Для многих задач оптимального проектирования характерным оказывается сближение точек спектра и появление кратных критических нагрузок. Это обстоятельство обусловливает определенные трудности проектирования оптимальных по устойчивости конструкций. В связи с этим в целом ряде работ рассматриваются различные аспекты, связанные с решением задач оптимизации конструкций в случае кратных собственных значений.
Обсудим сначала возможность появления двукратных собственных значений. С этой целью сформулируем общую задачу оптимизации, зависящую от одного параметра, и рассмотрим поведение собственных значений при изменений этого параметра.
Пусть задано множество Жа допустимых значений переменных проектирования, т. е. h ЕЕ Жа- Нижний индекс означает зависимость множества допустимых значений от параметра а. Например, для многих задач оптимизации устойчивости в качестве переменной проектирования рассматривается распределение толщин A (х) по конструкции, удовлетворяющее условию постоянства объема и ограничению на минимально допустимые значения:
h dQ = 1, h > /гтт = ос.
Здесь в качестве параметра, определяющего допустимое множество, выступает величина Amm (использованы безразмерные переменные).
(8.93) (8.94)
Рассмотрим следующую задачу оптимизации. Требуется найти функцию h (х), доставляющую максимум первому собственному значению
р± = шах^А),
А ЕЕ Ж а
краевой задачи
L (h)u = ри. (8.95)
Предположим, что задача оптимизации (8.93)—(8.95) решена для значений а, заполняющих некоторый интервал и определено распределение переменной проектирования A (х, а) в зависимости от а как от параметра. Соответствующие собственные функции и собственные значения краевой задачи (8.95) так же будут зависеть от а, как от параметра иг = иг (х, a), pt = pt(a). Для теории оптимального проектирования поведение собственных значений в зависимости от параметра представляет особый интерес. Этот вопрос широко обсуждался и в связи с другими задачами [8.6, 8.7]. Так, например, для систем, имеющих конечное число степеней свободы и не обладающих симметрией (системы общего положения), известен общий результат [8.7], в соответствии с которым изменением одного параметра невозможно добиться совпадения двух частот. Аналогичное утверждение имеет место и в случае колебаний сплошной среды [8.7].
Рекомендуем почитать
Tags: задачи, конструкции, системы