Разработанные методы анализа чувствительности основаны на различных схемах вычисления градиентов критериев качества и функций ограничений по отношению к переменным проектирования. Использование формул анализа чувствительности и выражений для градиентов основных характеристик позволяет развить высокоэффективные методы последовательной оптимизации и тем самым существенно ускорить поиск оптимальных проектов. Дополнительное ускорение процесса отыскания оптимального решения может быть достигнуто при наличии эффективных способов оценки производных второго порядка (производные рассматриваемых характеристик по переменным проектирования). Ниже, следуя работе [5.19], изложим некоторые приемы получения указанных производных.
Пусть поведение конструкции описывается системой линейных алгебраических уравнений
где и и q (h) — соответственно /тг-мерные векторы перемещений и нагрузок; h — вектор переменных проектирования размерности п; L — симметричная матрица размерности m x m. Коэффициенты матрицы L (h) дважды дифференцируемы по компонентам вектора проектирования. Для упрощения рассмотрений ограничимся получением выражений производных функций ограничений по двум фиксированным компонентам ht, hj вектора h. Поэтому в приводимых соотношениях будем отмечать только зависимость от ht, hj. Ограничение на поведение конструкции запишем в виде
\[ (и, hh hj) < 0. (5.52)
Дифференцируя выражение, записанное в левой части неравенства (5.52), по hi4 получим
г г г
где компоненты вектора ZT определяются по формулам Zs — dtyl ldus (s — 1, 2,. . ., m). Применяя далее операцию дифференцирования по ht к уравнению (5.51), получим
III
Разрешая уравнение (5.54) относительно dufdhi и подставляя результат в (5.53), приходим к следующему выражению для производной функции ограничений по переменной проектирования:
&--2- + *М-Й:--лН- (5'55)
г г L г i J
Верхний индекс —1 означает обращение матрицы.
Введем в рассмотрение га-мерный вектор сопряженных переменных Я, определив его как решение следующей системы алгебраических уравнений:
LX = Z. (5.56)
На основе использования (5.55), (5.56) с учетом симметрии матрицы L получим формулу анализа чувствительности первого порядка
г г L i г J
Подхбд к вычислению производных, использующий введение сопряженного вектора Я, требует решения системы уравнений (5.56) для каждого рассматриваемого ограничения на поведение конструкции. Непосредственное же вычисление производных на основе соотношений (5.54), (5.55) приводит к необходимости решения системы уравнений (5.54) для каждой переменной проектирования. Поэтому подход, использующий введение сопряженных переменных, имеет преимущества, когда число переменных проектирования превышает число ограничений на поведение конструкции.