этом случае незначительное число параметров проектирования является искомым и оптимизация конструкции сопряжена с обсчетом сравнительно небольшого числа вариантов. Во втором случае конструкция характеризуется большим числом параметров проектирования и процесс оптимизации связан с рассмотрением значительного числа допустимых вариантов (проектов).
Степень фиксации или, наоборот, незаданность параметров, определяющих облик или внутреннюю структуру конструкций,— существенный фактор формирования расчетной схемы. Этап выделения в расчетной схеме искомых управляющих переменных является чрезвычайно ответственным, и им во многом определяется эффект оптимизации. Введение параметров проектирования часто обусловливает дополнительные требования к расчетной схеме. Поясним сказанное на примере оптимального проектирования упругих оболочек переменной толщины. Пусть при оптимизации используется классическая теория тонких упругих оболочек. Если в результате оптимизации получаются распределения толщин, имеющие большие градиенты по пространственным переменным или другие особенности (разрывы, «нулевые» или «бесконечные» толщины), то классическая расчетная схема перестает быть надежной и требуется внесение соответствующих коррекций. Возможно осуществление коррекций двух типов.
1. Явное введение в расчетную схему ограничений, диктуемых принятой теорией и их учет при проектировании. Эта операция приводит к «стеснению» множества проектов.
2. Расширение и обобщение классических расчетных схем, учитывающее тенденции изменения проектов и позволяющее анализировать более широкий класс конструкций.
Важную роль при выборе расчетной схемы для задачи оптимального проектирования играет априорная информация о свойствах искомого решения. Информация о модели, знание принципиальных свойств решения, а также учет гипотез, положенных в ее основу, позволяют при постановке задач оптимизации выделить существенные ограничения и отбросить «второстепенные» и тем самым привести задачу к такому виду, что ее можно решить имеющимися численными ими даже аналитическими методами. Поэтому большая часть результатов в оптимальном проектировании относится к хорошо изученным расчетным схемам. Часто, однако, оказывается затруднительным «угадать» заранее свойства искомого оптимального решения и задача оптимизации оказывается сформулированной таким образом, что получаемые решения нарушают гипотезы, положенные в основу самой модели. Так, в ряде решавшихся задач проектирования пластин искомое распределение толщин обладало большими градиентами, что нарушает предположения, положенные в основу теории Кирхгофа. Другие известные особенности при использовании классических моделей пластин и оболочек связаны с появлением на оптимальных решениях нулевых и бесконечных толщин. Поэтому при выявлении отклонений от модели и нарушении гипотез, положенных в основу расчетной схемы, требуется введение в систему соотношений, используемых при проектировании дополнительных ограничений, например в задаче об изгибе пластинки — дополнительных ограничений на толщины. Выход из указанной ситуации возможен и на основе обобщения модели, заключающегося в «смягчении» гипотез и построении расчетной схемы для более широкого класса конструкций, включающего ранее недопустимые проекты. Таким образом, выбор модели и ее развитие представляют собой важные аспекты процесса проектирования.
Выбор расчетной схемы в теории оптимального проектирования
Пятница, марта 26, 2010В теории оптимального проектирования изучаются вопросы наилучшего выбора силовой схемы, формы, свойств материалов и условий работы конструкции, исследуются общие закономерности экстремальных решений и развиваются эффективные методы оптимизации. В результате исследований по оптимальному проектированию выясняются предельные возможности улучшения конструкций, оценивается качество традиционных (неоптимальных) сооружений и выявляются наиболее эффективные способы их совершенствования. Теорию оптимального проектирования отличает широкое разнообразие постановок задач [2, 24, 37— 41]. Это объясняется тем, что и уравнения, определяющие нагру-жение и деформирование конструкции, и требования, предъявляемые к ее механическим характеристикам, существенно отличаются при рассмотрении различных типов конструкций (балки, колонны, криволинейные стержни, пластинки, оболочки), реологических свойств (упругость, пластичность, ползучесть), внешних воздействий (поверхностные и объемные силы, статические и динамические нагрузки, „мертвые силы" и силы, зависящие от поведения самой конструкции, тепловые воздействия), видов управляющих переменных (форма конструкции), предположений о степени полноты информации об условиях работы конструкции (задачи с неполной информацией о виде внешних воздействий и способах закрепления конструкции). Точность модели и исходных данных также влияет на постановку задач.
Вопрос о выборе расчетной схемы (модели) является основным как при анализе конструкции, так и при ее оптимизации. Поэтому оптимальное проектирование невозможно без предварительной выработки представлений о существенных и несущественных аспектах поведения конструкции, схематизации условий функционирования и различного рода упрощений, сохраняющих адекватность схемы реальной конструкции. Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы. Такое определение расчетной схемы дается в курсах сопротивления материалов [19]. Выбор расчетной схемы, по существу, неединствен.
В некоторых случаях несколько различных схем может быть предложено для одного и того же объекта. В то же время одной расчетной схеме может ставиться в соответствие много реальных объектов.
При оптимальном проектировании конструкций стремятся применять расчетные схемы, позволяющие единственным образом определить как существенные величины напряженно-деформированного состояния, так и искомые переменные проектирования. Однако этого не всегда удается достигнуть из-за отсутствия точной информации о внешних воздействиях, несовершенств изготовления изделия, разброса параметров, характеризующих материал конструкции и других факторов неполноты информации. Для адекватной схематизации в этой ситуации целесообразно смягчение требований к точности описания реального объекта и принятие либо схемы расчета конструкции на наихудший случай, либо схемы стохастического описания конструкции. Это так называемые гарантированный и вероятностный подходы.
Введение в оптимизацию конструкций
Пятница, марта 19, 2010Теория оптимального проектирования получила в последнее время значительное развитие в связи с решением стоящих перед механикой важных задач снижения материалоемкости конструкций и улучшения их механических характеристик. Расширились и сами представления о наилучших в том или ином смысле конструкциях и условиях их функционирования. Были разработаны методы численной оптимизации, позволяющие эффективно оценивать чувствительность основных характеристик конструкций к изменениям параметров проектирования и анализировать способы формирования оптимальных решений. Достигнутые результаты позволили, в частности, широко использовать методы оптимизации при разработке систем автоматизированного проектирования. Однако еще многие проблемы оптимального проектирования не получили решения и по ним в настоящее время ведутся интенсивные исследования.
В книге наряду с изложением основных понятий делается попытка отразить современное состояние теории оптимального проектирования. Книга состоит из двух разделов. Первый раздел служит введением в теорию и методы оптимального проектирования. Здесь излагаются постановки задач оптимизации конструкций и способы их преобразования, необходимые условия оптимальности, аналитические и численные методы оптимизации конструкций с распределенными параметрами, методы оптимизации дискретных систем. Обсуждаются вопросы многоцелевого проектирования конструкций, проектирования при неполной информации, основные понятия многокритериальной оптимизации. Второй раздел книги посвящен применению в оптимальном проектировании критериев прочности, жесткости, устойчивости и веса. Здесь рассматриваются полученные с использованием указанных критериев оптимальные решения для балок, криволинейных стержней, ферм, пластинок и оболочек, массивных тел.
В книге отражены результаты исследований, выполненных в Лаборатории оптимизации конструкций Института проблем механики АН СССР. Основная часть материала книги использовалась в лекциях, которые автор читал студентам Московского физико-технического института.
Измельчение материалов
Суббота, сентября 19, 2009Важнейшим технологическим переделом подготовки минерального сырья, позволяющим перевести его в химически активное состояние и подготовить к химическому взаимодействию при дальнейшей тепловой обработке, является измельчение. Конечная цель этой операции — получение тонкодисперсного однородного по составу материала или гомогенной смеси разнородных материалов.
Эффективность измельчения характеризуют степенью измельчения (/), которая представляет собой отношение диаметра самых крупных кусков, поступающих на измельчение (D), к диаметру самых крупных кусков, прошедших измельчение (d): i — D/d. В зависимости от типа измельчителя и свойств измельчаемого материала степень измельчения может меняться от 2—5 до 50—100 и более. Выбор схемы измельчения определяется свойствами материала. В большинстве случаев измельчение производится в два этапа: грубое (дробление) и тонкое (помол). Каждый из этих этапов может реализовываться в несколько стадий.
Измельчение — это разрушение твердого тела под действием внешней механической нагрузки. Оно может производиться несколькими методами — раздавливанием, раскалыванием, ударом, изломом и истиранием (рис. 2.3).
Раздавливание материала наступает после перехода напряжений за предел прочности на сжатие. Раскалывание кусков происходит в результате их расклинивания и последующего разрыва вследствие возникновения в них напряжений растяжения. Ударное измельчение — результат действия динамических нагрузок с возникновением в материале сжимающих, растягивающих, изгибающих и сдвиговых напряжений. Излом куска происходит в результате его изгиба. При истирании внешние слои куска подвергаются деформации сдвига и постепенно срезаются скользящими рабочими поверхностями измельчителя вследствие перехода касательных напряжений за предел прочности. В зависимости от физико-механических свойств материалов выбирают следующие способы измельчения.
При любом виде деформаций процесс разрушения можно представить следующим образом. Внешние механические силы вызывают в материале накопление внутренней энергии упругих деформаций. Напряжение в куске возрастает до тех пор, пока в каком-либо месте вследствие концентрации напряжений, вызванных местными дефектами, они не превысят предела прочности. При этом начинается развитие трещины, сопровождающееся перераспределением энергии упругих деформаций, часть которых превращается в поверхностную энергию вновь образованных поверхностей. Последняя и является полезной энергией измельчения. Остальная энергия расходуется главным образом на упругие деформации сжатия и рассеивается в виде теплоты и других видов энергии.
Полная работа внешних сил при измельчении выражается уравнением П.А. Ребиндера
W= Wg + Wn = к-AV + а • AS,
где W — работа упругого деформирования объема разрушаемого куска; W — работа образования новых поверхностей; AV— изменение объема разрушаемого куска; AS— величина вновь образованной поверхности; км а — коэффициенты.
При больших размерах тела можно пренебречь работой образования поверхности и тогда уравнение,упрощается: W= к- AV, или W= кх • сР. Эти уравнения могут использоваться для анализа работы дробления как первого этапа измельчения до сравнительно крупных размеров кусков материала, на котором работа разрушения определяется работой упругого деформирования.
При малых размерах можно пренебречь работой упругого деформирования куска. Уравнение приобретает вид: Wn = ст • AS = = к2а • d2. Это уравнение может быть использовано для анализа тонкого измельчения.
На первой стадии сопротивляемость размолу определяется в основном пористостью материала, на второй — микроструктурой и минералогическим составом вещества (разрушение кристаллов). На третьей стадии сопротивляемость размолу увеличивается с ростом удельной поверхности и в дальнейшем подчиняется экспоненциальному закону вследствие агрегирования тонких частиц и их налипания на рабочие поверхности.
Образующиеся при измельчении частицы — сложные пространственные электрические системы, которые взаимодействуют с внешней средой. Образование новой поверхности обычно сопровождается появлением электрических зарядов, знак и величина которых зависят от природы измельчаемого вещества и размера частицы. По мере измельчения энергетические потенциалы частиц настолько возрастают, что происходит их самопроизвольное агрегирование с уменьшением удельной поверхности и увеличением комковатости и неоднородности продукта. В результате на третьей стадии измельчения большая часть энергии затрачивается не на измельчение исходного материала, а на разрушение вновь образованных агломератов.
Оптимизация в неконсервативных задачах упругой устойчивости
Воскресенье, сентября 13, 2009В предыдущих параграфах данной главы приведены решения задач оптимального проектирования конструкций, для исследования устойчивости которых применимы статические методы. Однако при проектировании существенно неконсервативных систем анализ устойчивости должен основываться на динамических критериях. Применение динамических подходов делает задачи оптимизации более сложными, и к настоящему времени получено решение сравнительно небольшого числа задач [8.14, 8.38, 8.40, 8.73, 8.79,, 8.80, 8.86, 8.89, 8.100].
Учитывая, что исследования в данном направлении находятся в начальной стадии, ограничимся здесь лишь обсуждением некоторых результатов, полученных в работе [8.59].
Изучение устойчивости линейных систем с распределенными параметрами основывается на исследовании уравнения (8.3) для амплитудной функции,, которое с учетом обозначения X = г со записывается в виде
[С + рК + ХВ + Х2А]и = 0. (8.121)
Собственной частоте X — Хяе + iX]m соответствуют комплексные (правая и левая) собственные функции и я v. Оператор К предполагается несамосопряженным. Динамическая потеря устойчивости (флаттер) реализуется, если хотя бы одна из характеристических кривых системы (8.121) в пространстве Хце, Xim, р пересекает ПЛОСКОСТЬ ^Re = 0 При Н6К0-
торых значениях р = рп, XJm = (Х1т)п.
Задача оптимизации заключается в максимизации критического значения параметра нагрузки рц за счет соответствующего выбора переменной проектирования h при заданном значении массы конструкции. От h зависят операторы системы (8.121).
Анализ чувствительности проводится с использованием представлений об обобщенном решении. Уравнение для амплитудной функции записывается в виде скалярного произведения
(у, [С + рК + ХВ + Х2А]и) = 0, (8.122)
причем предполагается дифференцируемость (8.122) по переменной h* Далее вычисляется вариация уравнения (8.122),, обусловленная варьированием переменной проектирования, т. е. заменой h на h + 8hv где 8h — малая вариация функции h. Учитывая, что варьирование осуществляется при критических значениях параметров, будем иметь
Ы № + РпЬК + 1 Ы/i ЬВ + (К1т)Ь 8А] ип) +
(8.123)
+ (vfl,Kufl) 8рп + (vfh [В + 2i (Xlm)fl А] ип) i (8XIm)fl = 0. Вводя обозначения Ане + ibIm = (vfh [8С + pffiK + i (Xlm)fl8В + (XIm)2t 8А]), КЯе + iKim = (vn, Kun), FRe + iFlm = (vfl, [D + 2i(onA] un\ уравнение в вариациях запишем в более компактном виде: Ане + *AIm + (?Re 4- iKlm) брп + (FRe + iFlm) i (8Xlm)n = 0.
Анализ устойчивости и оптимального проектирования упругих элементов
Воскресенье, сентября 13, 2009При анализе устойчивости и оптимальном проектировании упругих элементов конструкций из условия максимальности критических нагрузок потери устойчивости возникают известные трудности, обусловленные появлением в ряде случаев кратных критических значений [1.2, 8.13, 8.26, 8.28, 8.29, 8.39, 8.57, 8.62, 8.75, 8.77]. В этих случаях существенных упрощений можно добиться 8а счет декомпозиции исходного спектра на сумму вспомогательных спектров, не содержащих кратных собственных значений.
Опишем один из способов декомпозиции спектра, основанный на использовании свойств симметрии и разделении форм потери устойчивости на симметричные и антисимметричные [1.2, 8.13]. Соответствующее разделение по признаку симметрии собственных функций применяется к собственным значениям. При этом устраняются особенности, связанные с кратностью нагрузок, и исходная задача оптимизации редуцируется к классической задаче максимизации простых собственных значений, для решения которой могут использоваться ранее развитые алгоритмы [2, 10, 15, 17,
23, 24, 50, 51].
Опишем подробнее данный подход. Принимая при исследова* нии устойчивости консервативной упругой системы статический метод Эйлера, приходим к однородной краевой задаче на собственные значения
Си — рКи = 0,
(Nu)x==±l = 0,
(8.11) (8.12)
где х ЕЕ [— Z, /]; и (х) — вектор-функция, определяющая равновесное состояние упругого элемента конструкции; h = h (х) — управляющая вектор-функция; р — собственное значение (параметр нагрузки); С (я, h (#)), К (х, к (х)), N (х, h (х)) — операторы дифференцирования по независимой переменной х. Операторы С, К, N линейные, причем коэффициенты операторов зависят от управляющей функции h. Линейные операторы С и К с граничными условиями (8.12) предполагаются самосопряженными и положительно определенными. Кроме того, считается, что рассматриваемые распределения управляющей функции h симметричны относительно точки х = 0, т. е. h (х) = h (— х), и что при симметричном распределении h дифференциальные операторы уравнения (8.11) с граничными условиями (8.12) не меняют своего вида при преобразовании инверсии х -> — х.
Минимальное собственное значение рг краевой задачи (8.11), (8.12) определяет величину критической силы потери устойчивости. Для вычисления минимального значения рх воспользуемся вариационным принципом Рэлея:
рг = ттиФ (и, К),
ф (щ h) = {Си, и)1{Ки, и).
(843) (8.14)
Круглыми скобками в правой части (8.14) обозначены скалярные произведения соответствующих элементов. Минимум (8.13) находится на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям (8.12).
Рассматриваемая задача оптимизации заключается в максимизации величины критической силы потери устойчивости и отыскании наилучшего в этом смысле распределения управляющей переменной:
р% = max ръ (8.15)
h(= Rh.
(8.16)
Максимум в (8.15) разыскивается на симметричных распределениях h (х)щ принадлежащих допустимому множеству Rh.
Критерии упругой устойчивости
Воскресенье, сентября 13, 2009Одним из основных требований, учитываемых при проектировании упругих конструкций, является их устойчивость. Особенно существен учет этого требования при оптимальном проектировании тонкостенных конструкций из высокопрочных материалов.
Понятие упругой устойчивости связано с представлениями о поведении конструкции после приложения к ней воздействий. Изучение, изменений геометрии конструкции во времени является целью любого исследования устойчивости. Поэтому наиболее общим является динамический подход к проблеме устойчивости. Однако для отдельных достаточно широких классов задач оказывается допустимым проведение анализа устойчивости, основанного на статических представлениях. Концепция статического подхода к изучению задач упругой устойчивости была предложена Л. Эйлером [3.5].
Опишем кратко некоторые подходы и критерии, применяемые для оценки упругой устойчивости элементов конструкций (более подробные сведения содержатся в [8.3, 8.4, 8.8, 8.16—8.20, 8.36, 5.37, 8.41, 8.46-8.49, 8.52, 8.84]).
Пусть конструкция находится под действием статических на-трузок, пропорциональных параметру р, и совершает малые упругие колебания в окрестности положения равновесия. Функция w ?), описывающая смещения конструкции относительно нагруженного, но невыпученного состояния, удовлетворяет дифференциальному уравнению
Awu + Bwt + Cw — pKw = 0. - (8.1)
Reo;
Здесь А, В, С, К — линейные дифференциальные операторы; р — параметр нагрузки; нижним индексом t обозначено частное дифференцирование по времени. Инерционный оператор А представляет собой симметричную матрицу массовых коэффициентов. Жесткостной оператор С характеризует статическую реакцию упругой конст- Imсо, рукции, и его применение к функции w сводится к дифференцированию этой функции по пространственным переменным. Оператор К включает дифференцирование как по временной, так и по -пространственным переменным. Представим функцию состояния конструкции w (#, t) в виде
w(x, t) = u(z)e*"* (8.2) рис 8Л
и подставим (8.2) в (8.1). В результате получим уравнение для амплитудной функции и (х):
- ы2Аи + шВи + Си — рКи = 0. (8.3)
Об упругой устойчивости конструкции судят по величине собственных значений со = со (р) уравнения (8.3). Конструкция не теряет устойчивости, если все собственные значения со (р) имеют положительные мнимые части или в крайнем случае действительны. Потеря устойчивости происходит, если мнимая часть хотя бы одного из собственных значений становится отрицательной. На рис. 8.1 кривые 1 и 2 отвечают статической и динамической формам потери устойчивости. Собственные значения со (р), представленные кривой 7, при возрастании параметра р попадают на нижнюю полуплоскость, проходя через начало координат (Re (о = 0, Im со = 0). Потеря устойчивости происходит при монотонном во времени нарастании (возмущений) и носит статический характер. Кривая 2 соответствует динамической форме потери устойчивости. Динамический режим потери устойчивости характеризуется возникновением колебаний с нарастающими амплитудами.
Условная оптимизация
Воскресенье, сентября 13, 2009Задача условной оптимизации (7.176), (7.177) решается итерационным методом. Сначала на заданном отрезке времени [0, Т] ищется решение системы уравнений (7.176) при заданных параметрах проектирования ht. По формуле (7.166) вычисляются истинные перемещения точек конструкции и их квадраты (7.168). Из полученного конечного набора значений J*k выбирается максимальное. Фиксируется номер точки / и момент времени для которых был достигнут максимум. Затем интегрируется система уравнений для сопряженных переменных (7.173) с начальными условиями (7.174). По формулам для улучшающих вариаций параметров проектиро-вания, полученных методом проектирования градиентов на основе {7.175), (7.177) [2], вычисляются bht. После определения новых значений параметров проектирования ht осуществляется следующая итерация. Итерации завершаются, если контролируемая невязка в выполнении необходимых условий оптимальности оказывается достаточно малой. v
9* 243
В процессе варьирования максимальный прогиб может достигаться во многих точках конструкции в разные моменты времени. Поэтому приведенные формулы анализа чувствительности должны быть обобщены с учетом возможности появления кратных максимумов функционала жесткости. В этом случае / = Ja$ представляет собой максимальное значение прогибов, достигаемое при заданных значениях параметров проектирования в моменты времени Ц (р = 1, 2, s) в точках Ра$. Для каждого фиксированного (V индекс а, нумерующий точку реализации максимального прогиба, принимает значения а = 1, 2, г$. Общее количество точек, в которых в разные моменты времени достигается максимум прогиба, равно 2гр = г (Р = 1, s). Заметим, что при сделанных предположениях функционал жесткости оказывается в общем случае недифференцируемым. Поэтому при решении задачи оптимизации для построения улучшающей вариации следует дифференцировать функционал по направлениям и обобщить соотношения, определяющие сопряженные переменные. В рассмотрение вводятся г сопряженных вектор-функций уа^, и для их отыскания формулируется г задач Коши
A*v*& — B*v*b + = 0, (7.178)
v«t (Ц) = О, А*№ (*р) = 2 (Da*u (*р)) ?ар. (7.179)
В этом случае для вариации функционала жесткости справедлива формула
б/ = g{maxa,p I^ffia+tjiu+HLu) dt}б/г,. (7.180)
Наличие кратных максимумов функционала прогиба усложняет процедуру решения задачи. Так, после выделения множества точек Ра$, в которых достигается максимум, необходимо решение г задач (7.178), (7.179) для определения сопряженных переменных и выражение для улучшающей вариации строится по формуле
8j-hz ** $vai^u+^-u+^u)dt) 8ki>(7:i8i)
a, p 0 1
где — вещественные числа, удовлетворяющие условиям Ь°*>0, 2fc* = l. (7.182)
a, 0
Следует иметь в виду, что максимум квадрата прогиба конструкции может достигаться на целом отрезке времени t2] (0 < < *i< ?2< Л- Для вычисления вариации функционала в этом случае необходимо решать сопряженную задачу (7.173), зависящую от t$E= Itu t2] как от непрерывно изменяющегося параметраж и определить сопряженную функцию как функцию двух переменных и — v (t, t$). В выражении для вариации функционала (7.180) максимум должен браться по Однако при проведении расчетов с дискретизацией временной переменной используются формулы (7.181), (7.182).