При анализе устойчивости и оптимальном проектировании упругих элементов конструкций из условия максимальности критических нагрузок потери устойчивости возникают известные трудности, обусловленные появлением в ряде случаев кратных критических значений [1.2, 8.13, 8.26, 8.28, 8.29, 8.39, 8.57, 8.62, 8.75, 8.77]. В этих случаях существенных упрощений можно добиться 8а счет декомпозиции исходного спектра на сумму вспомогательных спектров, не содержащих кратных собственных значений.
Опишем один из способов декомпозиции спектра, основанный на использовании свойств симметрии и разделении форм потери устойчивости на симметричные и антисимметричные [1.2, 8.13]. Соответствующее разделение по признаку симметрии собственных функций применяется к собственным значениям. При этом устраняются особенности, связанные с кратностью нагрузок, и исходная задача оптимизации редуцируется к классической задаче максимизации простых собственных значений, для решения которой могут использоваться ранее развитые алгоритмы [2, 10, 15, 17,
23, 24, 50, 51].
Опишем подробнее данный подход. Принимая при исследова* нии устойчивости консервативной упругой системы статический метод Эйлера, приходим к однородной краевой задаче на собственные значения
Си — рКи = 0,
(Nu)x==±l = 0,
(8.11) (8.12)
где х ЕЕ [— Z, /]; и (х) — вектор-функция, определяющая равновесное состояние упругого элемента конструкции; h = h (х) — управляющая вектор-функция; р — собственное значение (параметр нагрузки); С (я, h (#)), К (х, к (х)), N (х, h (х)) — операторы дифференцирования по независимой переменной х. Операторы С, К, N линейные, причем коэффициенты операторов зависят от управляющей функции h. Линейные операторы С и К с граничными условиями (8.12) предполагаются самосопряженными и положительно определенными. Кроме того, считается, что рассматриваемые распределения управляющей функции h симметричны относительно точки х = 0, т. е. h (х) = h (— х), и что при симметричном распределении h дифференциальные операторы уравнения (8.11) с граничными условиями (8.12) не меняют своего вида при преобразовании инверсии х -> — х.
Минимальное собственное значение рг краевой задачи (8.11), (8.12) определяет величину критической силы потери устойчивости. Для вычисления минимального значения рх воспользуемся вариационным принципом Рэлея:
рг = ттиФ (и, К),
ф (щ h) = {Си, и)1{Ки, и).
(843) (8.14)
Круглыми скобками в правой части (8.14) обозначены скалярные произведения соответствующих элементов. Минимум (8.13) находится на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям (8.12).
Рассматриваемая задача оптимизации заключается в максимизации величины критической силы потери устойчивости и отыскании наилучшего в этом смысле распределения управляющей переменной:
р% = max ръ (8.15)
h(= Rh.
(8.16)
Максимум в (8.15) разыскивается на симметричных распределениях h (х)щ принадлежащих допустимому множеству Rh.