В ряде проблем проектирования сложных конструкций оптимальный результат достигается при учете только одного (критического) ограничения для каждого элемента. В других задачах проектирования конструкций учет ограничений одного типа для каждого элемента и последующая проверка ограничений другого типа позволяет получать близкие к оптимальным квазиоптимальные решения. Поэтому приобретают значение методы оптимального проектирования конструкций при однотипных ограничениях, таких, например, как ограничения на напряжения или перемещения.
Рассмотрим задачу минимизации веса стержневой конструкции при ограничениях на напряжения в элементах, причем число этих ограничений равно количеству элементов. Заметим, что для более сложных конструкций, включающих балочные, пластинчатые и мембранные элементы, количество ограничений на напряжения больше числа элементов. Запишем ограничения на напряжения ai7 действующие в г-м элементе, следующим образом:
r|)f = at — at < 1, Oj = TilhiA i = 1, 2, . . .„ ft,
где o°i — максимальные допустимые напряжения; к — число стержней в конструкции; Ть — продольное сжимающее или растягивающее усилие для i-то стержня. Дифференцируя далее \|);- по ht и подставляя в первое соотношение (5.19), получим
Т 1 dh. РЛ-Я^ + -^Х^ = 0. (5.23)
1 j=i 3
В общем случае производные дТjldlii могут быть найдены в результате выполнения анализа чувствительности включающего расчеты напряженно-деформированного состояния конструкции. Исключение составляют статически определимые конструкции, для которых усилия, возникающие в стержнях, не зависят от площадей поперечных сечений и указанные производные равны нулю. Далее при рассмотрении статически неопределимых конструкций используем дополнительное предположение о слабой зависимости усилий от площадей поперечных сечений и полагаем ОТу Idhi = 0. При этом фигурирующие в условиях оптимальности. (5.23) под знаками суммирования группы членов (количество членов соответствует числу активных ограничений и не превышает числа стержней) обращается в нуль. Имеем
9ilt - K(Ti/ti) = 0. (5.24)
Если напряжения в каждом стержне достигают максимальных допускаемых значений (о, = а?), то множители Лагранжа определяется по формулам Xt = р^/^/о?, а условия оптимальности (5.24) преобразуются к виду
1 = TJhiGl (5.25)
Равенства (5.25) представляют собой критерий полностью напряженного проекта.
Заметим, что полностью напряженные проекты статически неопределимых конструкций могут существенно отличаться от оп-тимальныху если не малы чувствительности усилий к вариациям толщин стержней.
Перейдем теперь к конструкциям, при проектировании которых из условия минимума веса непосредственно учитываются только ограничения на интегральную жесткость:
^=Хтг -х0==0' <5-26>
где hi — площадь поперечного сечения t-ro стержня; Пг-//ьг- — энергия упругих деформаций. Ограничимся рассмотрением статически определимой системы.
Рекомендуем почитать
Tags: анализ, конструкции, метод, методы, системы