При проведении расчетов сложных конструкций в современной практике широко применяются методы, использующие разбиение рассматриваемой конструкции на более мелкие подконструкции. На идеях декомпозиции конструкции основываются и многие методы оптимального проектирования. Декомпозиция предполагает наряду с разбиением конструкции на подконструкции разделение всех узлов на граничные и внутренние и соответствующее структурирование матрицы жесткости. По определению, граничными называются узлы, относящиеся одновременно к нескольким подконструкциям. В дальнейшем величины, относящиеся к граничным и внутренним узлам, отмечаются соответственно нижними индексами В и I. Так, перемещения граничных и внутренних узлов будем обозначать через ив, и/.
Пусть проектируемая конструкция условно разделена на е под-конструкций и из компонент вектора и, описывающего перемещения всех узлов, составлены векторы ив, Щ. Задача оптимизации заключается в отыскании вектора переменных проектирования k и соответствующих векторов ив, и/, минимизирующих функцию качества
J = J (ив, uj, fe), (5.61) и таких, что удовлетворяются уравнения равновесия
[Lbb Lbi Lib Ln _ и условия
$i (ив, ии К) < 0, j = 1,2,.. .л кл (5.63)
Элементы подматриц Lbb, Lbi, Lib, Lu и векторов qs, qi будут рассматриваться как функции переменных проектирования.
Для задачи (5.61)—(5.62) проведем анализ чувствительности, основанный на вычислении производных функции качества и функций, задающих ограничения, по переменным проектирования [5.12].
Производные, фигурирующие в (5.64), вычисляются для заданных (невозмущенных) значений h, ив, и\. Вариации Ыь соответствуют вариации бив, 8щ, удовлетворяющие уравнениям
Lbb$ub + LbiSui = XiSfe, (5.65)
Ь1ВЬив'+ Lnbui = Хг^Л» (5.66)
где
dqB 0 q
ll = -dh~~lk (l*b"b) — w(lbiui)<
dqj о 0
^2 = "dh Ж (LibWb) — Ж
Соотношения (5.65), (5.66), задающие линейную связь между величинами див, би/ и б/г, получаются при помощи разложений уравнений (5.62) по 8ив, бг/i, 8h и удержания членов первого порядка малости.
Выражая бг/j из уравнения (5.66) и подставляя результат в (5.65), получим
LB8uB = %8h, LB = ЬВв + LBiQ,
т 1 (5.67)
X = X1 + QTTLv Q = -L-I]LIB.
Подставляя, кроме того, полученное выражение для Ьщ в (5.64), будем иметь
«-(ж«*«.)•*++
Далее определяются векторы сопряженных переменных Я0, tf, I**:
(5.69)
0uB ^ duj ' ™ див 1 x dttj
Определение сопряженных переменных из решения алгебраических задач (5*69) и учет симметричности цодматрицы Ьц и граничной матрицы жесткости LB (Ьц = L/i, LB = Ьв) позволяет в (5.68) исключить слагаемые с множителем 8ив и получить основные соотношения анализа чувствительности, связывающие непосредственно б/, бг|),- с б/i, в виде
б/ = [V*/F6fc, (5.70)
Рекомендуем почитать
Tags: анализ, задачи, конструкции, метод, методы