В вариационном исчислении и теории оптимального управления рассматриваемые задачи обычно заключаются в минимизации максимизации некоторого скалярного функционала при удовлетворении ряду ограничений. Задача одновременной оптимизации нескольких функционалов или одного вектор-функционала в рамках традиционного определения оптимальности оказывается в общем случае некорректной задачей. Постановка корректных задач оптимизации векторных функционалов, называемых многокритериальными задачами, становится возможной только при расширении классического определения экстремума. Естественным обобщением и расширением этого понятия является концепция Парето-оптимальных решений. Применение концепции оптимальности по Парето позволяет, в частности, расширить круг проблем, рассматриваемых в теории оптимального проектирования, и исследовать принципиальные вопросы проектирования конструкций оптимальных в смысле нескольких критериев качества. На основе многокритериальной теории достигается понимание некоторых закономерностей в формировании «естественных» конструктивных форм [1.40J.
Приведем определение оптимальности в смысле Парето. Пусть система (конструкция) характеризуется г критериями качества Ji{h), / = 1, . . г, зависящими от переменной проектирования Ь,ЕЕЖ, где Ж — множество допустимых управлений. Обозначим через J (К) векторный функционал J (К) = {J1 (/г), . . ., Jr(h)} и будем рассматривать задачу минимизации этого функционала. Переменная проектирования е= Ж является оптимальной в смысле Парето, если из неравенства / (h)
Для оптимальных в смысле Парето решений ЕЕ Ж справедливо следующее утверждение. При любом фиксированном / решение минимизирует функционал /7, рассматриваемый на множестве допустимых решений h ЕЕ Ж, при условии, что остальные функционалы Jt(i Ф /) не превышают их значений для h = /ц, т. е.
/,?(*•) = min/,-('О. (1-40) Jj
Решение многокритериальных задач и отыскание оптимальных в смысле Парето переменных проектирования может быть сведено к минимизации некоторой скалярной функции, определяемой равенством
G(h) = c1J1 (h) + c2J2 (h)+ . . . + crJr (h). (1.42)
С использованием функции G (h) достаточное условие оптимальности по Парето формулируется следующим образом.
Предположим, что с > 0 и h% ЕЕ Ж минимизирует G(h) на множестве h <=Е Ж. Тогда ЕЕ Ж является оптимальным в смысле Парето решением.
Archive for the ‘Теории и методы оптимизации конструкций’ Category
Основные понятия многокритериальной оптимизации
Воскресенье, мая 23, 2010Понятие оптимальности в смысле Парето
Воскресенье, мая 16, 2010Применение понятия оптимальности в смысле Парето позволяет сформулировать следующую общую задачу проектирования. Пусть поведение конструкции описывается краевой задачей (1.1) и системой г функциональных характеристик Jh (и, h, q), к = = 1, 2, ... г. На переменные проектирования h = {hl4 . . ., hn} и функции состояния и = {и,!, . . ит) наложены ограничения (1.4), отражающие требования, предъявляемые к проектируемой конструкции. Векторный критерий качества конструкции ,f включает s скалярных функционалов и т. е. f = {fn . : ., §s). Скалярные функционалы представляют собой заданные функции от рассматриваемых функциональных характеристик
$i = ^«(Л, • • •> ^г), « = 1, 2, . . s. (1.43)
Многокритериальная задача проектирования конструкции заключается в отыскании множества переменных проектирования, таких, что
f -> min/,. (1.44)
Для задач' многокритериальной оптимизации характерным является существование не единственного решения, а целого множества оптимальных в указанном смысле решений, так называемого множества Парето. Построение множества Парето дает важную информацию о возможностях совершенствования конструкций и позволяет выявить скрытые резервы оптимизации.
Вопрос о выборе на множестве Парето единственной функции проектирования может быть решен при использовании соответствующих представлений многоуровней оптимизации. Так, например, при двухуровневой оптимизации на первом уровне решается многокритериальная задача и находится множество функций проектирования (оптимальных в смысле Парето решений). На втором же уровне при помощи дополнительно введенного скалярного критерия на полученном множестве находится единственное оптимальное решение.
Заметим, что задачи, в которых часть функционалов $ г, • • • .. должна быть минимизирована, а часть . . .,,fs — максимизирована, также формально представляются в виде (1.1), (1.4), (1.43), (1.44) с векторным функционалом, все компоненты которого подлежат минимизации. Для этого достаточно по указанным скалярным функционалам J'i, . . ., !fs определить векторный критерий качества следующим образом:
.f = {.fi* fh -fin,.. —&*}- (1-45)
Очевидно, что минимизация функционала (1.45) при указанных выше дополнительных условиях будет эквивалентна задаче минимизации функционалов $х, . . ., §г и максимизации функционалов .f /4-1 ,. . ., fs.
Введение вспомогательных переменных проектирования
Воскресенье, мая 9, 2010На переменную проектирования в задачах оптимизации конструкций часто накладываются явные ограничения, не зависящие от функции состояния и рассматриваемых функционалов. Так, при отыскании оптимальных распределений толщин h балки, пластинки или оболочки выставляется ограничение /г>0, вытекающее из физического смысла рассматриваемой переменной проектирования. В тех задачах оптимизации, для которых оптимальное распределение толщин обращается в нуль во внутренних точках или внутренних линиях области определения Q, учет этого неравенства оказывается затруднительным. Поэтому представляются полезными специальные приемы, основанные н& идеях Валентайна введения вспомогательных функций, позволяющие «автоматически» учитывать указанное условие. Например, если ввести новую переменную проектирования ф, связанную с h соотношением h = ф2, то, очевидно, для любых действительных значений ф будет выполнено неравенство h > 0.
При решении конкретных задач оптимизации был предложен целый ряд способов введения вспомогательных переменных проектирования, существенно упрощающих процесс построения оптимального решения. В книге [2.13] для ограничения на переменную проектирования вида
0<*
Ф = ^niax | Sin ф |, Ф = hmay | COS ф |,
Ф = V2 /lmax (1 + (2/я) arctg ф);
Ф = V2 йщах (1+ (2/л) arcctg ф), Ф = (2/я) /*тах | arctg ф |,
Ф = Йтах^2; Ф = ^max (1 - ^2), Ф = ЛщахНЧ
Ф = ^max (1 - e-W). (2.2)
Заметим что при помощи обратных тригонометрических функций вспомогательные управляющие переменные вводились в [2.9].
Несколько более общие условия, накладываемые на управляющую функцию (распределение толщин), имеют вид
Amin < h (tf, у) < AJnax. (2.3>
Методы учета этих неравенств разрабатывались во многих работах по оптимальному проектированию. Укажем здесь лишь-тригонометрический способ учета неравенств (2.3) [2, 2.3]
h = а + р sin ф, (2 4)
а = 1/2 (Л-шах + ^min)> Р = XU (^max — ^min)i
широко использовавшийся при решении прикладных задач. Нетрудно проверить, что подстановка h из (2.4) в (2.3) приводит к неравенствам, которые выполняются для любых значений а.
Кроме неравенств (2.4), в задачах оптимального проектирования часто рассматриваются изопериметрические условия вида
§AdQ = l.
Это условие также можно исключить из рассмотрения, если ввести вспомогательную управляющую функцию ф, связанную с h соотношением
Л = ср /JcpdQ. (2.6)
Непосредственной подстановкой h из (2.6) в (2.5) убеждаемся, что рассматриваемое равенство оказывается выполненным для любых значений ф.
Заметим, что более общее интегральное ограничение
$XAdQ = l, (2.7)
где у — заданная функция, можно исключить из рассмотрения при помощи следующей подстановки:
Л = (1/ц($2)х) (1 -*-<•). (2.8)
Через |я (Q) обозначена мера множества Q.
Завершая краткое рассмотрение различных способов исключения ограничений, отметим, что введение вспомогательной переменной проектирования можно произвести неединственным образом. Этим обстоятельством можно пользоваться при численном решении задач для улучшения сходимости алгоритмов.
Способы формализации ограничений
Суббота, мая 1, 2010В теории оптимального проектирования на поведение оптимизируемой конструкции накладываются как ограничения, записываемые в виде неравенств, так и ограничения типа равенств. Современные методы оптимального проектирования позволяют в принципе учитывать ограничения обоих типов. Однако наиболее просто реализуем во многих методах учет ограничений типа равенств, и поэтому в большинстве работ по оптимизации конструкций применяется сведение неравенств к ограничениям типа равенств. С этой целью применяются специальные преобразования и введение вспомогательных переменных. Укажем некоторые способы, наиболее часто используемые в теории оптимального проектирования.
Применение операции вычисления абсолютного значения величины позволяет записать ограничения типа неравенств (1.4) в эквивалентном виде:
Ь + \Ъ\=0. (2.9)
Индекс / здесь и ниже в данном параграфе принимает значения от 1 до к.
Система равенств
1 + sign ypj = 0 (2.10)
эквивалентна соотношениям (1.4).
Нетрудно заметить, что если ограничения на поведение конструкции заданы не в каноническом виде (1.4), а в виде двусторонних неравенств 0<^tyj^Cj(cj — заданные константы), то прием, аналогичный (2.9), приводит к равенствам
?/-|Ф/1 = 0, (2.11)
% - cj + | Ь — cj\= 0, а прием, сходный с (2.10),— к равенствам
1 - sign ypj = 0, (2.12)
1 + Sign (l|); — Cj) = 0.
Другая группа приемов сведения ограничений типа неравенств к ограничениям типа равенств основана на введении вспомогательных переменных. Введением вспомогательных переменных % ограничения типа неравенств (1.4) могут быть записаны в виде
% + х! = 0, (2.13)
где %j (х) — подлежащие определению неизвестные вещественные функции (— оо < Xj < °°)-
Для системы ограничений в виде двухсторонних неравенств
Ifcmin < %max (2.14)
следующий способ введения вспомогательных переменных %у позволяет осуществить преобразование к ограничениям типа равенств (—оо <^ %j <; оо):
— *jmin) (%max ~ fy) — Xi = °- (2Л5)
Можно указать и другие способы сведения ограничения типа неравенств к ограничениям типа равенств, использовавшиеся в работах по оптимальному управлению и оптимизации конструкций. Обсуждавшиеся в данном параграфе приемы сведения неравенств к равенствам позволяют применять для исследования развитые методы классического вариационного исчисления.
О замене локальных характеристик интегральными функционалами
Суббота, апреля 24, 2010Задачи оптимизации конструкций можно условно разделить по типу оптимизируемых функционалов и виду ограничений на две группы. К первой группе отнесем задачи оптимизации, для которых критерий качества и ограничения выражаются через интегралы от искомых функций. При этом ограничения имеют вид «изопериметрических» равенств и неравенств. Наиболее часто в работах по оптимальному проектированию встречаются такие интегральные характеристики, как вес, энергия деформации (податливость), сила потери устойчивости, частота собственных колебаний. Отнесем задачи оптимизации ко второй группе, если критерий качества и рассматриваемые ограничения имеют локальный (неинтегральный) характер. К этой группе отнесем смешанные задачи, когда в рассмотрение принимаются как интегральные, так и локальные характеристики конструкции. Типичными локальными функционалами, минимизируемыми при оптимальном проектировании конструкций, являются, например, максимальное смещение в деформируемом теле и максимальное значение интенсивности напряжений.
Большая часть результатов, полученных в теории оптимального проектирования, относится к задачам первой группы. Это объясняется прежде всего тем, что для решения задач с интегральными функционалами существуют известные методы классического вариационного исчисления и нелинейного программирования. Применение этих методов позволило для ряда задач выполнить аналитические и численные исследования и обнаружить интересные закономерности.
Для некоторых типов задач с интегральными функционалами исследования существенно упрощаются за счет того обстоятельства, что уравнения равновесия оказываются «естественными» для рассматриваемых функционалов и допускается исключение дифференциальных связей [2, 2.2, 3.17].
Меньшее число работ посвящено исследованию двумерных задач с локальными функционалами. Главной причиной этого является отсутствие достаточно общих эффективных методов решения для задач второй группы. Типичные трудности решения этих -задач заключаются в следующем. Например, если решается задача минимизации максимального прогиба пластинки и отыскания оптимального распределения ее толщин, то вывод необходимых условий оптимальности и их численная реализация осложнены тем, что заранее неизвестна точка максимального прогиба. Положение же этой точки существенно зависит не только от вида нагрузки, но и от искомого распределения толщин (переменной проектирования). Если же рассматриваются задачи оптимизации с ограничениями типа неравенств, наложенными на локальные характеристики, то аналогичные трудности связаны с определением положения точек или областей, для которых в рассматриваемых ограничениях реализуется знак строгого равенства. Существенные упрощения при решении задач второй группы достигаются в тех случаях, когда задано положение точек, в которых вычисляется значение локальных характеристик конструкции или положение точки экстремума функционала заранее известно, например, из условий симметрии задачи.
Заметим, что, проводя сопоставление интегральных и локаль ных функционалов, мы прежде всего имеем в виду неодномерные задачи оптимального проектирования.
Требования, предъявляемые к конструкции
Суббота, апреля 17, 2010Требования, предъявляемые к конструкции, приводят к ограничениям, накладываемым на управляющие переменные и функции состояния. Эти ограничения составляют систему неравенств, записываемых в векторной форме:
я|) (х, и, h, q, Jx, . . ., /г)<0. (1.4)
Компоненты вектора г^^^^, . . являются заданными
функциями аргументов. Различные формы записи ограничений (1.4) обсуждаются в параграфе 2.2. В конкретных задачах в качестве неравенств (1.4) могут выступать ограничения разных типов на напряжения, деформации, перемещения, интегральную жесткость или податливость, а также на собственные частоты колебаний и значения критических параметров потери устойчивости.
Один из рассматриваемых функционалов или их функция f (Jx, . . ., Jг) принимается в качестве оптимизируемого функционала.
Задача оптимизации заключается в отыскании функции h(x), доставляющей минимум (максимум) функционалу
J = f(Ji, • • Jr) (1.5)
и удовлетворяющей соотношениям (1.1)—(1.4).
Заметим, что число рассматриваемых функционалов и накладываемых ограничений, которые предполагаются непротиворечивыми, может быть в принципе сколь угодно большим. Оптимизируемый функционал или критерий качества конструкции в каждой конкретной задаче вида (1.1)—(1.5) только один. Так, например, при изгибе балки переменной толщины могут быть поставлены задачи минимизации веса балки при ограничении на прогибы или минимизации максимального прогиба при заданном весе. Однако задача одновременной минимизации двух указанных функционалов при использовании классического определения оптимальности смысла не имеет. Корректная постановка задач оптимизации с векторным критерием качества становится возможной при использовании понятия оптимальности в смысле Парето или других понятий многокритериальной оптимизации. Основные представления многокритериальной оптимизации изложены в большом числе пуб-ликаций[49,1.32, 1.39, 1.40]. Однако подходы к оптимальному проектированию конструкций, основывающиеся на неклассическом определении экстремума, еще только начинают развиваться.
В современных исследованиях по оптимальному проектированию было выяснено, что формулировки задач оптимизации в виде (1.1) — (1.5) в ряде случаев оказываются ограничительными. Это объясняется тем, что при определенных условиях для задач проектирования не существует оптимальное решение А*, гг*, хотя и существует минимальное значение критерия качества /*. Кроме того, при проектировании часто наибольший интерес представляет не отыскание А* и и*, а выявление тенденций в формировании оптимального решения и чувствительности функциональных характеристик к вариациям параметров. Поэтому представляют интерес расширенные постановки задач проектирования, более корректные с математической точки зрения и позволяющие проследить весь процесс формирования решения на основе использования современных методов анализа чувствительности.
О постановках задач оптимизации конструкции
Суббота, апреля 10, 2010Рассматриваемые в теории оптимального проектирования задачи заключаются в определении формы, внутренних свойств и условий работы конструкций, доставляющих экстремум (минимум или максимум) выбранной характеристики конструкций при ряде дополнительных ограничений. Строгая постановка задач оптимизации конструкций включает формулировку основных определяющих уравнений (выбор модели), оптимизируемого функционала, ограничений на функции состояния и искомые управляющие переменные. С математической точки зрения эти задачи могут быть классифицированы в зависимости от типов рассматриваемых уравнений и граничных условий, вида оптимизируемых функционалов и учитываемых ограничений, размерности задачи, способов вхождения переменных проектирования в основные соотношения (управление коэффициентами и границами областей), полноты информации об исходных данных (задачи с полной и неполной информацией), характера экстремума (одноэкстре-мальные и многоэкстремальные задачи) и способа определения оптимума (однокритериальные и многокритериальные задачи) и других обстоятельств.
В этом параграфе рассмотрим классические постановки задач оптимального проектирования. Некоторые обобщения будут изложены в параграфах 1.5—1.8. Существенным элементом постановки задачи является, как уже отмечалось выше, выбор механической модели. Сначала выбираются переменные состояния и и уравнения
Цх, и, h, g)=0, (1.1)
связывающие эти переменные с физическими и геометрическими параметрами конструкции и внешними воздействиями. Здесь гг = = {^(д:), . . ., ит(х)} — вектор-функция, определяющая состояние конструкции. Независимая переменная х={хг, . . ., хе} принимает значения из области Q. Через Lb (1.1) обозначен дифференциальный оператор по пространственным координатам xt. Равенство (1.1) можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений в общем случае нелинейных. Основное внимание в книге уделяется теориям, в которых предполагаются выполненными условия геометрической и физической линейности. В этих предположениях поведение конструкций описывается операторами, линейными относительно переменных состояния.
Оператор L зависит от вектор-функции проектирования h — = {h1(x),. . ,,hn(x)}n вектор-функции внешних воздействий q. Натуральные числа т, п, е заданы. Здесь предполагается, что граничные условия, определяющие способ закрепления и нагру-жения конструкций, включены в оператор L.
Система уравнений при заданных нагрузках и параметрах конструкции должна быть замкнутой и определять переменные состояния, характеризующие напряженное и деформированное состояние конструкций. Отыскание переменных состояния при заданных функциях проектирования будем называть прямой задачей.
Если уравнения, определяющие состояние конструкции, являются отражением физических закономерностей, то выбор переменных проектирования рассматриваемых функционалов, в том числе оптимизируемого функционала (критерия качества) и системы ограничений, диктуется назначением и условиями работы конструкции, технологическими возможностями ее создания.
Функции ht(x) определяют форму и физико-механические свойства материала конструкции. В качестве ht(x) могут, например, выбираться распределения толщин и площадей сечений тела, функции, определяющие положение срединных поверхностей криволинейных стержней и оболочек, распределение концентрации армирующего материала по конструкции, углы, задающие ориентацию осей анизотропии в каждой точке упругого тела.
Кроме функций состояния и управляющих переменных, в задачах оптимального проектирования фигурируют функциональные характеристики — функционалы, зависящие от и, h, q: Jx — =J1(u,?i, q), . . ., Jr=Jr(u, h, q). В оптимальном проектировании рассматриваются функционалы двух типов: интегральные функционалы
Ji=lh (х> и> h> 9) dQ, i = 1, ..., гь (1.2)
и локальные функционалы
Jj = mdiXx fj(x, и(х), h (x), q (*)), ; = n+l, . . ., r±+r2. (1.3)
Через fi обозначены заданные дифференциальные выражения, ari> г2— заданные целые числа, причем r1+r2 = r. Интегрально или посредством комбинации интегралов вида (1.2) представляются такие характеристики конструкции, как вес, энергия упругих деформаций (податливость), частоты собственных колебаний, критическая нагрузка, под действием которой конструкция теряет устойчивость [1.11, 1.12, 1.17, 1.18]. Локальными характеристиками являются величина максимального прогиба, интенсивность напряжений [3, 28, 32].
Геометрические аспекты выбора расчетной схемы
Суббота, апреля 3, 2010Касаясь геометрических аспектов выбора расчетной схемы, отметим только наиболее широко применяемые в теории оптимального проектирования схематизации: сплошное трехмерное тело, характерные размеры которого во всех трех направлениях имеют одинаковый порядок; тела, один из размеров которых много больше двух других (балки, колонны, арки и стержневые системы); тела, один из размеров которых много меньше двух других (оболочки и пластинки).
В теории оптимального проектирования различные ситуации возникают в зависимости от того, проектируется ли традиционная или принципиально новая конструкция. В первом случае имеется полезная информация о прототипах и накопленный опыт может использоваться в виде «опорных» решений и начальных приближений для процесса оптимального проектирования. В этом случае незначительное число параметров проектирования является искомым и оптимизация конструкции сопряжена с обсчетом сравнительно небольшого числа вариантов. Во втором случае конструкция характеризуется большим числом параметров проектирования и процесс оптимизации связан с рассмотрением значительного числа допустимых вариантов (проектов).
Степень фиксации или, наоборот, незаданность параметров, определяющих облик или внутреннюю структуру конструкций,— существенный фактор формирования расчетной схемы. Этап выделения в расчетной схеме искомых управляющих переменных является чрезвычайно ответственным, и им во многом определяется эффект оптимизации. Введение параметров проектирования часто обусловливает дополнительные требования к расчетной схеме. Поясним сказанное на примере оптимального проектирования упругих оболочек переменной толщины. Пусть при оптимизации используется классическая теория тонких упругих оболочек. Если в результате оптимизации получаются распределения толщин, имеющие большие градиенты по пространственным переменным или другие особенности (разрывы, «нулевые» или «бесконечные» толщины), то классическая расчетная схема перестает быть надежной и требуется внесение соответствующих коррекций. Возможно осуществление коррекций двух типов.
1. Явное введение в расчетную схему ограничений, диктуемых принятой теорией и их учет при проектировании. Эта операция приводит к «стеснению» множества проектов.
2. Расширение и обобщение классических расчетных схем, учитывающее тенденции изменения проектов и позволяющее анализировать более широкий класс конструкций.
Важную роль при выборе расчетной схемы для задачи оптимального проектирования играет априорная информация о свойствах искомого решения. Информация о модели, знание принципиальных свойств решения, а также учет гипотез, положенных в ее основу, позволяют при постановке задач оптимизации выделить существенные ограничения и отбросить «второстепенные» и тем самым привести задачу к такому виду, что ее можно решить имеющимися численными ими даже аналитическими методами. Поэтому большая часть результатов в оптимальном проектировании относится к хорошо изученным расчетным схемам. Часто, однако, оказывается затруднительным «угадать» заранее свойства искомого оптимального решения и задача оптимизации оказывается сформулированной таким образом, что получаемые решения нарушают гипотезы, положенные в основу самой модели. Так, в ряде решавшихся задач проектирования пластин искомое распределение толщин обладало большими градиентами, что нарушает предположения, положенные в основу теории Кирхгофа. Другие известные особенности при использовании классических моделей пластин и оболочек связаны с появлением на оптимальных решениях нулевых и бесконечных толщин. Поэтому при выявлении отклонений от модели и нарушении гипотез, положенных в основу расчетной схемы, требуется введение в систему соотношений, используемых при проектировании дополнительных ограничений, например в задаче об изгибе пластинки — дополнительных ограничений на толщины. Выход из указанной ситуации возможен и на основе обобщения модели, заключающегося в «смягчении» гипотез и построении расчетной схемы для более широкого класса конструкций, включающего ранее недопустимые проекты. Таким образом, выбор модели и ее развитие представляют собой важные аспекты процесса проектирования.
Выбор расчетной схемы в теории оптимального проектирования
Пятница, марта 26, 2010В теории оптимального проектирования изучаются вопросы наилучшего выбора силовой схемы, формы, свойств материалов и условий работы конструкции, исследуются общие закономерности экстремальных решений и развиваются эффективные методы оптимизации. В результате исследований по оптимальному проектированию выясняются предельные возможности улучшения конструкций, оценивается качество традиционных (неоптимальных) сооружений и выявляются наиболее эффективные способы их совершенствования. Теорию оптимального проектирования отличает широкое разнообразие постановок задач [2, 24, 37— 41]. Это объясняется тем, что и уравнения, определяющие нагру-жение и деформирование конструкции, и требования, предъявляемые к ее механическим характеристикам, существенно отличаются при рассмотрении различных типов конструкций (балки, колонны, криволинейные стержни, пластинки, оболочки), реологических свойств (упругость, пластичность, ползучесть), внешних воздействий (поверхностные и объемные силы, статические и динамические нагрузки, „мертвые силы" и силы, зависящие от поведения самой конструкции, тепловые воздействия), видов управляющих переменных (форма конструкции), предположений о степени полноты информации об условиях работы конструкции (задачи с неполной информацией о виде внешних воздействий и способах закрепления конструкции). Точность модели и исходных данных также влияет на постановку задач.
Вопрос о выборе расчетной схемы (модели) является основным как при анализе конструкции, так и при ее оптимизации. Поэтому оптимальное проектирование невозможно без предварительной выработки представлений о существенных и несущественных аспектах поведения конструкции, схематизации условий функционирования и различного рода упрощений, сохраняющих адекватность схемы реальной конструкции. Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы. Такое определение расчетной схемы дается в курсах сопротивления материалов [19]. Выбор расчетной схемы, по существу, неединствен.
В некоторых случаях несколько различных схем может быть предложено для одного и того же объекта. В то же время одной расчетной схеме может ставиться в соответствие много реальных объектов.
При оптимальном проектировании конструкций стремятся применять расчетные схемы, позволяющие единственным образом определить как существенные величины напряженно-деформированного состояния, так и искомые переменные проектирования. Однако этого не всегда удается достигнуть из-за отсутствия точной информации о внешних воздействиях, несовершенств изготовления изделия, разброса параметров, характеризующих материал конструкции и других факторов неполноты информации. Для адекватной схематизации в этой ситуации целесообразно смягчение требований к точности описания реального объекта и принятие либо схемы расчета конструкции на наихудший случай, либо схемы стохастического описания конструкции. Это так называемые гарантированный и вероятностный подходы.
Введение в оптимизацию конструкций
Пятница, марта 19, 2010Теория оптимального проектирования получила в последнее время значительное развитие в связи с решением стоящих перед механикой важных задач снижения материалоемкости конструкций и улучшения их механических характеристик. Расширились и сами представления о наилучших в том или ином смысле конструкциях и условиях их функционирования. Были разработаны методы численной оптимизации, позволяющие эффективно оценивать чувствительность основных характеристик конструкций к изменениям параметров проектирования и анализировать способы формирования оптимальных решений. Достигнутые результаты позволили, в частности, широко использовать методы оптимизации при разработке систем автоматизированного проектирования. Однако еще многие проблемы оптимального проектирования не получили решения и по ним в настоящее время ведутся интенсивные исследования.
В книге наряду с изложением основных понятий делается попытка отразить современное состояние теории оптимального проектирования. Книга состоит из двух разделов. Первый раздел служит введением в теорию и методы оптимального проектирования. Здесь излагаются постановки задач оптимизации конструкций и способы их преобразования, необходимые условия оптимальности, аналитические и численные методы оптимизации конструкций с распределенными параметрами, методы оптимизации дискретных систем. Обсуждаются вопросы многоцелевого проектирования конструкций, проектирования при неполной информации, основные понятия многокритериальной оптимизации. Второй раздел книги посвящен применению в оптимальном проектировании критериев прочности, жесткости, устойчивости и веса. Здесь рассматриваются полученные с использованием указанных критериев оптимальные решения для балок, криволинейных стержней, ферм, пластинок и оболочек, массивных тел.
В книге отражены результаты исследований, выполненных в Лаборатории оптимизации конструкций Института проблем механики АН СССР. Основная часть материала книги использовалась в лекциях, которые автор читал студентам Московского физико-технического института.