Рассмотрим в качестве примера численное решение задачи проектирования колонны сжатой следящей силой величины р (рис. 8.14). Уравнение для амплитудной функции прогибов колонны в случае ее малых колебаний имеет вид
(Е1ихх)хх + рихх + Ь| (EIuxx)xx + \*ти = 0„ (8.126)
где EI — изгибная жесткость; rj — коэффициент вязкости; т — погонная масса.
В уравнении (8.126) внутреннее демпфирование введено в соответствии с законом Кельвина—Фойхта. В рассматриваемом случае соотношение (8.122) запишется следующим образом:
i
J (v*xEIuxx + v*puxx + 'Щи*ххЕ1ихх + X2v*mu) dx = 0. (8.127) о
Звездочка у переменной и в (8.127) означает комплексное сопряжение. Наилучшее распределение материала, т. е. распределение массы т (я), разыскивалось для колонны единичной длины 1 — 1 при коэффициенте вязкости г) = 0,01,, причем считалось, что EI = га2. Улучшающие итерации строились по методу проектирования градиентов с учетом постоянства общей массы колонны. В качестве исходного начального приближения бралось постоянное распределение масс по длине колонны (га (х) == 1). Численные результаты, относящиеся к начальному приближению и к улучшенной (после проведения 18 итераций) колонне, показаны соответственно на рис. 8.15, 8.16. Распределение масс для спроектированной колонны представлено на рис. 8.17. Для показанного проекта величина силы потери устойчивости возрастает более чем на 250% по сравнению с исходной колонной постоянной толщины.