Пусть теперь прямолинейный упругий стержень защемлен в точках х = 0 и х = I прямоугольной системы координат xyz и к его концам приложены скручивающие моменты М и сжимающие силы величины Р. Предполагая, что стержень обладает одинаковыми жесткостями на изгиб в различных плоскостях (Е1у = = Е12 = а), представим зависимость жесткости а от величины площади поперечного сечения S в виде а (х) = kS2{x), где константа к определяется видом поперечного сечения. При исследовании устойчивости стержня и вычислении критических величин скручивающих моментов учтем консервативность рассматриваемой задачи и применим статический метод Эйлера [8.17, 8.48]. Уравнения равновесия и граничные условия для скрученного сжатого стержня имеют вид
(azxx)xx — Р%хх My уху,
(аухх)хх = - Рухх + Mzxxx, (8.85) У(0) =ух{0) =г(0) = zx(0) =0, У (I) = УХ(1) = z (I) = zx(l) =0.
Выполняя сложение левых и правых частей уравнений (8.85) и интегрирование в пределах от х = 0 до х = Z, получим выражение для величины критического момента потери устойчивости
}(«(*) (йх+4>+
М=-^ j (8.86)
о
при заданном значении сжимающей нагрузки.
Задача оптимизации заключается в отыскании распределения площадей поперечных сечений, доставляющего максимум величине (8.86) критического момента потери устойчивости и такого, что удовлетворяется ограничение на объем материала и допустимые значения толщин стержня i
[s{x)&x = V. (8.87) о
Задача (8.85)—(8.87), как и задачи, рассмотренные в данной главе, относится к классу самосопряженных задач оптимизации и не требует введения сопряженных переменных.
Решение задачи находилось в [8.12] численно с применением алгоритма последовательной оптимизации. Выражение для улучшающей вариации 8S, получаемое по методу проектирования градиентов, имеет вид
i
8S = тл|), г|> = Л-4-$Ла*,
ч ° (8.88)
Л = (Uxx + zlx), Т =\ (У**** ~ У*2™) d*'
О
где т > 0 — заданная константа. Соотношения (8.88) обеспечивают положительность вариации ЬМ и выполнение проварьирован-ного условия (8.87).