Задачи оптимизации устойчивости упругих элементов конструкций относятся к числу классических проблем оптимального проектирования. В проведенных исследованиях этих задач [16, 26, 8.9-8.15, 8.21-8.30, 8.32-8.35, 8.38-8.45, 8.50-8.78, 8.81—8.83, 8.85—8.110] было показано, что при оптимизации достигается значительный эффект, и тем самым была обоснована перспективность дальнейших разработок в этом направлении. Следует заметить, что выполненные исследования и разработанные методы в основном относятся к оптимизации устойчивости упругих консервативных систем, описываемых самосопряженными краевыми задачами. Вопросы же оптимального проектирования неконсервативных систем и, в частности, конструкций, нагруженных следящими силами, изучены в меньшей степени [8.14, 8.38, 8.40, 8.76, 8.79, 8.86, 8.89, 8.110].
Рассмотрим постановку задачи оптимального проектирования тонкостенной конструкции, применяя общий динамический подход. Задача оптимального проектирования, заключается в минимизации функционала веса
/ = J h (х) dQ -> min^ (8.8)
при условии, что р задано, а частоты со, определяемые как собственные значения однородной краевой задачи для уравнения (8.3), удовлетворяют условию
Im со (р) > 0. (8.9)
Взаимная задача заключается в максимизации критического параметра потери устойчивости
7?->maxtefih (8.10)
при условии, что вес задан и все частоты удовлетворяют неравенству (8.9).
Задача минимизации веса при заданных значениях критических сил, а также задача максимизации критической силы потери устойчивости при заданном весе относятся к числу сложных нелинейных задач оптимального проектирования.
Теория этих задач, как и эффективные алгоритмы, существенно использующие специфику задач устойчивости, интенсивно разрабатываются в настоящее время.
При применении статического подхода проблема оптимального проектирования может формулироваться как задача максимизации минимального собственного значения р уравнения (8.5) при ограничении на вес конструкции либо как задача предельного снижения веса при заданном первом собственном значении.
Задачи оптимизации упругой устойчивости могут формулироваться и с использованием метода неидеальностей. В этом случае максимизации подлежит параметр нагрузки р из (8.7), для которого прогибы конструкций, определяемые из решения неоднородной краевой задачи, становятся неограниченно большими. С применением метода неидеальностей может быть рассмотрена также взаимная задача минимизации веса при ограничении на силу потери устойчивости. Построение оптимального решения на основе данного подхода сводится к отысканию переменных состояния и проектирования из условия минимума в зависимости от заданных значений сжимающей силы и величины максимального прогиба ио (| и I щ) и последующем устремлении параметра щ к бесконечности.
Рекомендуем почитать
Tags: алгоритмы, задачи, конструкции, метод, методы, подход, функционал