Приближенное решение задачи устойчивости оболочки находилось в [8.29] методом Ритца—Галеркина с использованием тензорного произведения кубических сплавов и тригонометрических полиномов. В результате получено, что критическое усилие рх= = 4„3»10tt Н/м. Потеря устойчивости по окружной координате происходит с образованием трех волн.
Далее для рассматриваемой оболочки была решена задача максимизации критической нагрузки. Толщина оболочки отыскивалась в классе кусочно-линейных непрерывных функций, зависящих от осевой координаты (h = h (я)), симметричных относительно середины оболочки с количеством параметров оптимизации N = = 20 при ограничениях /amin = 0,02 м, Лтах = 0,08 м. Задача нелинейного программирования методом штрафных функций сводилась к следующей последовательности задач безусловной минимизации функций:
20
F* (А) = - pi (h) + C$V (h) + С? 2 (h),
j=l
V(k):
0, P
(P-V(h))\ р<У(Л),
П
[(hj — Amin)2, hj < Amin,
где hj — значения толщины оболочки в узлах по осевой координате
z; Ср\ — коэффициенты штрафа,, для которых с$\ $ > 0
cf < № < <#+1>-(i = 0, 1, ...); оо при ^ оо.
Последние решались методом покоординатного спуска в сечении с одномерным поиском по Фибоначчи.
На рис. 8.12 сплошной линией изображено оптимальное распределение толщины оболочки, вес которой равен весу оболочки с постоянным распределением толщин, показанным штриховой линией. Критические нагрузки при оптимизации повышаются примерно в 2 раза. Приведенное распределение показывает, что материал оптимальной оболочки концентрируется вблизи жестко защемленных торцов и в центральной части в виде «трех симметрично расположенных шпангоутов».
На рис. 8.13 показаны зависимости критической нагрузки рх от количества волн п по окружной координате т> для оболочки постоянной (кривая 1) и переменной (кривая 2) толщины. Минимальное значение рг достигается при п = 3, 7, 8, 9, 10. В этом случае имеется одна общая форма потери устойчивости и одиннадцать местных. Общая происходит с образованием трех волн по окружной координате, по две местные при п = 7; п = 10, четыре при п = 8 и три при п = 9. Местной формой потери устойчивости на зывается
такая форма, для которой существует подобласть Qx G: Йя где и = 0.
Приведенные результаты работы [8.29] согласуются с результатами, которые получены при оптимальном проектировании подкрепленных шпангоутами цилиндрических оболочек постоянной толщины,, работающих в условиях равномерного внешнего давления, когда оптимальная подкрепленная оболочка является «равно-устойчивой по двум формам потери устойчивости — местной и общей» [8.19].
Из представленных в [8.29] данных следует, что при решении рассмотренной задачи оптимизации оболочки кратность первого собственного значения повышается и оболочка становится чувствительной к большему числу форм потери устойчивости по мере приближения к оптимальному решению. В свою очередь это может привести к тому, что оптимальная оболочка станет более чувствительной к внешним несовершенствам.