Решение прямых задач по определению функций у (х), z (х) и критических моментов М основывается в [8.12] на применении итерационного метода. Для удобства вводится комплексная функция w (х) = у (х) + iz (х) и соотношения итерационного процесса решения краевой задачи на собственные значения (8.85) записываются следующим образом:
(a (x)wxx)xx + Pwxx = — iw°xxx,
wj (0) = wl (0) = W* (I) = wjx (I) = 0, (Й*ЙУ)
где i — мнимая единица; / — номер итерации (/ = 1, 2, 3, . . .). Для подсчета функционала используется следующая формула: i
ReJ(a (х) wxxwxl-Pwxwx*) dx
Mj (S) = °- } . (8.90)
0
Соотношения (8.89) после двойного интегрирования записы-
ваются в виде
a (x)wjxx + Pwj = - iwi"1 + Схх + С2. (8.91)
Через d, С2 в (8.91) обозначены произвольные комплексные постоянные. Далее вводятся функции w1 (х), w2 (х), w3 (х), удовлетворяющие граничным условиям Wi(0) = wt(l) = 0 (i = 1т 2, 3) и являющиеся решениями дифференциального уравнения (8.91), правая часть которого заменена соответственно на —х, 1. С использованием свойства линейности дифференциального уравнения (8.91), его общее решение представляется в виде линейной комбинации
wj (х) = w{ (х) + СМ (х) + C2wl (х). (8.92)
Фигурирующие в (8,91), (8.92) неизвестные константы Сц Сг определяются из условий wx(0) = wx(l) = 0. В силу определения функций w\ (х) и констант Сх, С2 функция w* (х) является решением краевой задачи (8.89). Таким образом, отыскание решения краевой задачи на собственные значения (8.89) с использованием описанного приема сводится к решению трех вспомогательных краевых задач более низкого порядка (для функций w\ (х)), решение которых эффективно находится методом прогонки. & Полученные в результате расчетов (в безразмерных переменных) распределения площадей S (х) представлены на рис. 8.9. Ввиду
имеющейся симметрии относительно середины стержня (т. х = = 1/2) все распределения показаны при 0 <^ х <^ 1/2. На графиках кривые 1,2,3 соответствуют случаям Р = 0; 15,8; 31,6. Найденные решения показывают, что для оптимального жестко защемленного стержня основная масса материала концентрируется в средней его части и на краях, причем с увеличением Р этот эффект становится более заметным. Зависимость критического момента от значений параметра Р для оптимальных стержней оказывается практически линейной. Для рассчитанных вариантов эффект от оптимизации, оцениваемый по формуле ((Л/* — М0)/М0)-100%, при увеличении Р меняется от 3,7 до 28%.
Рекомендуем почитать
Tags: задачи, материал, метод, свойства, функционал