Выбор функционалов, рассматриваемых при оптималь-
ном проектировании, является частью постановок задач оптимизации. На этот выбор влияют многие обстоятельства: основное назначение конструкции, условия эксплуатации, технологические возможности ее создания, ограничения по стоимости, свойства модели, принимаемой для описания механического поведения конструкции, априорные свойства оптимальной задачи. Далее обсудим некоторые типичные функционалы, наиболее часто рассматриваемые при оптимизации конструкций.
1.3.1. Вес — одна из основных характеристик конструкции, и поэтому в большинстве работ по оптимальному проектированию этот функционал либо рассматривается в качестве оптимизируемого критерия качества, либо фигурирует среди других принимаемых ограничений. Вес конструкции характеризует как расход материалов, необходимых для ее создания, так и некоторые ее эксплуатационные свойства. Например, увеличение веса конструкций летательных аппаратов приводит не только к увеличению количества материалов, идущих на изготовление конструкции, но и к большему расходу топлива при полете, ухудшению ряда других летных характеристик.
Вес — интегральная характеристика конструкции. Для сплошных однородных тел вес пропорционален занимаемому ими объему:
где у — удельный вес .материала. В этом случае для изменения веса конструкции требуется варьирование области интегрирования Q. Для тонкостенных конструкций из однородных материалов вес представляется интегралом от функции распределения «толщин» h:
Например, для сплошной пластинки, закрепленной по контуру Г в плоскости х, у (х, у — декартовы координаты), / = h (х, у), Q — область, ограниченная контуром Г. В этом случае уменьшения веса конструкции можно добиваться как изменением функции h (х, у) при фиксированной области Q, так и одновременным варьированием толщин и формы областей. Однако в задачах оптимизации конструкций материал делится на «конструктивный», количество и способ размещения которого по конструкции отыскиваются, и «неконструктивный», положение и количество которого заданы. Так, при проектировании трехслойных пластин наиболее часто рассматриваются задачи отыскания оптимального распределения толщин внешних армирующих слоев при фиксированном среднем слое. При этом функционал веса представляется в виде суммы интегралов Ja + Jc (от толщин армирующих слоев и срединного слоя пластинки), а минимизация / сводится к минимизации веса Ja внешних слоев. В этом состоит свойство аддитивности функционала веса,
В случае оптимизации неоднородных тел функционал веса зависит от структуры материала, например от концентрации связующего и армирующих добавок композитных материалов. Если обозначить через ha, уа, hc, ус концентрации и удельные веса армирующих и связующих компонент, то
где Q — область, занимаемая конструкцией.
1.3.2. В ряде работ по теории оптимального проектирования в качестве меры жесткостных свойств конструкции используется величина работы, производимой внешними силами при квазистатическом нагружении упругого тела. Этот функционал называется податливостью конструкции. Пусть упругое тело закреплено на части границы Г1(, а к другой части Га приложены нагрузки q. Тогда податливость определяется интегралом по Га от скалярного произведения векторов упругих смещений и и внешних сил:
При более общем определении функционала податливости можно под q и и соответственно понимать обобщенные силы и обобщенные перемещения. Например, в качестве обобщенных сил можно рассматривать распределение моментов сил, приложенных к балке, в качестве обобщенных смещений — углы поворотов поперечных сечений в соответствующих точках.
Рекомендуем почитать
Tags: задачи, конструкции, материал, пластинки, свойства, функционал, функционалы